2024-2025学年鲁教版（五四制）数学八年级下册期末复习试题

2024-2025学年八年级下册数学鲁教版（五四制）期末复习试题 一、单选题 1．下面两个图形中一定相似的是（    ） A．两个长方形 B．两个等腰三角形 C．有一组对应角是的两个直角三角形 D．两个菱形 2．方程x2﹣1＝0的解是(    ) A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝0 3．若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A．36 B． C．9 D． 4．与的位似比是，已知的面积是3，则的面积是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．已知是方程的两个实数根，则代数式的值（    ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 6．如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且，点F是BC的中点，点G是DE的中点，延长DF，与AB的延长线交于点H．以下四个结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确结论的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．若+（a﹣4）2＝0，则化简的结果是（　　） A． B．± C． D．± 9．如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，直角三角形中，，于，于，则下列说法中正确的有（    ）个． ①图中有4个三角形与相似；②；③；④；⑤若，，则；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 12．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 14．已知，且它们的面积之比为，则它们对应中线的比为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为(8，4)，则C点的坐标为 ．    16．如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，则灯杆的高度是 ． 17．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），点C是x轴上的一个动点，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP．则DP长度的最小值是 ． 三、解答题 19．计算： （1）； （2）+5； （3）； （4）． 20．解下列方程： (1)； (2)． 21．如图①所示，以正方形的点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中线段在y轴上，线段在x轴上，其中正方形的周长为16． (1)直接写出B、C两点坐标； (2)如图②，连接，若点P在y轴上，且，求P点坐标． (3)如图③，若OB//DE，点P从点O出发，沿x轴正方向运动，连接．则，，三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点O，D，C重合的情况）？并说明理由． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点P是对角线BD上一点，连接AP，AE⊥AP，且＝，连接BE． (1)当DP＝2时，求BE的长． (2)四边形AEBP可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形AEBP的面积． 23．如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的最小值． 24．猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形铁片．(已知：，，) (1)如图①，若截取的内接正方形，请你求出此正方形的边长； (2)如图②，若在内并排截取两个相同的正方形(它们组成的矩形内接于)，请你求此正方形的边长； (3)如图③，若在内并排截取三个相同的正方形(它们组成的矩形内接于)，请你求此正方形的边长； (4)猜想：如图④，假设在内并排截取n个相同的正方形，使它们组成的矩形内接于，则此正方形的边长是多少？ 25．因式定理：对于多项式，若，则是的一个因式，并且可以通过添减单项式从中分离出来．已知． (1)填空：当时，，所以是的一个因式．于是．则________________； (2)已知关于x的方程的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据相似图形定义，相似三角形的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：A、因为长方形的大小，形状不确定，所以两个长方形不一定相似，故本选项不符合题意； B、因为等腰三角形的大小，形状不确定，所以两个等腰三角形不一定相似，故本选项不符合题意； C、因为直角相等，所以有一组对应角是的两个直角三角形中有两对相等的角，所以有一组对应角是的两个直角三角形一定相似，故本选项符合题意； D、因为两个菱形的大小，形状不确定，所以两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似图形定义，相似三角形的判定定理，熟练掌握形状相同的图形是相似图形是解题的关键． 2．B 【分析】用平方差公式解一元二次方程可得答案. 【详解】解: x2﹣1＝0,即(x+1)(x-1)=0 x1＝1，x2＝-1 所以B选项是正确的. 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用,解此题的关键是用平方差公式把一元二次方程转化成一元一次方程. 3．C 【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 解得 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4．D 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两个三角形的相似比，根据题意计算即可． 【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1：4， ∵△ABC的面积是3， ∴△A′B′C′的面积是12， 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系得出，，，然后代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ∴ ， 故选：A． 6．D 【分析】设正方形边长为4a，求出DE、EF、DF，利用勾股定理等逆定理可以判定②正确；根据三角形中位线定理可以判定①正确；根据直角三角形斜边中线定理可以判断③正确；通过计算可以判断④正确． 【详解】解：设正方形边长为4a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°， ∵AE＝3a，EB＝a，CF＝FB＝2a， ∴ ， ， ， ∴ ，， ∴， ∴是直角三角形； 故②正确， ∵点F是BC的中点， ∴CF=BF， 在和中， ∵， ∴， ∴DF=HF， 又∵点G是DE的中点， ∴GF是的中位线， ∴， 故①正确， 在 中，点G是DE的中点， ∴， 故③正确， ∵DE=5a，EB+BC=a+4a=5a， ∴DE=EB+BC， 故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理逆定理、三角形中位线定理．直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 7．A 【分析】把原式化简为含ab、a-b的形式，再整体代入计算． 【详解】∵， ∴(a+1)(b−1)=ab−a+b−1=ab−(a−b)−1= −(2−1)−1=−. 故选A. 【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则. 8．A 【分析】先根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入化简二次根式即可得． 【详解】由算术平方根的非负性、偶次方的非负性得：， 解得， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、偶次方的非负性、化简二次根式，熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题关键． 9．B 【分析】连接BP，取CD的中点M，连接PM，根据折叠的性质，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，要求△GPQ的周长的最小值，只需求PM+PB的最小值，当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小，在Rt△BCM中，勾股定理求出BM，即可求解． 【详解】解：连接BP，取CD的中点M，连接PM， 由折叠可知，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG， 在Rt△BCG中，P是CG的中点， ∴BP＝PG＝GC， ∵Q是GH的中点， ∴QG＝GH， ∴△GPQ的周长＝PQ+QG+PG＝PM+GH+PB＝PM+PB+CD， ∵CD＝3， ∴△GPQ的周长＝PM+PB+， 当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小， 在Rt△BCM中，BM＝， ∴△GPQ的周长的最小值为. 故选B． 【点评】本题考查图形的翻折变换，熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 10．D 【分析】根据题意，对选项逐一分析，即可得出结论. 【详解】解：因为，，所以 =90°，=90°，所以=90°，可得，所以，所以，即，故选项②正确； 由题意，于，于E，所以=90°，，，，由相似的判定可知图中有4个三角形与相似，分别是、、、，故选项①正确； 因为，所以∠A与∠B互余，于，于，∠BCD与∠B互余，∠CDE与∠DCE互余，∠DCE与∠BCD互余，所以，故选项③正确； 因为，于，于，根据③中结论，所以，，因为，所以，两式相乘即可得，故选项④正确； 若，，由勾股定理可得AB=5，利用等面积可得，故选项⑤错误； 因为DE∥BC，所以，故选项⑥正确； 5个正确， 故答案为：D . 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 11． 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12．且 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 13． 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：如图可知，位似中心的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 14．2：5 【分析】由△ABC∽△DEF且面积比为4：25，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形对应中线的比等于相似比即可求得答案． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF且面积比为4：25， ∴△ABC与△DEF的相似比为2：5， ∴△ABC与△DEF的对应中线的比2：5． 故答案为2：5． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应中线的比等于相似比． 15．（3，4） 【详解】过点B作BD⊥OA于D，    ∵四边形ABCD是菱形， ∴OC=OA=AB=BC，BC∥OA， 设AB=x，则OA=x，AD=8﹣x， 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2， 即x2=（8﹣x）2+16， 解得：x=5， ∴BC=5， ∴C点的坐标为（3，4）． 故答案为（3，4）． 16．6.4m 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出的长是解题关键．根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， 把代入， 解得：， 故答案为：6.4m． 17．20 【分析】求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案． 【详解】解：， 则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8， 则菱形的边长为， 故菱形的周长为5×4=20， 故答案为20 【点睛】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键． 18． 【分析】过点B作BM⊥轴于点B，使BM=OB，利用SAS证得△BOC△BMD，再证明M、D、A三点共线，推出四边形AMBO是正方形，当且仅当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点B作BM⊥轴于点B，使BM=OB，连接DM，AD， ∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴令，则；令，则； ∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)， ∴OA=OB=BM=2， ∵BM⊥轴， ∴∠OBM=90°， ∴点M的坐标为(2，2)， ∵△BCD是等腰直角三角形， ∴BC=BD，∠CBD=90°， ∴∠CBD=∠OBM=90°， ∴∠CBD-∠OBD=∠OBM-∠OBD， ∴∠CBO=∠DBM， 在△BOC和△BMD， ， ∴△BOC△BMD(SAS)， ∴∠BOC=∠BMD=90°， ∴BM⊥DM， ∴DM∥OB， ∵M、D、A三点的横坐标相同，都为2， ∴M、D、A三点共线， ∴四边形AMBO是正方形， ∴∠BAM=45°， ∵AB=， 点P是线段AB的三等分点（AP＞BP）， ∴AP=AB=， 当且当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值， 此时，△PAD为等腰直角三角形， ∴PD=AP=， ∴线段DP长度最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与坐标轴的交点问题，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，证得四边形AMBO是正方形，以及当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值是解题的关键． 19．（1）；（2）13；（3）；（4）6﹣7． 【分析】（1）根据完全平方公式，对式子展开，计算即可； （2）将每个式子进行化简，然后计算即可； （3）将每个式子化为最简二次根式，然后计算即可； （4）将每个式子化为最简二次根式，然后计算即可； 【详解】解：（1）原式＝3﹣2+ ＝； （2）原式 ＝2+6+5 ＝13； （3）原式＝ ＝； （4）原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的有关运算，熟练掌握二次根式的有关运算是解题的关键． 20．(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用十字相乘法求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， 或， 解得：，； （2）， 因式分解得：， 或， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和十字相乘法是解答本题的关键． 21．(1)点B坐标为（4,4）点C坐标为（4,0） (2)点P坐标为（0,8）或（0，-8） (3) 【分析】（1）根据题意可知正方形边长为4，可求坐标； （2）求出，根据题意可知，可以求出点P的纵坐标； （3）过点P作交BC于点Q，根据平行线的性质可求解； 【详解】（1）解：∵正方形ABCO的周长为16 ∴正方形边长为4， ∴点B坐标为（4,4）点C坐标为（4,0）． （2）解：由题意可知OA=OB=4， ∴， 则 ， 设点P的坐标为（0，m）， 则OP=， ， 解得， ∴m=8或m=-8， ∴点P坐标为（0,8）或（0，-8）． （3）解：，理由如下： 如图，过点P作交BC于点Q， 则， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积以及平行线的性质，掌握平行线性质和三角形面积的求法是解题的关键． 22．(1)4 (2)四边形AEBP可能为矩形，，理由 【分析】（1）根据矩形性质和已知条件可得，证明△ADP∽△ABE，进而可得结论； （2）结合（1）△ADP∽△ABE，证明四边形AEBP为矩形，再根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=4， ∴∠DAB=90°，， ∴， ∵AP⊥AE， ∴∠PAE=90°， ∴∠DAP+∠PAB=∠PAB+∠BAE， ∴∠DAP=∠BAE， ∴△ADP∽△ABE， ∴， ∴BE=2DP=4； （2）解：四边形AEBP可能为矩形，理由如下： 由（1）得△ADP∽△ABE， ∴∠ABE=∠ADB， ∴∠PBE=∠PBA+∠ABE=∠PBA+∠ADB=90°， 当∠APB=90°时， ∵∠APB=∠PAE=∠PBE=90°， ∴四边形AEBP为矩形， 由勾股定理得BD=， ∵S△ABD=×AB×AD=×BD×AP， ∴AP=， ∴AE=2AP=， ∴S四边形AEBP=AE•AP=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 23．(1)证明 (2)32 【分析】（1）过点作于点，作于点，利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据正方形的判定即可得证； （2）连接，根据正方形的性质、利用定理证出，推出，，再利用勾股定理可得，然后根据垂线段最短求出的最小值，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，作于点， 四边形为正方形， ，， ，且， 四边形为正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中，， ， ， 矩形为正方形． （2）解：如图，连接， 四边形为正方形，， ， ， 矩形为正方形， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键． 24．（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）根据题意画出图形，作，再根据，可知，由平行得到两对同位角相等，进而得到两三角形相似，设出正方形的边长为x，根据相似三角形的性质得到比例式，进而列出关于x的方程，求出方程的解，即可求出正方形的边长； （2）作，交于点M，交于点N，同（1）可知，，根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长； （3）作，交于点M，交于点N，同（1）可知，，根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长； （4）同理可得正方形的边长． 【详解】（1）在图1中作的高交于M．在中， ∵ ∴． 由，得：， ∴． 设正方形的边长为x，则，解得：． 即正方形的边长为． （2）方法同（1），如图2．，则． 设小正方形的边长为x，则，解得：． 即小正方形的边长为． （3）在图3中，作，交于点，交于点． 由，得：， ∴． 设正方形的边长为x，则，解得：． 即正方形的边长为． （4）设每个正方形的边长为x，同理得到： 则=，则， ∴每个小正方形的边长为． 【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、相似三角形的性质及勾股定理．要求学生掌握相似三角形的对应高之比等于相似比，注意此题虽有四问，但是方法雷同，只是比例式中代入的式子不同，应根据图形正方形的个数来确定． 25．(1) (2)4 【分析】（1）f（x）两项结合后，提取公因式，再提取x−1变形，计算即可求出g（x）； （2）由题易得1是方程的一个根．若1为等腰三角形的腰长，则1也是方程的根，代入求得k的值，再求出x的值即为三角形的三边长，经验证不满足三角形的三边关系；若1为等腰三角形的底边长，则方程有两个相等实根，得出△=0，进而求出x的值，得到三角形的三边长，经验证满足三角形的三边关系． 【详解】（1）解：∵f（x）＝x³−x²−4x²＋4x＋kx−k ＝x²（x−1）−4x（x−1）＋k（x−1） ＝（x−1）（x²−4x＋k） ＝（x−1）g（x）， ∴g（x）＝x²−4x＋k． （2）∵， ∴1是方程的一个根． 若1为等腰三角形的腰长，则1也是方程的根． 把1代入，得． ∵方程的两根为1和3， ∴三角形的三边为1，1，3． ∵＜3，不成立； 若1为等腰三角形的底边长，则方程有两个相等实根． 由△，得． ∵方程的两个根为2，2， ∴等腰三角形的三边为1，2，2． ∵＞2，成立． 综上所述，实数． 【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，方程两个相同解的情况下，Δ＝0这一条件，综合应用知识解题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$