精品解析：广东省广州市第一一三中学2024-2025学年下学期九年级中考二模数学试卷

2024学年第二学期初三年级数学试卷综合练习（四） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15233000人次．将15233000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象过点，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为2.5千米，明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用，设妹妹跑步的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题是假命题的是（　　） A. 平行四边形中相邻两角互补 B. 矩形对角线相等且互相平分 C. 菱形的面积等于对角线长的乘积 D. 正方形是中心对称图形 9. 下列函数中：①；②；③；④，当时，随的增大而增大的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 10. 如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 如果代数式有意义，那么的取值范围是_______. 12. 代数式因式分解的结果为_______． 13. 用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为____________． 14. 明明与慧慧玩一种比数字大小的小游戏：两人各有三张卡片，明明的卡片上分别标有数字1，3，6，慧慧的卡片上分别标有数字2，4，5，两人各从自己的卡片中随机抽一张，则慧慧所抽数字大于明明的概率是____________． 15. 如图，中，，，点P为边上一点，则线段长的范围是____________． 16. 如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于点、两点，若直线与轴交于点、与轴交于点，则值为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17. 解不等式组，并在数轴上表示解集 18. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 19. 已知． （1）化简A； （2）若点在一次函数的图象上，求A的值． 20. 为更好地落实党中央、国务院《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》文件精神，广州市有关部门对某区七年级学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机抽样调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间t（单位h）状况，设置了如下四个选项，分别为，，，，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据以上提供的信息解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）在调查学生中，每天完成书面作业时间的中位数在____________组； 在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小是____________； （3）如果该区有15000名七年级学生，那么请估算该区七年级“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的学生约有多少人？ 21. 如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知，，点关于点的仰角为，则楼的高度为多少？（结果保留整数．参考数据：） 22. “中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． （1）他实际花了多少钱购买会员卡？ （2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域） （3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 23. 如图，在中，． （1）尺规作图：以为直径作，交于点，交于点． （2）求证：； （3）若，求的长． 24. 综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点． （1）当旋转角为多少度时，；（直接写出结果，不要求写解答过程） （2）若点，求的长； （3）如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接，将与的面积分别记为与，设，，求关于的函数表达式． 25. 在平面直角坐标系中，点，已知抛物线（m是常数）的顶点为P． （1）当抛物线经过点A时， ①求顶点P的坐标； ②设直线与抛物线交于B、C两点，抛物线上的点M的横坐标为，过点M作x轴的垂线，与直线l交于点Q，若，当d随n的增大而减少时，求n的取值范围． （2）无论m取何值，该抛物线都经过定点H，当时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期初三年级数学试卷综合练习（四） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，结合计算即可，本题考查了平行线的性质，与三角板有关的计算，掌握平行线的性质，是解题的关键． 【详解】∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴， 故选C． 3. 下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； B、主视图是是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； D、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 4. 广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15233000人次．将15233000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，正确确定和的值是解题关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：15233000． 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，分式的加减，合并同类项计算即可． 本题考查了二次根式的性质，幂的乘方，分式的加减，合并同类项，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【详解】A. ，错误，不符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. ，错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意； 故选D． 6. 一次函数的图象过点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可． 【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y随x增减而减小． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系． 7. 明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为2.5千米，明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用，设妹妹跑步的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设妹妹跑步的速度为，则明明跑步的速度为，根据“跑完一圈明明比妹妹少用”列出方程即可． 【详解】解：设妹妹跑步的速度为，则明明跑步的速度为， 根据题意，可得． 故选：B． 8. 下列命题是假命题的是（　　） A. 平行四边形中相邻两角互补 B. 矩形对角线相等且互相平分 C. 菱形的面积等于对角线长的乘积 D. 正方形是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行四边形，菱形，矩形和正方形的性质，中心对称图形的识别，根据平行四边形，菱形，矩形和正方形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、平行四边形中相邻两角互补，原命题是真命题，不符合题意； B、矩形对角线相等且互相平分，原命题是真命题，不符合题意； C、菱形的面积等于对角线长的乘积的一半，原命题是假命题，符合题意； D、正方形是中心对称图形，原命题是真命题，不符合题意； 故选：C． 9. 下列函数中：①；②；③；④，当时，随的增大而增大的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），充分运用一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 【详解】解：①，y随x的增大而减小，不符合题意； ②，当时，y随x的增大而增大，符合题意； ③，当时，随的增大而增大，符合题意； ④，当时，随的增大而增大，不符合题意，当时，随的增大先减小后增大，不符合题意， 综上所述符合题意的有：②③， 故选：B． 10. 如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 如果代数式有意义，那么的取值范围是_______. 【答案】x≥-. 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】由题意得，2x+1≥0， 解得x≥-． 故答案为x≥-. 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 12. 代数式因式分解的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是熟练掌握弧长计算公式和圆的周长计算公式．根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：扇形的弧长， 设圆锥的底面半径为r，则， 所以， 所以圆的直径为． 故答案为：． 14. 明明与慧慧玩一种比数字大小的小游戏：两人各有三张卡片，明明的卡片上分别标有数字1，3，6，慧慧的卡片上分别标有数字2，4，5，两人各从自己的卡片中随机抽一张，则慧慧所抽数字大于明明的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图法计算概率即可． 本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握计算是解题的关键． 【详解】根据题意，画图如下： 一共有9种等可能性，其中慧慧所抽数字大于明明的有5种， 故慧慧所抽数字大于明明的概率是． 故答案为：． 15. 如图，中，，，点P为边上一点，则线段长的范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形、勾股定理和等腰三角形的性质，过点A作交于点D，则有，，求得和，过点B作交于点E，利用余弦求得，利用勾股定理求得,结合线段长最短为点B到的距离，最长为即可得到答案． 【详解】解：过点A作交于点D，如图， ∵，， ∴，，， ∴，， 过点B作交于点E， 则，解得， 在中， ∵线段长最短为点B到的距离，最长为， ∴， 故答案为：． 16. 如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于点、两点，若直线与轴交于点、与轴交于点，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、三角形函数、勾股定理，首先过点作轴，过点作轴，可得：，，根据正切的定义可知，从而可得：，设点的坐标是，则，根据勾股定理可得：、，所以可得． 【详解】解：如下图所示，过点作轴，过点作轴， 当时，， ， 当时，， 解得：， ， ， ， 设点的坐标是，则， ，， ， 点的坐标是， ，， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17. 解不等式组，并在数轴上表示解集 【答案】， 数轴表示如下所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 18. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 【答案】 证明：∵DE//AC，CE//BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD=AC=BD ∴四边形OCED是菱形． 【解析】 【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键 19. 已知． （1）化简A； （2）若点在一次函数的图象上，求A的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一次函数图象上的点的坐标特点，正确化简A是解题的关键． （1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可； （2）把点P坐标代入一次函数解析式可得，据此代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 20. 为更好地落实党中央、国务院《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》文件精神，广州市有关部门对某区七年级学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机抽样调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间t（单位h）状况，设置了如下四个选项，分别为，，，，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据以上提供的信息解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）在调查学生中，每天完成书面作业时间的中位数在____________组； 在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小是____________； （3）如果该区有15000名七年级学生，那么请估算该区七年级“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的学生约有多少人？ 【答案】（1） 补图如下： ． （2）B组； （3）9600 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答； （2）利用中位数的定义，求解可得到结论．根据圆心角计算即可． （3）利用样本估计总体的思想计算即可． 本题考查了条形统计图、扇形统计图，圆心角的计算，中位数，熟练掌握统计图的意义，准确计算样本容量，圆心角，中位数是解题的关键． 【小问1详解】 ∵(人)， A组：(人)． 【小问2详解】 根据题意，得A组：(人)， 中位数是第50个数据和第51个数据的平均数， ∵， 故中位数一定落在B组． 圆心角 故答案为：B， ． 【小问3详解】 根据题意，得（人）， 答：该区七年级“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的学生约有9600人． 21. 如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知，，点关于点的仰角为，则楼的高度为多少？（结果保留整数．参考数据：） 【答案】楼的高度为 【解析】 【分析】延长交于点，依题意可得，在，根据，求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴ 在中，，， ∵， ∴ ∴， 答：楼的高度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 22. “中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． （1）他实际花了多少钱购买会员卡？ （2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域） （3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 【答案】（1）900 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，，整理求解即可； （3）当，则，根据优惠后油的单价比原价便宜元，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，（元）， 答：实际花了900元购买会员卡； 【小问2详解】 解：由题意知，，整理得， ∴y关于x的函数解析式为； 【小问3详解】 解：当，则， ∵， ∴优惠后油的单价比原价便宜元． 【点睛】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式． 23. 如图，在中，． （1）尺规作图：以为直径作，交于点，交于点． （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 证明：如图所示，连接， ∵为的直径，点E在上， ∴，即， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，三线合一定理，相似三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，线段垂直平分线的尺规作图等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于O，以点O为圆心，的长为半径画圆交于点，交于点； （2）由直径所对的圆周角是直角得到，则由三线合一定理即可证明结论； （3）连接，求出，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 24. 综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点． （1）当旋转角为多少度时，；（直接写出结果，不要求写解答过程） （2）若点，求的长； （3）如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接，将与的面积分别记为与，设，，求关于的函数表达式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出，再由题意得出，即可求解； （2）过点A作轴，根据勾股定理及点的坐标得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可； （3）根据正方形的性质及四点共圆条件得出O、C、F、N四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出，，过点N作于点G，交于点Q，利用全等三角形及矩形的判定和性质得出，结合图形分别表示出，，得出，再由等腰直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵交直线于点， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 过点A作轴，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴； 【小问3详解】 ∵正方形， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴O、C、F、N四点共圆， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 过点N作于点G，交于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】题目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四边形的判定和性质，四点共圆的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 25. 在平面直角坐标系中，点，已知抛物线（m是常数）的顶点为P． （1）当抛物线经过点A时， ①求顶点P的坐标； ②设直线与抛物线交于B、C两点，抛物线上的点M的横坐标为，过点M作x轴的垂线，与直线l交于点Q，若，当d随n的增大而减少时，求n的取值范围． （2）无论m取何值，该抛物线都经过定点H，当时，求m的值． 【答案】（1）①② （2）或． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． （1）①将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：抛物线的表达式为，点； ②M的横坐标为时，图象对应的是之间的部分，，函数的对称轴为，即可求解； （2）由点A、H的坐标知，，；点P存在在左右两侧的情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：①将点的坐标代入抛物线表达式得， ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：， ∴， ∴顶点P的坐标为； ②函数图象如图1所示，联立抛物线与直线表达式， 解得，或， ∴，， 故M的横坐标为时，图象对应的是之间的部分， 设点，点， ∴， ∴函数的对称轴为：， 当d随n的增大而减少，，而， 故． 【小问2详解】 解： ∴点P的坐标为， ∵， 则当时，，即点， ∵， ∴，， 点P存在在左右两侧的情况，如图2所示； ①当点P在右侧时，如图2左侧图， 过点M作于点R，，， 设：，则， 则， 解得：， 则，则点； 设直线的表达式为， 把，代入，得： ， 解得， ∴直线的表达式为， 将点P的坐标代入上式并整理得：， 解得：或； 当时，点P的坐标为与点H重合，故舍去， 则； ②当点P在左侧时，如图2右侧图， 同理可得：点， 则直线的表达式为， 将点P的坐标代入上式并整理得：， 解得：（舍去）或； 综上，m的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $