期末阶段复习解答压轴题专题提升训练 2024-2025学年浙教版七年级数学下册

2024-2025学年浙教版七年级数学下册期末阶段复习解答压轴题专题提升训练（附答案） 1．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，，用含m的代数式表示n． 2．阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路： 将“”看成一个整体，设， 则：原式 再将“”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设， 则：原式 问题：(1)以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程； (2)请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解． 3．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．同学们经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 小明由此体会到，对项数较多的多项式进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）．请你也试一试利用分组分解法进行因式分解． (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)因式分解：． 4．已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（），面积分别为和． (1)①用含m的代数式表示： ， ；（结果请化简） ②用“”“ ”或“”填空： ； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是 （用含m的代数式表示，并化简）； ②小方同学发现与的差是定值，请计算出这个定值． 5．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 6．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ， ，即的最小值为． 【应用】请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）代数式的最小值为___________． 【拓展】（3）如图1，乐乐想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个长方形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设长方形的边，当取多少米时，羊圈的面积取得最大值？ 7．对于一个平面图形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，可以得到一个因式分解等式．利用图1，可以得到一个因式分解等式：：如图2所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①、②都是剪成边长为a的大正方形．③、④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． (1)观察图2，可以发现多项式可以因式分解为__________________； (2)若每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为34，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和； (3)拓展：如图3表示的是一个棱长为x的正方体切去一个小长方体后重新拼成一个新的长方体，请你根据图中图形的体积变化关系，直接写出一个因式分解形式的等式． 8．乘法公式的探究及应用． 探究问题： 图（1）是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图（2）． （1）图（1）中长方形纸条的面积可表示为 _____________（写成多项式乘法的形式）． （2）拼成的图（2）阴影部分的面积可表示为 _____________（写成两数平方差的形式）． （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：_____________． 结论运用： （4）运用所得的公式计算： _____________； _____________． 拓展运用： （5）计算：． 9．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 10．【阅读理解】：换元法是一种重要的方法，体现了整体思想．举例如下： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ， 那么． 【解决问题】 (1)若x满足，则的值是_____； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在数轴上，点A，B，C表示的数分别是m，10，13，正方形与正方形的面积之和为89，且边的延长线与边交于点P．求长方形的面积． 11．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和 ，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 12．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工． （1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米． （2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由． 13．某校喜迎国庆，七年级准备排练舞蹈《我和我的祖国》，为使舞蹈演员的身高比较整齐，需了解学生的身高分布情况，现从12个班级中任取两个班级的学生，收集他们的身高数据，并整理出如下的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图（部分信息未给出） 组别 身高范围（单位：厘米） 划记 频数 频率 A 3 0.03 B 正 8 0.08 C a 0.15 D 正正正正正 28 0.28 E 正正正正正一 26 0.26 F 正正 14 0.14 G 正一 6 0.06 请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是___________． (2)___________，___________． (3)请补全频数分布直方图 (4)若七年级共有600名学生，请估计身高在D组的学生的人数． 14．综合与实践 【项目背景】近年来旅游业兴起，安徽某一旅行社决定采购一批安徽本地特产以供旅行团的游客选择，该旅行社决定对安徽本地特产中的无为板鸭、霍山石斛、铜陵酥糖、胡玉美蚕豆酱、黄山烧饼、龙润堂极梨膏、采石矶茶干这7种特产进行问卷调查． 【数据收集与整理】旅行社分别对200名南方游客和200名北方游客进行问卷调查，让他们从给定的7种特产中选出心中最想带回家的特产（每人只选一样），将得到的数据整理为以下表格和扇形统计图． 特产编号 A B C D E F G 特产 无为板鸭 霍山石斛 铜陵酥糖 胡玉美 蚕豆酱 黄山烧饼 龙润堂 极梨膏 采石矶 茶干 南方游客 选择人数 20 40 30 40 20 30 20 北方游客 选择人数 30 30 10 20 10 80 20 【数据分析与运用】 南方游客    北方游客 (1)分析表格数据和扇形统计图，北方游客最想带回家的特产为________（填特产编号），求该特产在图2扇形统计图中所对圆心角的度数． (2)以下说法正确的是_________（填正确结论的序号）． ①南方游客选择人数的最天数和最小数的差小于北方游客选择人数的最大数和最小数的差； ②南方游客最想带回家的特产是无为板鸭； ③这7种特产中，游客选择总人数最少的特产是黄山烧饼． (3)该旅行社计划用48000元购进游客选择总人数排名前三的特产，请根据选择人数所占比例，计算购买这3种特产应如何分配金额． 15．某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为． (1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量； (2)求1块板的所有无浪费裁切方案； (3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切． 16．某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 17．综合与实践： 如图1，，． (1)如图1，设，，求、之间的数量关系； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，直接写出的度数． 18．如图，平面上有两条直线，，，P是平面上这两直线间的一点． 【问题提出】（1）如图1，若，，则的度数为__________． 【问题探究】（2）如图2，__________，写出推理过程． 【问题解决】（3）如图3，若，，，求的度数．（用含x，y，z的式子表示） 19．在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动． 操作发现： (1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______； (2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）； (3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由． 20．【知识初探】 （1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线． 王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整； 证明：由折叠可知： 又∵ ∴ …… 【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数． 参考答案 1．（1）解：∵， ∴． ∵，即． 根据（且，、是正整数），则， ∴， 解得． （2）解：∵，． ∴． ∵， ∴，，，， ∴． （3）解：∵， ， ∴． 又∵， ∴把代入，得． 2．（1）解：分解不彻底；分解过程如下： 设 则：原式 ； （2）解：设， 则 ． 3．（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（1）解：①根据题意得： ； ； 故答案为：； ② ， ∵， ∴， ∴，即； 故答案为： （2）解：①根据题意得：该正方形纸片的边长是 ， 故答案为： ②， 所以与的差是定值，即小方同学的发现是正确的． 5．（1）解：①∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； ②∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （2）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组由整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 6．解：（1）∵， 故答案为：． （2）解： ， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． （3）解：设长方形的边，则 ∴ ∵ ∴当时，羊圈的面积取得最大值， 7．（1）解：由图2可得：矩形的面积为：， ∵， ∴ 故答案为：； （2）解：由图2得，所有裁剪线长之和为：， ∵每块小长方形的面积为4， ∴， ∵四个正方形的面积之和为34， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：30； （3）解：由图3中左图得，几何体体积为：， 由图3中右图得，几何体体积为：， ∴， 故答案为：． 8．解：（1）图1中的长方形的长为，宽为，因此面积为； 故答案为：； （2）图2中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 故答案为：； （3）由两个图形阴影部分的面积相等可得， ， 故答案为：； （4）， ， 故答案为：，； （5）原式 ． 9．（1）解： ， （2）解：，且， ， （3）解：设此长方形的边长为a，b，则， ，， ， 得，当且仅当时等号成立时，所以周长的最小值为12， （4）解：∵正数a，b满足 当时，有最小值，当且仅当时等号成立时， 则最小值为． 10．（1）解：设，则，， 那么． （2）解：设，则，， ∵， ∴， ∴的值为23． （3）解：由题意得，，则长方形的面积为， ∵正方形与正方形的面积之和为89，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴长方形的面积为40． 11．（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： （3）解：设这三个电阻，，即， ①当并联，则； ②当并联，则； ③当并联，则 由得 ∴， ∴并联，再与串联，能够使得总电阻最小， 如图： （4）解：同理，由（2）（3）问可推导按照如下图方式摆放： 12．解：（1）设乙工程队每天道路的长度为米，则甲工程队每天道路的长度为米， 根据题意，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为：， ， 答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米； （2）设方案一所用时间为：， 方案二所用时间为，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴方案二所用的时间少． 13．（1）解：本次抽样调查的样本容量是3÷3%=100（人）， 故答案为：100； （2）a=100×0.15=15，m=360°×28%=100.8°， 故答案为：15，100.8； （3）补全直方图： （4）600×28%=168（人）， ∴身高在D组的学生有168人． 14．（1）解：由表格数据和扇形统计图，北方游客最想带回家的特产为，该特产在图2扇形统计图中所对圆心角的度数为． （2）解：①南方游客选择人数的最大数和最小数的差为，北方游客选择人数的最大数和最小数的差为；故①符合题意； ②南方游客最想带回家的特产是霍山石斛与胡玉美蚕豆酱；故②不符合题意； ③这7种特产中，游客选择总人数最少的特产是黄山烧饼．故③符合题意； 故答案为：①③ （3）解：游客选择总人数排名前三的特产分别为龙润堂极梨膏、霍山石斛、胡玉美蚕豆酱， 这3种特产的比例为， ∴（元），（元）， （元）． 答：应用22000元购买龙润堂极梨膏，14000元购买霍山石斛，12000元购买胡玉美蚕豆酱． 15．（1）解：设裁切甲广告牌x块，乙广告牌y块， 依题意得： 解得 答：裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块． （2）解：设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块， 根据题意得： 可得， ∵，为非负整数， ∴或或 答：有以下三种裁切方案： 方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块； 方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块； 方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块． （3）解：①采用方案3，根据题意，得： （张） （张） （张） 需要购买该型号板材252张，用其中250张板材裁切甲广告牌500块，用2张板材裁切乙广告牌12块． ②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块， 根据题意，得： 解得： （张） （张） （张） （张） 需要购买该型号板材33张，用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张，乙广告牌12块． ③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块 根据题意,得： 解得： （张） （张） （张） （张） 需要购买该型号板材33张，用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块． 综上，采用②③两种情况购买，需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块． 16．（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或或， 有4种购进方案： ①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台． 17．（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的读数为或 18．解：（1）过点作， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图，过点P作，过点Q作， ，，， ， ，，， ， 故答案为：； （3）如图，过点P作，过点Q作， ，，， ， ，，， ， 即， ． 19．（1）解：由平移的性质得，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：3； （2）解：过A作直线，交于G，而， ∴， ， 同理， ； 故答案为：15； （3）解：垂直，理由如下 如图，延长交于H，交于N，延长交于M，交直线a于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线a， ∵， ∴直线b； 如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H ∵ ， ∴， ∴， ． 20．（1）证明：由折叠可知： 又∵ ∴ 同理，， ∴， ∴； （2）作，则：， ∴，， ∴， ∵，（正方形的一个内角为90度）， ∴； （3）当点在直线的下方时，如图：过点作，则：， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）可知：， ∴； 当点在上方时，如图，作，则：， 则：， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）知：， ∴； 综上：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$