4.1.3 三角形的高线、中线和角平分线 课件 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

4.1.3 三角形的高线、中线和角平分线 【新知探究】 1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的　 　叫作三角形的高线,简称三角形的高。  如图所示的△ABC中,AF⊥BC,则线段AF是△ABC的BC边上的高。 2.三角形的三条高所在的　 　相交于一点。  线段 三角形的高线 直线 【例1-1】 如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,EC⊥BC交AB于点E, CF⊥AB,垂足为F,BG⊥AC,垂足为点G。 (1)分别写出△ABC各条边上的高; (2)CF是哪几个三角形的高? 解:(1)由题图知,在△ABC中,AB边上的高是CF,BC边上的高是AD,AC边上的高是BG。 (2)CF是△BCF,△BCE,△BCA,△FCE,△FCA,△ECA的高。 【例1-2】 如图所示,AD,CE是△ABC的两条高,AB=6 cm,BC=12 cm,CE= 9 cm。求: (1)△ABC的面积; (2)AD的长。 【新知巩固】 1.下面的说法正确的是( ) A.三角形的高都在三角形内 B.直角三角形的高只有一条 C.三角形的高至少有一条在三角形内 D.钝角三角形的三条高都在三角形外面 C 2.如图所示,在△ABC中,∠BAC是钝角,完成下列画图,并用适当的符号在图中表示。 (1)AC边上的高; (2)BC边上的高。 解:画图如图所示。 (1)线段BE为AC边上的高。 (2)线段AD为BC边上的高。 3.如图所示,在△ABC中,∠B=40°,∠ACB=110°,AE是△ABC的角平分线,AD是BC边上的高,求∠DAE的度数。 【新知探究】 1.在三角形中,连接一个顶点与它对边　 　的线段,叫作这个三角形的中线。如图所示的△ABC中,线段AE是边BC的中线,则BE=　 　。 2.三角形的三条中线交于一点,这个点称为三角形的　 　。  中点 三角形的中线 CE 重心 【例2-1】 如图所示,在△ABC中,点E是△ABC的重心,连接AE并延长,交BC于点D。已知AB=6,AC=7,△ABD的周长为16,求△ACD的周长。 解:因为点E是△ABC的重心,且点E在AD上, 所以AD为BC边上的中线。 所以BD=CD。 因为△ABD的周长为16,AB=6, 所以AD+BD=10,即AD+CD=10, 所以AD+CD+AC=10+7=17, 即△ACD的周长为17。 【例2-2】 如图所示,AD是△ABC中线,DE是△ADB的中线, (1)图中有几对面积相等的三角形?把它们写出来; (2)如果S△ADB=12,求△ABC的面积。 解:(1)题图中有2对面积相等的三角形,它们为△ABD和△ACD,△EBD和△EAD。 (2)S△ABC=S△ABD+S△ACD=2S△ABD=2×12=24。 三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形。 【新知巩固】 1.如果三角形三条中线的交点在三角形的内部,那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 2.如图所示,G是△ABC的重心,则下列结论正确的是( ) A.AD⊥BC B.BD=CD C.∠BAD=∠CAD D.BD=CD且AD⊥BC D B 3.如图所示,点D,点E分别是△ABC的边BC和AC的中点,若△DEC的面积是2 cm2,则△ABC的面积为　 　cm2.  8 4.如图所示,在△ABC中,AB>AC,AD是BC边上的中线,已知△ABD与△ACD的周长的差为6 cm,求AB-AC的值。 解:因为AD是△ABC的中线, 所以BD=CD。 所以△ABD和△ACD的周长差为(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC。 因为△ABD与△ACD的周长的差为6 cm,所以AB-AC=6 cm。 【新知探究】 1.在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,该角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的　 　。如图所示,线段AD是△ABC的一条角平分线,则∠1=　 　。  2.三角形的三条角平分线交于一点。 三角形的角平分线 角平分线 ∠2 【例3】 如图所示,AD平分∠BAC,其中∠B=35°,∠ADC=82°,求∠BAC, ∠C的度数。 解:因为∠ADC=82°, 所以∠ADB=180°-82°=98°。 所以∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-35°-98°=47°。 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAC=2∠BAD=2×47°=94°。 所以∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-35°-94°=51°。 【新知巩固】 1.如图所示,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,点E是AB上一点,且DE∥ CB。若∠A=60°,∠C=70°,则∠BDE的大小为( ) A.20° B.25° C.30° D.35° 2.如图所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BD,CE交于点O。若∠A= 80°,则∠BOC的度数为　 　。  B 130° 3.如图所示,在△ABC中,若点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点,且∠ABC=50°,∠ACB=60°,则∠OAB=　 　。  35° 4.如图所示,在△ABC中,∠A=60°,∠ABC=80°,BD是△ABC的高线,BE是△ABC的角平分线,求∠DBE的度数。 解:因为∠ABC=80°,BE平分∠ABC, 所以∠ABE=40°。 又因为∠A=60°, 所以∠AEB=180°-∠A-∠ABE=80°。 因为BD是△ABC的高线, 所以∠BDE=90°, 所以∠DBE=90°-∠AEB=10°。 5.如图所示,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD平分∠ABC交AC于点D, DE∥AB,交BC于点E,求∠BDE的度数。 谢谢观赏！ 21 解:(1)S△ABC=AB·CE=×6×9=27(cm2)。 (2)因为S△ABC=BC·AD=27(cm2), BC=12 cm。所以×12AD=27, 解得AD=4.5 cm。 所以AD的长为4.5 cm。 解:在△ABC中,∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-40°-110°=30°, 因为AE平分∠BAC, 所以∠BAE=∠BAC=×30°=15°。 在Rt△ADB中,∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°, 所以∠DAE=∠DAB-∠BAE=50°-15°=35°。 解:在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°, 所以∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-70°-30°=80°。 因为BD平分∠ABC, 所以∠ABD=∠ABC=×80°=40°。 因为DE∥AB, 所以∠BDE=∠ABD=40°。 $$