2025年江苏省镇江市丹阳市八年级重点高中提招数学练习卷

2025年江苏省镇江市丹阳市八年级重点高中提招数学练习卷 一、单选题 1．如图，为正方形内一点，过作直线交于点，过作直线交于，，且．若．以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 3．如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ）    A． B． C． D．2 4．如图，中，分别是其角平分线和中线，过点C作于F，连接，则线段的长为（　　） A． B．2 C． D．3 5．如图，边长为 的等边 中， 是高 所在直线上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．则在点 运动过程中，线段 长度的最小值是（　　）    A． B． C． D． 6．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN＋DQ＝NQ；④为定值，其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知两个整式，，将整式与整式求和后得到整式．称为第一次操作；将第一次操作得到的整式加上得到整式，称为第二次操作；将第二次操作得到的整式加上得到整式，称为第三次操作；将第三次操作得到的整式加上得到整式，称为第四次操作；将第四次操作得到的整式加上得到整式，称为第五次操作，…，以此类推，下列说法中正确的个数有（   ） ①整式的一次项系数为； ②当满足，时，则； ③若，，为的边长，其中，满足．且是方程的解，则为等边三角形； ④多项式的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点；下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 9．如图，在平面直角坐标系中，直线：；直线l2：，直线上有一点A，且点A的纵坐标是．在直线的右侧作正方形，交直线于点D，交x轴于点E，连接交直线于点F，交x轴于点G，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①的周长为； ②； ③； ④点P为射线上一动点，的最小值为．    10．如图，在中，，，，的平分线交于点，且．将沿折叠使点与点恰好重合．下列结论正确的有： ．（填写序号） ① ②点到的距离为8 ③ ④      11．如图，在等边三角形的右侧以为直角边作等腰，，点、分别为、的中点，与交于点．下列四个结论：①；②；③平分；④，其中正确的是 ．（填写序号）    12．如图，一次函数与反比例函数交于、两点，，，则反比例函数的解析式为 ． 13．如图，在中，，，，点P在边上，且，点D是边上的一动点，连接，将沿直线折叠，点C的对应点为点Q．当线段的长度最大时，点P到的距离是 ． 14．对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和小m（m为正整数），则称该数为“m元数”．对“m元数”M，将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数．规定：．若四位数是一个“6元数”，则的值为 ；若P是一个“5元数”，且能被P的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的P的最大值为 ． 15．若一个四位自然数的百位数字比千位数字大3，个位数字是十位数字的3倍，且各个数位上的数字均不为0，则称这个四位数为“加3数”．若一个四位自然数的百位数字是千位数字的3倍，个位数字比十位数字大3，且各个数位上的数字均不为0，则称这个四位数为“倍3数”．例如3613是“加3数”，3925是“倍3数”．则最小的“加3数”与最大的“倍3数”之和是 ．若为“加3数”，为“倍3数”，与的千位数字均为a，P的十位数字为b，Q的十位数字为，且P、Q各数位上的数字之和分别记为、，当为整数时，的最小值为 ． 16．如图，在平行四边形中，，，连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点在点的左侧）在线段上运动，，连接，，则的最小值为 ． 17．如图，，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点都在反比例函数（）的图像上，点，都在轴上，则的坐标为 ． 18．如图，中，，D是中点，P是上一动点，将绕点P逆时针旋转得到线段．当最小时的长为 ． 三、解答题 19．如图1，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上从向运动，另一动点从出发，沿直线运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究： (1)________，________； (2)当 且 时，； (3)如图2，当垂直时， ①猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论； ②求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ③直接写出当为等腰三角形时点的坐标． 20．小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心．请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题：    (1)如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点．过点的直线与边分别相交于点，四边形的面积与平行四边形的面积之比为___________； (2)如图，这个图形是由平行四边形与平行四边形组成的，点在边上，且在同一直线上． 请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）； 延长与边的延长线交于点，延长与边交于点．联结，如图所示，当四边形的面积为10，四边形的面积为2时，求三角形的面积． 21．我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．如图1，且，则四边形是至善四边形． (1)下列四边形一定是至善四边形的有__________． ①平行四边形；②矩形；③菱形：④正方形； (2)如图2，四边形为至善四边形，，，，求的长及的度数． (3)如图3，正方形中，为中点，在右边作等边，为中点，连接交于点，交于点，求线段与的数量关系． 22．如图，在等腰直角中，． (1)如图1，为等腰直角三角形，，求证：． (2)如图2，为内的一点，连接，，．若，，． ①求的度数． ②求的面积． 23．如图，在中，是的平分线． (1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________． (2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：． (3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数． 24．如图，和是两个不全等的等腰直角三角形，其中，，，连接，点M是分的中点，连接，． (1)若点D在边上，如图1，试探究，之间的关系，并说明理由； (2)若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新结论并证明； (3)若将图1中的绕点A逆时针旋转，如图3，，，求的长． 25．如图，正方形与正方形有公共顶点A，正方形绕点A顺时针旋转的度数和（），连接． (1)直接写出与的关系： ； (2)若的面积为，的面积为，求证：； (3)若点P为边的中点，连接AP，并把图补充完整并求线段与线段的关系． 26．正方形中，点在边、上运动（不与正方形顶点重合），作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． (1)如图，当点在边上时， ①若，则图中与线段相等的线段是________． ②过点作，垂足为，连接，求的度数． ③求证：在②的条件下，． (2)当点在边上，点在边延长线上时，仍过点作于点，再过点作于点，连接，若，求的值． 27．在中，于点，． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，点是边上一点，是延长线上一点，连接、，若，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，过作的垂线交的延长线于点，点是上一点，连接并延长至点，使，连接．若，，，求的长． 28．在中，，，点D为线段上的一点，点E在线段上，点F在线段的延长线上，，，过点E作，交于点P，交的延长线于点G．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点H，连接，若，求证：； (3)如图3，若，的面积为6，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025年江苏省镇江市丹阳市八年级重点高中提招数学练习卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C B A D C D 1．B 【分析】①根据正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，判定①； ②过点作于点，根据直角三角形的性质求高，计算面积比，判定②； ③直接根据判定③， ④过点G作交于K，连接，可证得，进而得，过点B作，交的延长线于N，连接可证得，，再证得是等腰直角三角形，即可判断④． 【详解】①∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确． ②过点作于点，如图所示， ∵， ∴是等边三角形； ∴， ∴， ∴ 故②错误； ③∵， ∴和不垂直， 故③是错误的； ④如图，过点G作交于K，连接，    则， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， 过点B作，交的延长线于N，连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ 故④正确， 综上，①④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定以及性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 2．C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、轴对称最短问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关的性质与判定、正确作出辅助线是解题的关键． 先证推出，说明点F一定在一条直线上运动，作点D关于的对称点G，连接，根据轴对称可知 ,则，当最小时，最小，根据当G、F、B在同一直线上时最小，得出的最小值为线段的长，再根据勾股定理求解即可即可． 【详解】解：∵是等边三角形，， ，， ∵是等边三角形， ，， ， 在和中，， ∴ ∴， ∴的值为定值，点F一定在一条直线上运动， 作点D关于的对称点G，连接， 根据轴对称可知，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵当G、F、B在同一直线上时，最小， ∴的最小值为线段的长， ， ， ∵， ∴是等边三角形， ，， ， ， , ∴的最小值为，故C正确. 故选：C． 3．C 【分析】连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是． 【详解】解：连接，如图，   沿翻折至， ， ，， ， 当点、、三点共线时，最小，此时的最小值， 四边形是矩形， ， ，， ， 长度的最小值， 设，则， ， ， ， ， 解得，， 的面积是， 故选：． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，线段的最值问题．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，是解题的关键． 4．B 【分析】如图，过点C作，交AE的延长线于M，交的延长线于N，先证明可得，进而得到，即；然后再得到，最后结合，根据中位线的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点C作，交AE的延长线于M，交的延长线于N， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识点，灵活运用相关性质、判定定理是解答本题的关键． 5．A 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“边角边”证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可． 【详解】解：取的中点，连接，如图所示：    旋转角为， ， 又， ， 是等边的对称轴， ， ， 又旋转到， ， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短，时，最短，即最短，此时，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 6．D 【分析】如图1，连接AC、AN，AC交BD于点H，根据正方形的性质可得A，B，N，M四点共圆，进而可得∠ANM＝∠NAM＝45°，于是可判断①；由余角的性质可得∠HAM＝∠PMN，从而可利用AAS证明Rt△AHM≌Rt△MPN，可得MP＝AH，再根据正方形的性质即可判断②；如图2，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，根据旋转的性质和SAS可推得△RAN≌△QAN，进而可得RN=QN，进一步即可判断③；如图3，作MS⊥AB于S，MW⊥BC于W，由题意易得四边形SMWB是正方形，进一步即可推出△AMS≌△NMW，可得AS＝NW，进而得AB＋BN＝2BW，然后利用等腰直角三角形的性质即可判断④，于是可得答案． 【详解】解：如图1，连接AC、AN，AC交BD于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AC=BD，AH=CH，∠DBC＝∠ABD＝45°， ∵∠AMN＝∠ABC＝90°， ∴A，B，N，M四点共圆， ∴∠NAM＝∠DBC＝45°，∠ANM＝∠ABD＝45°， ∴∠ANM＝∠NAM＝45°， ∴AM＝MN，故①正确； ∵∠MAH+∠AMH=90°，∠PMN+∠AMH=90°， ∴∠HAM＝∠PMN， ∵∠AHM＝∠MPN=90°，AM＝MN， ∴Rt△AHM≌Rt△MPN（AAS）， ∴MP＝AH＝AC＝BD，故②正确； 如图2，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABR，使AD和AB重合，连接AN， 则AR=AQ，∠BAR=∠DAQ，∠ABR=∠ADQ=90°， ∴R、B、N三点在同一直线上， ∵∠BAN＋∠QAD＝∠NAQ＝45°， ∴∠RAN=∠QAN=45°， 又∵AN=AN， ∴△RAN≌△QAN（SAS）， ∴RN=QN，即BN＋DQ＝NQ，故③正确； 如图3，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W， ∵点M是对角线BD上的点， ∴四边形SMWB是正方形，有MS＝MW＝BS＝BW， ∵∠AMN=∠SMW=90°， ∴∠AMS=∠NMW， 又∵∠ASM=∠NWM=90°， ∴△AMS≌△NMW（ASA）， ∴AS＝NW， ∴AB＋BN＝SB＋BW＝2BW， ∵BW：BM＝1∶， ∴，故④正确． 故答案为D． 【点睛】本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质和判定、四点共圆、圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及旋转的性质等知识，综合性强、具有相当的难度，正确添加辅助线、灵活应用所学知识是解题的关键． 7．C 【分析】根据题意，以此类推，得到规律：；；根据规律，逐项求出，按要求验证即可得到答案． 【详解】解：整式，， ； ； ； ； ； ；； ， 则整式的一次项系数为，故①正确； 当，时，， 则，即， ，即， ，则，故②错误； 若，，为的边长，其中，满足， 则， ， 即，则， ， 若，，为的边长，其中是方程的解，则或， 当，时，，，，不能构成三角形，即与，，为的边长矛盾； 当，时，为等边三角形，故③正确； 由规律可知，，则， ，， ，即多项式的最小值为，故④正确； 综上所述，正确的说法有①③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查整式的规律，涉及代数式规律、多项式定义、配方法求代数式值、平方非负性、非负数和为零的条件、绝对值的意义、构成三角形的三边关系、等边三角形的判定、多项式的最小值问题等知识，综合性强、难度很大．读懂题意，找准整式规律，理解各项求解问题所用的知识点，灵活变形求解是解决问题的关键． 8．D 【分析】根据角平分线性质可得，通过角的计算即可得到，根据两直角三角形中斜边和其中一条直角边相等，即可由勾股定理得出另一条直角边也相等，从而得到，故①正确；再根据各角的计算可得出，故②正确；过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍，从而推出，故③正确；由条件可推理得四边形是矩形，，再由全等性质可得，故，则④正确． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点．   ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，故①正确， ，， ，故②正确， 平分，，， ， ，， ， ， ，故③正确， 在和中， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线性质、等腰直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，灵活应用相关知识并采用等量代换的方法是解题关键． 9．② 【分析】如图所示，过点A作轴于M，先求出，则，利用勾股定理求出，如图将绕点O顺时针旋转90度得到，则，，证明B、C、H三点共线，，则可证明，得到，进而得到，则的周长，故①错误；如图所示，取中点K，连接，证明是等边三角形，推出，得到，，设，则，则，利用勾股定理得到，解得，则，故②正确；如图将绕点O逆时针旋转90度得到，连接，证明，得到，由，得到，故③错误；由点P为射线上一动点，，则当时，最小，即此时最小，最小值为，故④错误． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于M， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， 如图将绕点O顺时针旋转90度得到， ∴，， ∴， ∴B、C、H三点共线， ∵点D在直线上， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长，故①错误； 如图所示，取中点K，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图将绕点O逆时针旋转90度得到，连接， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵点P为射线上一动点，， ∴当时，最小，即此时最小，最小值为，故④错误； 故答案为：②．    【点睛】本题主要考查了正比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形三边的关系等等，通过半角模型构成全等三角形是解题的关键． 10．①②③④ 【分析】根据等腰三角形的性质即可判断①；根据角平分线的性质即可判断②；设，则，中，，，继而求得；根据，求得，可得，即可判断④． 【详解】解： ，故①正确； 如图，过点作于，于，   ， 平分， ， 是的角平分线， ， ， ，故②正确； 将沿折叠使点C与点E恰好重合， ， 设，则， 中，，． ， 解得， ，故③正确； ，且 ，即， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，勾股定理得运用，高相等的两个三角形面积的比等于底边的比，掌握以上知识是解题的关键． 11．①②④ 【分析】①先根据等边三角形和等腰直角三角形的性质得，，，，由此得，则，，据此可求出的度数，进而可对结论①进行判断；②连接，取中点M ，连接，，连接，交于N，证，再证明，得，据此可对结论②进行判断；③由，可对结论③进行判断；④过点作于点，于Q，证明，得，进而得，根据，由此可得，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①为等边三角形， ，， 等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ，故结论①正确； ②连接，取中点M ，连接，，连接，交于N，如图所示：    在中，，点为的中点，， ，，， 为等边三角形，点为的中点， ，， 中，， 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 关于直线对称，点H在直线上， ， ， ，即直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 即，故结论②正确； ③，， 不是的平分线，故结论③不正确； ④过点作于，于Q，如图所示：   ，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论④正确． 综上所述：结论①②④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活添加辅助线是解决问题的关键． 12． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、与几何的综合、根与系数的关系等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 设：,由题意可知，即；由题意可得，,即，；再根据可得；联立两函数解析式可得，根据求根公式可得、,进而得到，最后将代入计算即可解答． 【详解】解：设：, ∵一次函数， ∴，， ∴， ∴， ∵一次函数与反比例函数交于、两点， ∴，,即，, ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵一次函数与反比例函数交于、两点， ∴，即， ∴，, ∴，即， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为． 故答案为． 13． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质等知识点，发现点Q的轨迹是以B为圆心，以为半径的圆成且当点D与点A重合时线段的长度最大为解题的关键． 如图根据题意可得点Q的轨迹是以B为圆心，以为半径的圆，进而求得当点D与点A重合时，线段的最大； 再运用轴对称的性质可得．如图：过P作的垂线，然后根据角所对的直角边是斜边的一半． 【详解】解： 如图：由题意可知：点Q的轨迹是以B为圆心，以为半径的圆，且当点D与点A重合时，线段的长度最大， ∵将沿直线折叠，点C的对应点为点Q， ∴， 如图：过P作的垂线， ∵，即 ∴， ∴当线段的长度最大时，点P到的距离是． 故答案为． 14． 【分析】本题主要考查了新定义数字问题、整式的混合运算等知识点，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 利用“m元数”定义可得，根据题意表示出，再利用即可得到；设，则，根据“5元数”定义可得，进而求得，根据能被P的各个数位上的数字之和整除，得到为整数，结合各个数位上的数字互不相等且均不为0 ，P且取最大，求出a、b、c、d的值，最后确定P的值即可． 【详解】解：∵四位数是一个“6元数”， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴； 设，则， ∵P是一个“5元数”， ∴， ∵， ， ， ∵能被P的各个数位上的数字之和整除， ∴ ∴为整数，即为整数， ∵各个数位上的数字互不相等且均不为0， ， ∴ 为的因数，且因数最大为41， ∵494的因数有247，38、26、19，13，2， ∴符合条件的有38、26、19，13，2， 当因数为38时， ，解得：不符合题意； 当因数为26时， ，解得：不符合题意； 当因数为19时， ，解得：符合题意； ∴为的因数，的最大取值为7． 若要P最大，即，， ∴， 若要P最大，即，， ∴满足条件的P的最大值为． 故答案为：，． 15． 【分析】根据定义可得最小“加3数”为，最大“倍3数”为，据此即可求解； 根据题意可得，，，，进而得到，，再代入代数式可得，进而根据为整数即可求解． 本题考查了列代数式，整式的加减运算，分式的性质，理解新定义解题的关键． 【详解】解：①由题意可得，当四位自然数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为时，所得“加数”最小，最小为； 当四位自然数的千位数字为，百位数字为，十位数字为6，个位数字为9时，所得“倍3数”最大，最大为， ∴最小的“加3数”与最大的“倍3数”之和是； ②由题意得，，， ∴ ， 又∵，， ∴， ∴ ， ∵为整数，，， ，或， ∴ 或 ∵， ∴的最小值为． 故答案为：，． 16． 【分析】在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，连接，由平行四边形的性质和含直角三角形三边关系可得：，利用勾股定理可得，再利用含直角三角形三边关系可得：，，进而可得，求得：，再证四边形是平行四边形，得出，再证明，得出，根据，可得出：当点在线段上时，的最小值为，即的最小值为，即可求得的最小值． 【详解】解：在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵线段（点在点的左侧）在线段上运动， ∴， ∴当点在线段上时，的最小值为， ∴的最小值为， ∵，， ∴最小值为：， 即最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造平行四边形和全等三角形是解题的关键． 17． 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先在中，设的长度为，用表示的长度，并表示出的坐标，代入反比例函数解析式，求出的长度和的长度，表示出的坐标，同理可求得的坐标，即可发现一般规律． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 为等边三角形， ， ， 设的长度为，则的坐标为， 把代入得，解得或（舍去）， ， ， 设的长度为，同理得到，则的坐标表示为， 把代入得，解得或（舍去）， ，，， 设的长度为，同理，，的坐标表示为， 把代入得，解得或（舍去）， ，，， 以此类推可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征：反比例函数图像上点的坐标满足其解析式．灵活运用各类知识求出的坐标是解题的关键． 18． 【分析】过点B作于点E，过点Q作于点F，先证明，再证明，得到，延长到H，使得，连接,则直线是线段的垂直平分线，结合， 当A，Q，H三点共线时，最小，最小为线段，此时取得最小值，设与的交点为G，故当Q与点G重合时，最小，此时，根据三角形的面积不变性，得，列式解答即可． 【详解】解：过点B作于点E，过点Q作于点F， ∵，， ∴，， ∴， ∵ ∵， ∴， ∴，, ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长到H，使得，连接, 则直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， 当A，Q，H三点共线时，最小，最小为线段，此时取得最小值， 设与的交点为G，故当Q与点G重合时，最小，此时， ∵，，D是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，线段最短原理的应用，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，线段最短原理的应用是解题的关键． 19．(1)1，1 (2)， (3)①，见解析；②（）；③点的坐标为或 【分析】（1）结合直线解析式求得点的坐标，即可获得答案； （2）由全等三角形的性质，可得，，再根据，结合题意即可获得答案； （3）①过作轴于，延长交延长线于，证明，由全等三角形的性质即可获得答案；②根据题意，结合等腰直角三角形的性质即可获得答案；③分情况讨论：当时以及当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则有，故， 令，则有，解得，故， ∴，． 故答案为：1，1； （2）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴，即． 故答案为：，； （3）①线段和的数量关系为，证明如下： 过作轴于，延长交延长线于， 则有， ∴四边形为矩形，， 由（1）知为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（）； ③当为等腰三角形时点的坐标为或，理由如下： 当时，如下图， 为等腰直角三角形，点三点重合，点重合， ∴轴，，， ∴； 当时，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点． 综上所述，当为等腰三角形时点的坐标为或． 【点睛】本题是主要考查了函数和几何图形的综合应用，解题的关键是灵活运用函数性质和点的意义表示出相应的线段长度，再结合全等三角形和等腰直角三角形的性质求解． 20．(1) (2)图见解析，；三角形的面积为4 【分析】（1）由四边形是平行四边形，对角线相交于点，得，从而得到，即可证明出，同理可证明出，，因此得到，，，又因为，，所以得到，从而即可得到答案； （2）根据（1）中的结论画出图并写出相关结论即可；由四边形是平行四边形得，由四边形为平行四边形，得，从而可得，进而可得四边形为平行四边形，同理可得，四边形、四边形均为平行四边形，在根据平行四边形的面积与三角形的面积关系，即可得到三角形的面积为． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，对角线相交于点， ， ， 在和中 ， （AAS）， 同理可得，， ，，， ，， ， 即四边形的面积与平行四边形的面积之比为， 故答案为：； （2）解：根据（1）中的结论画出图如图所示，    平行四边形的对角线、相交于点，平行四边形的对角线、相交于点，过点的直线将图形分为面积相等的两个部分，直线与相交于点，直线与相交于， 其中，， ， 即； 四边形是平行四边形， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为平行四边形， 同理可得，四边形、四边形均为平行四边形， ， ， ， ， ， 三角形的面积为4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定的应用，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解决问题的关键，难度较大，综合性较强． 21．(1)④ (2)的长为，的度数为 (3) 【分析】（1）根据至善四边形的定义及特殊平行四边形的性质进行判断即可； （2）如图，延长至点，使，根据至善四边形的定义推出，证明，得，，证明为等边三角形，即可得出答案； （3）延长至点，使得，连接，证明，得，，推出是等腰直角三角形，得，证明为等边三角形，得，，进一步推出是等腰直角三角形，得，在中，由和可得结论． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等邻角互补，对边相等，它的对角不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不是至善四边形； ②矩形四个内角是直角，对边相等，它的对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不是至善四边形； ③菱形对角相等邻角互补，四边相等，它的一组邻边相等，但对角不一定互补，故菱形不是至善四边形； ④正方形四个内角是直角，四边相等，它的对角互补且有一组邻边相等，故正方形是至善四边形； 故答案为：④； （2）如图，延长至点，使， ∴， ∵四边形为至善四边形，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴的长为，的度数为； （3）延长至点，使得，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴，即，， ∵为等边三角形，为的中点， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了新定义，特殊平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确理解新定义、通过作辅助线构造全等三角形、直角三角形是解题的关键． 22．(1)证明见解析 (2)    【分析】（1）由是等腰直角三角形可得，由为等腰直角三角形可得，由，可得，进而可得，于是可得，然后利用即可得出结论； （2）①作并使得，连接，，则为等腰直角三角形，由（1）得，由全等三角形的性质可得，，，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由勾股定理可得，在中，可得，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，，然后根据即可求出的度数；②由，可得，则，，三点共线，由勾股定理可得，，即，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的面积． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，， ， 为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：①如图，作并使得，连接，， 则为等腰直角三角形， 由（1）得：， ，，， ，， ， ， 在中， ，， ， 为直角三角形，， ； ②，， ， ，，三点共线， ， ， ，， ，即， ， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．(1)三线合一 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得，得出，根据等腰三角形的性质即可求解； （2）过点作，垂足分别为，连接，证明，即可得证； （3）设，，根据三角形的外角的性质得出， ，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为，证明平分，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴（三线合一）， 故答案为：三线合一； （2）过点作，垂足分别为，连接 ∵平分，是的平分线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （3） ∵是的平分线， ∴， 设， ∵， ∵， ∴， ∴ ， 如图，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴是的角平分线， 又， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 24．(1)，，理由见详解 (2)成立，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据斜边中线等于斜边的一半即可证明相等，再根据等边对等角结合三角形外角的定义与性质可得，问题得证； （2）延长至点G，使得，连接、、、、，延长交于点N，先证明四边形是平行四边形，即有，，表示出，再结合，，可得，即可证明，问题随之得解； （3）延长交于点H，证明，再证明．即可得，．求出，再在中，由勾股定理得，可求解． 【详解】（1），理由： ∵，点M是的中点， ∴在中，， 同理在中可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 综上：，； （2）成立，理由如下： 延长至点G，使得，连接、、、、，延长交于点N，如图， ∵点M是分的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴，； （3）延长交于点H，    ∵和是等腰直角三角形， ∴，，， 由旋转可得，，即， ∴， ∴，， ∵M为中点， ∴． ∴． ∴，， 即，． ∵，， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题目，主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定与性质，及勾股定理的运用，要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键． 25．(1) (2)见解析 (3)作图见解析， 【分析】（1）根据周角并结正方形的性质说明即可解答； （2）如图：过作于K，延长点至点H，作,根据平行线的性质及已知条件可得可得，再结合以及三角形的面积公式即可解答； （3）如图：连接,过E作,延长交于点M，先证可得,,再证可得即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形与正方形， ∴ ∴, ∴． 故答案为：． （2）证明：如图：过作于K，延长点至点H，作, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵，,, ∴． （3）解：如图：连接,过E作,延长交于点M, ∴, ∴, ∴,, ∵,, ∴, ∴,即． 【点睛】本题主要考查了角的和差、正方形的性质、全等三角形的判定、三角形的面积、平行线的性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 26．(1)①；②或；③见解析 (2) 【分析】（1）①通过证明，即可得到； ②当点在上时，过点作交于点，延长交于点，证明，推出是等腰直角三角形，进而得到；当点在上时，过点作交于点，延长交点的延长线于点，同理可证明，推出是等腰直角三角形，则，； ③延长到，使，过作于，交于点，则，推出是等腰直角三角形，则，证明，可得，推出，结合即可证明； （2）延长、，交于点，可推出是等腰直角三角形，则，可证明，得到，，推出是等腰直角三角形，设，则，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①四边形是正方形， ，， ， ， ， 故答案为：； ②当点在上时，如图1，过点作交于点，延长交于点， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 当点在上时，如图2，过点作交于点，延长交点的延长线于点， 四边形是矩形， 同理，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述，的度数为或； ③延长到，使， ， 过作于，交于点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， 是等腰直角三角形， ， 又，， ， ， ， ， ，， 且，即， 即； （2）如下图，延长、，交于点， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 设， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是综合运用这些知识． 27．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据得到，，结合推出，即可证明是等腰三角形； （2）作于I，先证，再证、，推出、，结合，，即可证明； （3）作点关于的对称点，连接、、；作于，连接，设，，推理出、是等边三角形，证，得出，推出、，根据，结合含角的直角三角形和等腰直角三角形的性质，求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：如下图，作于I， 由（1）得：， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：如下图，作点关于的对称点，连接、、；作于，连接， ∵由（1）得：， 由（2）得：， ∴，， 设，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ， ， ∴， 又∵， ∴，， ∵点和点关于对称， ∴，， ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ， ， 又∵， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边证明等腰三角形、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形和等腰直角三角形的性质等，综合性强，添加辅助线推理证明是解题的关键． 28．(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）证明，，进而证明，问题即可解决； （2）首先证明，得到；再证明，问题即可解决； （3）连接，过点作于点, 先求得,再得,从而得出再证明,可得,再求得,设，由勾股定理求得，即，再求解即可． 【详解】（1）解：证明：， ，即； ， ， ， 又， ； 在和中， ， ， ， 又， ； （2）证明：在与中， ， ， ， ， ； ， ； 在与中， ， ， ； （3）解：如图，连接，过点作于点,   , ， 在中，, , 即, , , , 在和中 , , 在中，, , , , , ， , 在中，, ， 在中，, , 在中，, 设, 则在和中， , 设, 则, , 即, , , , 解得（负值舍去）， , 设， 在和中，， ， ， 解得：， ， , . 【点睛】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质；解题的关键是深入分析、大胆猜测、合理推断、科学论证． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$