2025年江苏省镇江市第三中学数学中考练习卷

2025年江苏省镇江市第三中学数学中考练习卷 一、单选题 1．以下深圳四家企业标识图案中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．将一个平行四边形进行如下操作，能判定它是正方形的是（　　） A．沿一条对角线所在直线翻折，两旁的部分能互相重合 B．沿一条边的垂直平分线翻折，两旁的部分能互相重 C．绕对角线交点旋转，能与自身重合 D．绕对角线交点旋转，能与自身重合 4．下列个命题中，真命题是（    ） A．正五边形是中心对称图形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．同位角相等 D．函数中，随的增大而减小 5．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点M、N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点D．若点D到的距离为2，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 6．如图，二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是(　　)    A．   B．   C．   D．   7．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．在矩形内放置四个正方形如图所示，点K，A，E，F，H，J分别在矩形的边上．若，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，四边形和是正方形，点O是正方形对角线和的交点，点E和点G分别在边和上，直线交直线于点P，交直线于点M，下列说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D．若四边形的边长为2，则长度的最小值为 10．如图，正方形，连接，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D．1 二、填空题 11．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人次射击成绩的平均值都是环，方差分别为，，则两人成绩比较稳定的是 填“甲”或“乙”． 12．计算： ． 13．如图，在四边形中，，连接交于点F，O在上，，． （1）若，则 ° （2）若，则 14．若，则代数式的值是 ． 15．中，，，，点D在边上，，如图所示．点E在边上，将沿着翻折得，其中点B与点对应，交边于点G，交的延长线于点H．如果是等腰三角形，那么 ．    16．如图，在中，，，点E在直线上，，，则的最小值为 ． 三、解答题 17．随着新课程标准的颁布，为落实立德树人的根本任务，我县各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A“青少年科技馆”，B“中都文庙”，C“城市展馆”，D“莲花湖湿地公园”四个研学基地组织研学活动．学校想从选择研学基地D的四名学生中选取两名学生，了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D的四名学生中恰好有两名女生． (1)请用列举出所有可能的情况； (2)求出所选两人都是男生的概率． 18．如图，在中，E，F是对角线上两点，且满足，连接． 求证：． 19．先化简，，再选一个合适的数代入求值． 20．甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示． (1)求甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式． (2)求甲、乙两人相距最远时的距离． 21．先化简，再求值：，其中． 22．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为， ①直接写出a，b的值； ②火情在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离 (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离在到之间． 23．“河畅水清、岸绿景美”，被誉为陕西人民的“母亲河”−−渭河正逐渐被打造成一条秀美景观带．为更好地形成“一河清水，两岸秀色，三季有花，四季常青”的景观，市政养护人员安排了移动喷灌装置，移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，如图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为时，水流达到最大高度．现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为的处到水平地面的距离为． (1)求该抛物线形水流的解析式和水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值． (2)若到喷水头水平距离为的处及其右侧种植有银杏树，由于刚在树干部分涂抹过防虫药物不能灌溉，则应将移动喷灌装置向左至少移动多少米，才能避开对银杏树的灌溉？ 24．冀教版八年级上册课本146页有这样一道题：你能用一张对边平行的纸条折出一个等腰三角形吗？请你试一试， 如图1，已知矩形纸片，其中，点E是射线上一点，连接，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点P的位置，交于点M．    (1)如图2，当点E与点A重合时，求证：是等腰三角形； (2)如图3，当点E在的延长线上时，设交于点N，点A落在点Q的位置，是否能折出一个等腰三角形？找出这个三角形，若，求出的值； (3)在（2）的条件下，求该等腰三角形的面积． 25．在直角坐标系中，正方形的两边分别在轴、轴上，点的坐标为． (1)如图，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，边交于．求点的坐标． (2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点，分别交轴、轴、线段于点．求证：平分． (3)若，为延长线上一动点，过三点作，交于，如图．当运动时（不包括点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 26．如图1，在中，，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，分别连接、，与相交于点O． (1)求证：． (2)过点B作于D，设点F、G分别为、的中点，连接． ①如图2，当，点H在线段上，且时，求证：点F，G，H三点共线． ②过点于点M，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025年江苏省镇江市第三中学数学中考练习卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B D A D B C A 1．C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，解题关键是熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C 2．B 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握合并同类项，同底数幂的乘法运算法则是关键． 根据整式的混合运算计算即可． 【详解】解：，， ∴， 故选：B ． 3．C 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】根据平行四边形的性质，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 沿一条对角线所在直线翻折，两旁的部分能互相重合，可能是菱形，不一定是正方形，故该选项不正确，不符合题意； B. 沿一条边的垂直平分线翻折，两旁的部分能互相重，可能是矩形，不一定是正方形，故该选项不正确，不符合题意； C. 绕对角线交点旋转，能与自身重合，是正方形，故该选项正确，符合题意； D. 绕对角线交点旋转，能与自身重合，是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4．B 【知识点】判断反比例函数的增减性、证明四边形是平行四边形、判断命题真假、中心对称图形的识别 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，根据正五边形的性质、平行四边形的判定、平行线的性质、反比例函数的性质判断即可，解题的关键是要熟练掌握以上知识的应用． 【详解】解：、正五边形不是中心对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意； 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意； 、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意； 、函数中，在每个象限，随的增大而减小，故本选项说法是假命题，不符合题意； 故选：． 5．D 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB，则CD=DH=2，进而求解． 【详解】解：过点D作DH⊥AB于点H，则DH=2， 由题目作图知，AD是∠CAB的平分线， 则CD=DH=2， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠B=45°， ∴△DHB为等腰直角三角形， ∴BD=， ∴BC=CD+BD=， 故选：D． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中． 6．A 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、反比例函数的图象和性质；根据二次函数（）的图象可得，从而得到，，进而得到一次函数经过第二、四象限，一次函数经过第二、三、四象限，即可求解． 【详解】解：根据二次函数（）的图象得： ， ∴，， ∴一次函数经过第二、四象限，一次函数经过第二、三、四象限． 故选：A 7．D 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是根据幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方及同底数幂的除法依次对各选项分析即可判断． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 8．B 【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据矩形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】连接，，则三点共线，设正方形的边长为，正方形的边长为，由图形的对称性得出，即，由得出，，从而求出和的值，再证明，从而求出． 【详解】连接，，    ∵四边形，是正方形． ∴． ∵， ∴． ∴三点共线． 由图形的对称性可知，，，， 连接交于点，则，过点作，延长交于点，则，过点作， 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，，， ，， ∵，， ∴． 又∵，， ∴． ∴，． ∴，即． 又∵， ∴． ∴，． ∴，． ∵，， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 故选B． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质，矩形的性质，图形的对称性，全等三角形的判定与性质等知识，图形较为复杂，能正确添加辅助线构造全等三角形，得出方程求出两个小正方形的边长是解题的关键． 9．C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质及二次函数的最值问题，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 根据正方形的性质得出，再由全等三角形的判定即可判断A选项；利用相似三角形的判定和性质及三角形外角和即可判断选项B；利用三角形内角和定理即可判断选项C；设，则，利用勾股定理及二次函数的最值问题即可判断选项D 【详解】解：∵四边形和是正方形，点O是正方形对角线和的交点， ∴， ∴，即， ∴，选项A正确，不符合题意； ∵为对角线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵为对角线， ∴， ∴， ∴，选项C错误，符合题意； 设，则， ∵四边形的边长为2， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值为2， ∴长度的最小值为，选项D正确，不符合题意； 故选：C 10．A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、根据正方形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识为解题的关键． 如图，过点作于点，根据旋转的性质以及等腰三角形的判定与性质可得；设，由勾股定理可得、，再证明易得、，再根据正方形的性质可得，进而求得，最后代入计算即可． 【详解】解∶如图，过点作于点， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设 ，， ∵， ∴， ∴，即 ，， 正方形中，， ， ． 故选A． 11．甲 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，熟知方差越小，越稳定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴两人成绩比较稳定的是甲， 故答案为：甲． 12．9 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用平方差公式进行乘法计算，再进行加减计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：9 13． 65 【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，可得，由可得； （2）过点D作于点M，于点N，于点R，于S，得得由勾股定理求出求出证明得，，从而可得答案 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴； （2）过点D作于点M，于点N，于点R，于S，如图，     则 ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 由勾股定理得， ∴ ∵， ∴， ∴ 又 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴ 故答案为：65； 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质在，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，勾股定理以及求角的正切值，正确作出辅助线构造全等三角形以及相似三角形是解答本题的关键 14． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、有理数的乘方运算、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方和绝对值的非负性，熟知平方和绝对值的非负性是解题的关键． 根据平方和绝对值的非负性求出、的值，然后代值计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 15． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、用勾股定理解三角形、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先画出图形，过点作于点，确定如果是等腰三角形，则只能是，设，则，再证出，根据相似三角形的性质可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下：过点作于点，    ∵， ∴， ∵交边于点，交的延长线于点， ∴， ∴如果是等腰三角形，则只能是为顶角，， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵在中，，，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 由折叠的性质得：，， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 16． 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆周角定理、垂径定理的推论、全等三角形综合问题 【分析】根据“定角对定边”，，得出点D在以为直径的圆O上，画图，取弧的中点点F，连接，根据垂径定理得出，，根据圆周角得，连接，根据，得出，证明，得出，即可得，，，延长交于点，则，得出，，证明，得出，根据，得出，即可得，同理“定角对定边”，得出点在上，画轨迹，取点，连接，根据内接四边形得，连接，圆周角定理得，得出，即点在以点为圆心，1为半径的上运动，即可得出当位于点时，最小，最小值为，证明点共线，勾股定理求出，再根据，即可求出的最小值． 【详解】解：∵，， 即， ∴点D在以为直径的圆O上，如图， 取弧的中点点F，连接， 则，， ∵是的直径， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 延长交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点在上，如图， 取点，连接， 则， 连接， 则， ∴， 即点在以点为圆心，1为半径的上运动， ∴当位于点时，最小，最小值为， ∵， ∴点共线， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】该题是圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，圆内接四边形，勾股定理等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，确定点C的轨迹，难度较大，属于填空压轴题． 17．(1)共有12种等可能的结果，分别为：男1男2，男1女1，男1女2，男2男1，男2女1，男2女2，女1男1，女1男2，女1女2，女2男1，女2男2，女2女1． (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，掌握列表或画树状图的方法求概率是解题的关键． （1）画树状图得到等可能的结果． （2）由（1）中的树状图得到所选2人都是男生的结果，从而求得概率． 【详解】（1）解：研学基地D的学生中恰有两名女生，则有2名男生， 画树状图如下： 共有以上12种等可能的结果，分别为：男1男2，男1女1，男1女2，男2男1，男2女1，男2女2，女1男1，女1男2，女1女2，女2男1，女2男2，女2女1． （2）解：由（1）可知其中所选2人都是男生的结果有2种， 所选2人都是男生的概率为． 18．见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，由四边形是平行四边形，得到，再证明，即可求证，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 19．，取，原式为4． 【知识点】分式化简求值 【分析】先根据分式的运算法则将分式化简，然后代入一个使原分式有意义的值即可． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件：且，， 取代入，得 原式． 【点睛】此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解决此题的关键． 20．(1) (2)250米 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握用待定系数法求一次函数解析式的从函数图象获取信息是银题的关键． （1）设甲距终点的路程（米和跑步时间（分之间的函数关系式为，把和代入求出与的值，即可确定出解析式； （2）由图可得当时，甲、乙两人相距最远．把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设甲距终点的路程（米和跑步时间（分之间的函数关系式为， 把和代入得：， 解得：，， 则； （2）解：由图象可得，当时，甲、乙两人相距最远． （米）． （米）． 所以甲、乙两人相距最远时的距离为250米． 21．； 【知识点】分母有理化、分式化简求值 【分析】此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的各个运算法则和分母有理化是解决此题的关键． 根据分式的各个运算法则化简，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 22．(1)①，；②这两个位置之间的距离； (2) 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为在到之间，分别将，代入，求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得（舍去）， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． （2）解：当火箭落地点与发射点的水平距离在到之间时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得，； 将，代入，得 ， 解得，； ∴． 23．(1)， (2) 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）由题可知抛物线的顶点坐标为，进而利用待定系数法即可求出解析式；先求出斜坡的解析式，用二次函数表示出水流的高度与斜坡铅垂高度差，再根据函数的性质求解； （2）设移动喷灌装置向左移动m米，平移后的函数解析式为，将代入，求出m的值即可． 【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点坐标为， 设水流形成的抛物线的表达式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 由题可知点A坐标为， 设直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的函数解析式为， ∴水流的高度与斜坡铅垂高度差为：， ∵， ∴当时，水流的高度与斜坡铅垂高度差取最大值，最大值为； （2）解：设移动喷灌装置向左移动m米， 平移后的函数解析式为， ∵距离的水平距离为的处到水平地面的距离为， ∴ 将代入，得：， 整理得， 解得或（舍去）， ∴喷灌装置至少向左移动． 24．(1)见解析 (2)能，是等腰三角形，理由见解析， (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）利用折叠的性质，平行线的性质，得到，从而得到，即可得证； （2）同法（1）可得是等腰三角形，证明，求出的长，进而求出的长，在中，利用勾股定理求出的长，再利用余弦的定义，进行求解即可． （3）利用面积公式直接进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得：， ∴ ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：能，是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 根据折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 解得， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴， ∴该等腰三角形的面积为． 【点睛】本题考查几何的综合应用．主要考查了矩形的形，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 25．(1)； (2)证明见解析； (3)的值是定值为． 【知识点】切线的性质定理、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（）求出旋转角的度数为，进而求出的度数，再利用三角函数求出点坐标即可； （）设点为与正方形的切点，连接，根据切线的性质可得到，，进而得到，再证明，可得，即可求证； （）在上取点V，使，构造出全等三角形，判断出为等腰直角三角形， 即可求得为定值． 【详解】（1）解：连接， ∵， 由轴对称可得 ， ∵， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵， ∴， 设点为与正方形的切点，连接，则，，， ∴， ∴， ∵点也为的切点， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 即， ∴， 即平分； （3）解：的值是定值为． 在上取点，使，即， ∵， ∴， ∴为的直径， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴点三点共线， ∵为正方形的对角线， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角函数，切线的性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 26．(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用垂径定理求值、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，可得四点共圆，如图，再进一步可得结论； （2）①由（1）可得：四点共圆，而为的中点，可得为外接圆的圆心，如图，连接，并延长交于，证明，证明，可得，证明，可得，可得，进一步可得结论；②记的交点为，连接，如图，先证明，再证明，可得为等腰直角三角形，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵线段绕点C逆时针旋转90°得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆，如图， ∴， ∵， ∴； （2）证明：①由（1）可得：四点共圆，而为的中点， ∵，， ∴，为外接圆的圆心， 如图，连接，并延长交于， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴所在的直线是及圆的对称轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴三点共线； ②记的交点为，连接，如图， ∵为的直径，， ∴，， ∵，是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$