2.1 等式的性质与不等式性质 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1等式性质与不等式性质 题型1 用不等式（组）表示不等关系 4 题型2 比较实数（式子）的大小 5 题型3 利用不等式的性质比较大小 5 题型4 利用不等式的性质求代数式的取值范围 6 题型5 证明不等式 7 题型6 不等式的实际应用问题 8 基础过关自测 知识点一 不等关系与不等式 1．不等关系与不等式 (1)在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式. (2)用“”或“”连接的不等式叫严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫非严格不等式. 2．用不等式组表示不等关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等关系时，需要用不等式组来表示不等关系. 3．和的含义 (1)不等式读作“大于或等于”，其含义是指“或”，等价于“不小于”,即或中有一个正确,则正确. (2)不等式读作“小于或等于”,其含义是指“或”,等价于“不大于”,即或中有一个正确,则正确. 知识点二 实数，大小的比较 1．实数的特征 (1)任意实数的平方不小于，即； (2)任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的数一定是实数. 2．实数大小比较的依据 (1)在数轴上，不同的点与点分别表示两个不同的实数与，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，则点，在数轴上的位置及实数与的大小关系如图所示： (2)关于实数，大小的比较，有以下基本事实(也称公理)： 如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为;;.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与的大小. 注：①“⇔”符号的左边反映的是实数的大小，右边反映的则是实数的运算性质，合起来就是实数的大小与运算性质之间的关系.它是不等式这一章的理论基础，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据. ②从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与的大小. 3．实数比较大小的基本方法 比较两个实数的大小，基本方法有作差法、作商法、乘方法. 作差法 作商法 乘方法 依据 , , . ,, ,, ,且, 应用范围 多项式、分式、根式或对数式之间的比较(对数式后面会学习) 同号两数比较大小或指数式之间比较大小(指数式后面会学习) 要比较的两数(式)中有根号 步骤 (1)作差; (2)变形; (3)判断差的符号； (4)下结论 (1)作商; (2)变形; (3)判断商值与的大小； (4)下结论 (1)乘方; (2)用作差法或作商法 知识点三 等式的性质 性质 如果,那么 性质 如果,,那么 性质 如果,那么 性质 如果,那么 性质 如果,,那么 知识点四 不等式的性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 可逆 性质2 传递性 , 同向 性质3 可加性 可逆 性质3的推论 移项法则 可逆 性质4 可乘性 的符号 性质5 同向可加性 同向 性质6 同向同正可乘性 同向同正 性质7 可乘方性 同正 注：①在应用性质时，如果两个不等式中有一个带“等号”，而另外一个不带“等号”，那么“等号”不能传递下去.例如，由,不能得到,但由,能得到. ②在应用性质时，要特别注意的符号.当时，有;若没有“”这个条件，则“”是错误的. ③注意不等式的单向性和双向性，也就是说每条性质是否具有可逆性.性质和性质及性质的推论是可逆的，其余的性质在一般情况下是不可逆的. ④在使用不等式的性质时，一定要搞清楚它们成立的前提.例如，性质要求两个不等式为同向不等式；性质要求两个不等式为同向不等式且两不等式同正. 拓展点1 不等式性质的拓展 1．不等式性质和性质的推广 (1)性质的推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向，即若,,,,则 (2)性质的推广：几个都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向，即如果,0,…,,那么 2．不等式的倒数法则 (1)若,则; (2)若,则. 注：①使用不等式的倒数法则的前提是被比较的两个数需同正或同负，取倒数后不等号要“变号”. ②在使用不等式的性质进行解题时，需要变号的情形有两种，同乘负数或者取倒数，即“乘负数，取倒数要变号” 题型1 用不等式（组）表示不等关系 1．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 2．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 题型2 比较实数（式子）的大小 5．（1）设，比较与的大小； （2）已知，函数，当时，，当时，，试比较与的大小． 6．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）（1）已知，，试比较与的大小并证明； （2）如果x，，比较与的大小并证明. 7．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 题型3 利用不等式的性质比较大小 8．(多选)（24-25高一下·广东·阶段练习）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·广西·期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．(多选)（22-23高一上�河南濮阳�期中）下列不等式中不成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．(多选)（24-25高一上·湖南郴州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．(多选)（24-25高一上�重庆�阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 13．(多选)（24-25高一上·江西吉安·期末）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型4 利用不等式的性质求代数式的取值范围 14．（1）已知，，试求与的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 15．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知， (1)求x的取值范围 (2)求的取值范围 16．（24-25高一上·重庆·期中）已知 (1)求的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围 17．已知，则的值满足的条件为（    ） A． B． C． D． 题型5 证明不等式 18．（23-24高一上�陕西榆林�期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 19．（24-25高一上·福建漳州·期中）已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 20．（24-25高一上·山东·阶段练习）（1）设，求证：， （2）设，求证：， 21．（24-25高一上·辽宁·期中）（1）已知，且，请证明：. （2）已知，，且，请证明：与至少有一个大于. 22．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)若、、． ①求证：； ②求证：； ③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． (2)设x、，求证：成立的充要条件是. 题型6 不等式的实际应用问题 23．（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 24．（24-25高一上·云南昆明·期中）如图，直角中，，，，在斜边上，在（包括边界）内，在线段上，，在线段上.四边形和四边形是矩形，，.    (1)试找出与之间的不等量关系式； (2)求矩形和矩形面积之和的最大值. 一、单选题 1．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏常州·期末）若，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东东莞·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知，，均为实数，且满足，那么下列选项中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川内江·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·重庆·阶段练习）设，，则M与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·湖南湘潭·期中）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 二、多选题 9．（24-25高一上·湖南娄底·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高一上·广东佛山·期中）在下列四个命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 11．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 三、填空题 12．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）“”是“”的 .（横线上填写“充要条件”、“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”其中的一个.） 13．已知，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 14．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是 四、解答题 15．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 16．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）（1）当，都为正数且时，试比较代数式与的大小． （2）若，求的取值范围； （3）已知，，求的取值范围． 17．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定量为克，第二种是每次购买黄金定额为万元；在黄金价格有波动的情况下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？ 18．（24-25高一上·上海·期中）王老师和高老师一起去粮店打酱油共三次，王老师每次打100元酱油，高老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，一斤的价格分别为元、元、元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低是哪位老师？请说明理由.（即提炼关键不等式，并证明） 19．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）解决下列问题： (1)已知、，设，．比较与的大小； (2)已知命题：如果实数、为正数，且满足，则和中至少有一个成立．判断命题是否正确，并说明理由； (3)请根据矩形图表信息，补齐不等式______．（其中，，，都为正数）并给出它的代数证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1等式性质与不等式性质 题型1 用不等式（组）表示不等关系 4 题型2 比较实数（式子）的大小 6 题型3 利用不等式的性质比较大小 9 题型4 利用不等式的性质求代数式的取值范围 12 题型5 证明不等式 14 题型6 不等式的实际应用问题 21 基础过关自测 知识点一 不等关系与不等式 1．不等关系与不等式 (1)在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式. (2)用“”或“”连接的不等式叫严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫非严格不等式. 2．用不等式组表示不等关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等关系时，需要用不等式组来表示不等关系. 3．和的含义 (1)不等式读作“大于或等于”，其含义是指“或”，等价于“不小于”,即或中有一个正确,则正确. (2)不等式读作“小于或等于”,其含义是指“或”,等价于“不大于”,即或中有一个正确,则正确. 知识点二 实数，大小的比较 1．实数的特征 (1)任意实数的平方不小于，即； (2)任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的数一定是实数. 2．实数大小比较的依据 (1)在数轴上，不同的点与点分别表示两个不同的实数与，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，则点，在数轴上的位置及实数与的大小关系如图所示： (2)关于实数，大小的比较，有以下基本事实(也称公理)： 如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为;;.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与的大小. 注：①“⇔”符号的左边反映的是实数的大小，右边反映的则是实数的运算性质，合起来就是实数的大小与运算性质之间的关系.它是不等式这一章的理论基础，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据. ②从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与的大小. 3．实数比较大小的基本方法 比较两个实数的大小，基本方法有作差法、作商法、乘方法. 作差法 作商法 乘方法 依据 , , . ,, ,, ,且, 应用范围 多项式、分式、根式或对数式之间的比较(对数式后面会学习) 同号两数比较大小或指数式之间比较大小(指数式后面会学习) 要比较的两数(式)中有根号 步骤 (1)作差; (2)变形; (3)判断差的符号； (4)下结论 (1)作商; (2)变形; (3)判断商值与的大小； (4)下结论 (1)乘方; (2)用作差法或作商法 知识点三 等式的性质 性质 如果,那么 性质 如果,,那么 性质 如果,那么 性质 如果,那么 性质 如果,,那么 知识点四 不等式的性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 可逆 性质2 传递性 , 同向 性质3 可加性 可逆 性质3的推论 移项法则 可逆 性质4 可乘性 的符号 性质5 同向可加性 同向 性质6 同向同正可乘性 同向同正 性质7 可乘方性 同正 注：①在应用性质时，如果两个不等式中有一个带“等号”，而另外一个不带“等号”，那么“等号”不能传递下去.例如，由,不能得到,但由,能得到. ②在应用性质时，要特别注意的符号.当时，有;若没有“”这个条件，则“”是错误的. ③注意不等式的单向性和双向性，也就是说每条性质是否具有可逆性.性质和性质及性质的推论是可逆的，其余的性质在一般情况下是不可逆的. ④在使用不等式的性质时，一定要搞清楚它们成立的前提.例如，性质要求两个不等式为同向不等式；性质要求两个不等式为同向不等式且两不等式同正. 拓展点1 不等式性质的拓展 1．不等式性质和性质的推广 (1)性质的推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向，即若,,,,则 (2)性质的推广：几个都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向，即如果,0,…,,那么 2．不等式的倒数法则 (1)若,则; (2)若,则. 注：①使用不等式的倒数法则的前提是被比较的两个数需同正或同负，取倒数后不等号要“变号”. ②在使用不等式的性质进行解题时，需要变号的情形有两种，同乘负数或者取倒数，即“乘负数，取倒数要变号” 题型1 用不等式（组）表示不等关系 1．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【知识点】用不等式表示不等关系 【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 故选：C 2．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用不等式表示不等关系 【分析】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得． 【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 3．（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用不等式表示不等关系 【分析】根据题意列出不等关系即可. 【详解】由题意得. 故选：D 4．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【答案】(1)(其中a，b，m为正实数，且)（答案形式不唯一） (2) (其中)（答案形式不唯一） 【知识点】用不等式表示不等关系、作差法比较代数式的大小 【分析】将问题转化为证明不等式成立，然后利用差比较法证得不等式成立. 【详解】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖， 即证明不等式 (其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立． 不妨用作差比较法，证明如下： ＝. ∵a，b，m为正实数，且，， ∴，即. （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克， 糖水浓度为，且，求证： (其中). 证明：，且，， ，即， ， 即， ， 即. 题型2 比较实数（式子）的大小 5．（1）设，比较与的大小； （2）已知，函数，当时，，当时，，试比较与的大小． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法比较数的大小可得结论； 【详解】（1） 因为，所以， 又因为， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，所以，所以， （2）， 因为，所以，， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即. 6．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）（1）已知，，试比较与的大小并证明； （2）如果x，，比较与的大小并证明. 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析. 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】（1）（2）应用作差法比较代数式的大小关系即可. 【详解】（1），证明如下： ， 若，则，故，即； 若，则； 若，则，故，即； 综上，. （2），证明如下： ， 当且仅当时等号成立，故. 7．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 题型3 利用不等式的性质比较大小 8．(多选)（24-25高一下·广东·阶段练习）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】应用作差法计算比较判断A，应用不等式性质计算判断C，D，应用特殊值法计算判断B. 【详解】因为，， 对于A，因为，而，，故无法确定与的大小，A错； 对于B，因为，所以，B错； 对于C，由不等式的性质可得，从而，C对； 对于D，由不等式的性质可得，D对. 故选：CD. 9．（24-25高一下·广西·期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质及充分不必要条件定义判断求解. 【详解】因为，所以，所以“”是“”的充分条件； 当，满足，但是不符合，所以“”是“”的不必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件； 故选：B. 10．(多选)（22-23高一上�河南濮阳�期中）下列不等式中不成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】根据特值，不等式的性质及作差法逐项分析即得. 【详解】A. 若，当时，，故A满足题意；     B. 若，则，即，故B不满足题意； C. 若，则，即，故C满足题意； D. 若，则，即，故D不满足题意. 故选：AC. 11．(多选)（24-25高一上·湖南郴州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】利用不等式的性质，结合作差比较大小的方法，逐项判断即得. 【详解】对于A，取，，A错误； 对于B，若，则，，B正确； 对于C，若，，则，C正确； 对于D，若，则，则 ，D错误. 故选：BC 12．(多选)（24-25高一上�重庆�阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】赋值法验证A，由不等式的基本性质验证BD，作差法验证C. 【详解】对A，取，且成立，此时，故A错误； 对B，由与，则，所以，故B正确； 对C，， 因为，， 所以，所以，故C正确； 对D，由，得，又，所以，故D错误. 故选：BC 13．(多选)（24-25高一上·江西吉安·期末）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】对于A，取，，满足，而，A错误； 对于B，因为，所以，即，所以，B正确； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，，所以，D正确. 故选：BCD. 题型4 利用不等式的性质求代数式的取值范围 14．（1）已知，，试求与的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【详解】（1）解：因为，，所以，且，所以．因为，所以．又因为，所以．故的取值范围是，的取值范围是． （2）解：由，得．又，所以，即．故的取值范围是． 15．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知， (1)求x的取值范围 (2)求的取值范围 【答案】(1) (2) 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）两不等式相加可求x的取值范围； （2）利用待定系数法可得，再根据不等式的性质可求的取值范围. 【详解】（1）， 两个不等式相加可得 解得. （2）设， 则，. 即， 又， ， ， 即 的取值范围为. 16．（24-25高一上·重庆·期中）已知 (1)求的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）利用不等式的性质和齐次化可求的取值范围； （2）利用待定系数法结合不等式的性质可求的范围. 【详解】（1）因为，所以，所以； 因为，所以，则，所以 （2）令，所以， 所以，则，所以. 因为，所以， 所以. 17．已知，则的值满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】由的取值范围可分别求得的范围，再利用不等式性质可得结论. 【详解】因为，所以， 由不等式性质可得， 即． 故选：C 题型5 证明不等式 18．（23-24高一上�陕西榆林�期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质证明不等式 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 19．（24-25高一上·福建漳州·期中）已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质，可得答案. 【详解】（1）∵，且、，∴，∴ （2）∵，∴，又，∴， ∴，∴， ∵、，∴，由（1）知， ∴，∴. 20．（24-25高一上·山东·阶段练习）（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】（1）方法一：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法二：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法三：由，利用，即可证明；方法四：几何法，构造符合题意的几何图形； 方法五：构造一次函数， 证明对于，都有即可； （2）方法一：由，利用，即可证明； 方法二：由，利用，即可证明； 方法三：几何法，构造符合题意的几何图形； 方法四：构造一次函数，，证明对，都有即可. 【详解】（1）方法一：，， ， ． 方法二：， ． 方法三： ， ， ， 即． 方法四：几何法 如图，做边长为的正方形，分别在边上分别取点， 使得， 过做交于，交于， 过做交于，交于， 直线与交于点， 则长方形的面积， 长方形的面积， 正方形的面积， 由图可知， 所以． 方法五：设． 将看做内的常数，则函数为一次函数， 又， ． 对于，都有， 即． ． （2）方法一：， ， ， ． ， . 方法二：， ， ， ， ． ， ． 方法三：几何法 做边长为的正方体．分别在棱上取点，使得， 过做平面，过做平面，过做平面，交点见图． 长方体的体积， 长方体的体积． 长方体的体积． 正方体的体积． ． 方法四：设． 将看做内的常数，对于一次函数， 有， ． ∴对于，都有， 即． ． 21．（24-25高一上·辽宁·期中）（1）已知，且，请证明：. （2）已知，，且，请证明：与至少有一个大于. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【知识点】分析法证明、反证法证明 【分析】（1）采用分析法证明，先假设，通过分析得到，再由不等式的性质变形后把代入即可得证； （2）采用反证法，假设，由不等式的性质得到，与题干矛盾即可. 【详解】（1）证明：若，则，，不合题意，. 要证，只需证， 又，只需证， 即，只需证，只需证， 成立，原式成立. （2）证明：假设，，， ，与矛盾， 假设不成立，与至少有一个大于. 22．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)若、、． ①求证：； ②求证：； ③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． (2)设x、，求证：成立的充要条件是. 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；③能找到， (2)证明见解析 【知识点】充要条件的证明、由不等式的性质比较数（式）大小、由不等式的性质证明不等式 【分析】（1）①根据的符号去绝对值即可证不等式成立； ②根据同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性质可证明不等式成立； ③在的两边同时乘以得，在的两边同时乘以得，即可证明. （2）证明充分性：如果，则有和两种情况，分别证明即可；证明必要性：若且，则，化简即可. 【详解】（1）①∵，且、， ∴，∴； ②∵，∴， 又，∴， ∴， ∴， ∵、， ∴，由①知， ∴， ∴； ③∵，， ∴或（只要写出其中一个即可）； （2）①充分性：如果，则有和两种情况， 当时，当时，则、，等式成立， 当时，则、，等式成立， 当时，等式成立， 当时，即、或、， 当、时，、，等式成立， 当、时，、，等式成立， ∴当时，等式成立， ∴当时，成立， ②必要性：若且，则， 即，则，故， 综上所述，是等式成立的充要条件. 题型6 不等式的实际应用问题 23．（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【答案】(1) (2)变好，理由见解析 【知识点】作差法比较代数式的大小、利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果； （2）利用作差法计算比较出大小，可得结论. 【详解】（1）因为，所以， 解得， 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为. （2）由题意得，， 原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为 则. 因为，，所以.， 所以，即. 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了. 24．（24-25高一上·云南昆明·期中）如图，直角中，，，，在斜边上，在（包括边界）内，在线段上，，在线段上.四边形和四边形是矩形，，.    (1)试找出与之间的不等量关系式； (2)求矩形和矩形面积之和的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、用不等式表示不等关系 【分析】（1）有两个条件限制了和的范围，在斜边上，，所以，在（包括边界）内，所以，根据这两个限制条件，及平行线分线段成比例就可求得与之间的不等量关系式； （2）两个矩形的面积可以用和来表示，根据之间的不等关系及二次函数的最值，可求出面积的最大值. 【详解】（1）的延长线交于，交于，如图，    此时，所以， 因为，， 所以， 而由题意，所以， 可得， 因为，所以，解得，即， 所以与之间的不等量关系式为，其中. （2）矩形和矩形面积之和， 因为，故，故，故， 故，而，故，故， 而，故当时， 一、单选题 1．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用不等式表示不等关系 【详解】经过年后，方案B的投入为，则“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为． 方法总结  用不等式（组）表示不等关系的步骤 1．审清题意，明确表示不等关系的关键词语； 2．适当地设未知数表示变量； 3. 用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式（组）． 2．（24-25高一上·江苏常州·期末）若，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】取推翻ABD，作差判断C即可. 【详解】对于ABD，取，则、、无意义，故ABD错误； 对于C，若，则， 由于不同时为0，所以，故C正确. 故选：C. 3．（24-25高一上·广东东莞·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知，，均为实数，且满足，那么下列选项中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，当时，不成立，故A错误； 对于B，当时，不成立，故B错误； 对于C，当时，不成立，故C错误； 对于D，由，得，即，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·四川内江·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】作差法比较代数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、判断命题的真假 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：利用作差法分析判断即可. 【详解】对于选项A：例如，可得，故A错误； 对于选项B：例如，满足， 但，即，故B错误； 对于选项C：例如，满足， 但，即，故C错误； 对于选项D：因为， 若，则， 可得，即，故D正确； 故选：D. 5．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据，可以得到的取值范围，再根据不等式的性质可得到结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 故选：B. 6．（24-25高一上·重庆·阶段练习）设，，则M与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】作差得的表达式，化简可得结果. 【详解】因为，所以 故选：D 7．如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】通过观察三个数的特征可知最大，再利用作差法判断即可得出结果. 【详解】由选项可知，仅需要比较三个数的大小， 显然， ，所以最大， 由可得，， 所以，即 可得. 故选：D 8．（24-25高一上·湖南湘潭·期中）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 【答案】B 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，分别计算比较两种方案物品平均价格可得答案. 【详解】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，其中. 则甲方案购买物品平均价格为： ；乙方案购买物品平均价格为：. 注意到，则乙方案更优惠. 故选：B 二、多选题 9．（24-25高一上·湖南娄底·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】A.取特殊值判断；B.利用不等式性质判断；C.取特殊值判断；D.利用作差法判断. 【详解】A. 当时，，故错误； B. 因为，所以，故正确； C.当时，，故错误； D.若，则，故， 所以，故正确； 故选：BD 10．（24-25高一上·广东佛山·期中）在下列四个命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 【答案】ACD 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质，即可求解ACD，举反例即可求解B. 【详解】对于A，由，则，故，因此A正确； 对于B,取，则， 显然，因此B错误； 对于C，由， 故， 则，即，因此C正确； 对于D，由为互不相等的正数，则，又， 即，即， 又，，即，因此D正确． 故选：ACD． 11．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项推理求解判断. 【详解】不等式，， 对于A，，即，解得，A正确； 对于B，∵，∴，， 又，∴， 即，解得，B错误； 对于C，∵，，∴， 即，解得，C正确； 对于D，∵，， 又， ∴，所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）“”是“”的 .（横线上填写“充要条件”、“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”其中的一个.） 【答案】必要不充分条件 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质得解. 【详解】因为推不出，例如时，而时，能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分条件 13．已知，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】将两式分别平方，作差，根据不等式的基本性质，判断符号，得到大小关系. 【详解】，因为，所以，，所以，， 又因为，， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是 【答案】①②④ 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误； 对于②，当时，满足，不满足，故②错误； 对于③，由，则，即，故③正确； 对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误. 故答案为：①②④. 四、解答题 15．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【知识点】由不等式的性质证明不等式、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）利用比较法，作差即可判断大小： （2）结合不等式性质即可证明． 【详解】解：（1） . （2）证明：因为，可得， 则，又，可得． 16．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）（1）当，都为正数且时，试比较代数式与的大小． （2）若，求的取值范围； （3）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】作差法比较代数式的大小、利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）利用作差法即可判断大小. （2）由，得，再两个不等式相加即可得到结果. （3）首先设，求出的值，再让两个不等式相加可得结果. 【详解】（1）． 因为，所以，， 所以． 因为p，q都为正数，所以， 因此，当且仅当时等号成立． （2）因为，即，， 所以，所以， 又，所以，即． （3）设， ，解得，． ，， ，， 则． 的取值范围是． 17．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定量为克，第二种是每次购买黄金定额为万元；在黄金价格有波动的情况下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？ 【答案】第二种购买方式更有利于控制投资成本. 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】分别求出两种投资方式的黄金平均单价，利用作差法比较它们的大小，可得结论. 【详解】设两次黄金的单价分别为，（，，）. 第一种购买方式，黄金的平均单价为：； 第二种购买方式，黄金的平均单价为：. 由，因为，，， 所以，即第二种购买方式，黄金的平均单价较低. 故第二种购买方式更有利于控制投资成本. 18．（24-25高一上·上海·期中）王老师和高老师一起去粮店打酱油共三次，王老师每次打100元酱油，高老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，一斤的价格分别为元、元、元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低是哪位老师？请说明理由.（即提炼关键不等式，并证明） 【答案】王老师，理由的关键不等式为． 【知识点】计算几个数的平均数、作差法比较代数式的大小 【分析】根据题意分别算出高老师和王老师所打酱油的平均价格，运用比较法进行判断即可. 【详解】王老师的平均价格为， 高老师的平均价格为， 于是有： 因为每次打的酱油价格都不相同，所以互不相等， 所以， 即， 所以王老师的平均价格更低. 故平均价格较低是王老师， 理由的关键不等式为． 19．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）解决下列问题： (1)已知、，设，．比较与的大小； (2)已知命题：如果实数、为正数，且满足，则和中至少有一个成立．判断命题是否正确，并说明理由； (3)请根据矩形图表信息，补齐不等式______．（其中，，，都为正数）并给出它的代数证明． 【答案】(1) (2)命题正确，证明见解析 (3)，证明见解析 【知识点】作差法比较代数式的大小、反证法证明 【分析】（1）利用作差法，将与比较大小，将式子化简即可； （2）利用反证法，假设都不成立，化简后和已知条件发现矛盾，即可证明； （3）利用作差法，将与比较大小，将式子化简即可. 【详解】（1）因为 ， 所以，即 （2）命题正确 用反证法证明如下： 假设和都不成立， 则且， 由已知，实数、为正数实数， 所以且， 故，可得， 与已知矛盾，故假设不成立， 所以和中至少有一个成立． （3）不等式的右侧填，证明如下： 又因为 所以 因为，，，都为正数，所以 所以， 即，原式得证. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$