上海市曹杨第二中学2024届高三下学期三模数学试卷

上海市曹杨第二中学2024年高三三模数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．若复数在复平面内对应的点为，则________． 2．若随机变量服从二项分布，则________． 3．已知圆锥的底面积为，高为，则该圆锥的侧面积为________． 4．设是等差数列，其前项和为．若，，则________． 5．已知向量、满足，，，则________． 6．设为正整数，已知的二项展开式中第项为常数项，则展开式中各项的系数之和为________． 7．若正实数、满足，则的最小值为________． 8．抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．用表示事件“两个点数不同”，表示事件“至少出现一个点”，则________．（结果用最简分数表示） 9．已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是________． 10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，是上一点．若，则________． 11．现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为．若该组样本的第百分位数为，第百分位数为，则的最小值为________． 12．设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13．已知全集，设集合，，则（ ）． A． B． C． D． 14．掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”，则下列结论中正确的是（ ）． A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 15．将这个正整数分成甲、乙两组，每组各个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小，则不同的分组方法数是（ ）． A． B． C． D． 16．已知函数在上可导，其导函数为，且函数存在最大值．设：对任意实数，与均成立；：对任意正整数，都有对任意实数恒成立，则是的（ ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在△中，已知． （1）求角的大小； （2）设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求△的周长． 18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，且． （1）求证：平面平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值． 19．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分） 某药物公司为了研发一种抗病毒疫苗，在名志愿者中进行试验．研究人员将疫苗注射到名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按，，，，，分组，绘制成如图所示的频率分布直方图．经检测发现，志愿者中体内产生抗体的共有人，其中该项指标值不小于的有人． （1）求这200名志愿者该项指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）填写下列列联表； 指标值 指标值 合计 产生抗体 未产生抗体 合计 （3）根据列联表判断，在显著性水平的前提下，能否认为注射疫苗后产生抗体与指标值不小于有关？ 参考公式：，其中；参考数据： ． 20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知抛物线的焦点为，直线与交于、两点． （1）设直线的方程为，求线段的长； （2）设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程； （3）设．若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围． 21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 设，． （1）讨论函数的单调性； （2）设、分别是函数的极大值点和极小值点．记、，求证：直线与曲线交于另一点； （3）在（2）的条件下，判断是否存在常数（，），使得．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 参考答案： 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13．D 14．D 15．B 16．C 17．（1）由题意知，…………………………2分 即，解得或．…………………………4分 由于，即，故， 进而有，．…………………………………………………………6分 （2）在△中，余弦定理得．………………………8分 令（），则， 结合，得，解得．………………………………………10分 设△的面积为， 有，………………………………………………………12分 即，解得， 因此△的周长为．………………………………………………………14分 18．（1）设，连接． 在△中，由于，为中点，故． 由题意知，，，故． 由于，，且与是平面上两条相交直线， 故平面．……………………………………………………………3分 由于平面，且平面， 故平面平面．……………………………………………………6分 （2）由（1）知、、两两互相垂直． 以为原点， 、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系，………………8分 则、、、． 故，……………………………………………………………10分 由、， 得平面的一个法向量．……………………………………12分 设直线和平面所成角为， 则．………………………………………………………14分 19．（1） ．………………………………………4分 （2）如图所示： 指标值 指标值 合计 产生抗体 未产生抗体 合计 ……………………………………………………………………………………8分 （3）（1）提出原假设： 注射疫苗后产生抗体与指标值不小于无关．………………………………10分 （2）确定显著性水平． （3）计算．……………………………12分 （4）由于，从而否定原假设， 即认为注射疫苗后产生抗体与指标值不小于有关．………………………14分 20．（1）将直线方程与抛物线方程联立，得．……………2分 设，，由于直线经过抛物线的焦点， 故．…………………4分 （2）设，与抛物线方程联立，得． 由题意知，得（*）． 设、，则……………………………………6分 由题意知，即 ………………………8分 解得，符合（*）式， 因此直线的方程是．…………………………………………10分 （3）设，与抛物线方程联立，得， 此时恒成立． 设、、， 由得……………………………………12分 由韦达定理得，进而有， 因此．……………………………………………………………14分 由于， 有，即．…………………………………16分 由题意知上述关于的方程有实数解，故， 注意，因此的取值范围是．……………………………………18分 21（1）由题意知． 令得或． 当或时，当时． 所以函数在区间和上严格增， 在上严格减． （2）由（1）知，． 进而知直线的方程为， 即． 由得． 设，则， 令得． 当时，当时，所以函数在区间上严格减，在区间上严格增． 由于，，， 结合函数的单调性及连续性， 知函数有且仅有两个零点、，其中． 因此方程的解集为， 即直线与曲线交于另一点． （3）由（2）得，即． 若存在常数（，），使得， 则， 所以，代入可得． 设，则， 令得． 当时，当时， 所以函数在严格减，在严格增． 注意，，， 结合得单调性及连续性， 知存在唯一的，使得． 因此存在常数（，），使得，且． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$