1.4 充分条件与必要条件 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版2019必修第一册

1.4充分条件与必要条件 题型1 充分条件、必要条件及充要条件的判断 4 考点1 用定义法判断充分条件与必要条件 4 考点2 通过集合的关系判断充分条件与必要条件 6 考点3 等价转化法判断充分条件与必要条件 8 题型2 充分条件、必要条件的探究 9 题型3 应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围 12 题型4 充要条件的证明 16 知识点一 充分条件与必要条件 1．命题 ⑴概念：一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题. ⑵形式：中学数学中的许多命题可以写成“若,则”“如果,那么”等形式.其中称为命题的条件,称为命题的结论. 2．充分条件与必要条件 ⑴充分条件与必要条件的定义 一般地,“若,则”为真命题,是指由通过推理可以得出.这时,我们就说,由可以推出,记作,并且说,是的充分条件,是的必要条件. 如果“若,则”为假命题,那么由条件不能推出结论,记作.此时,我们就说不是的充分条件,不是的必要条件. (2)充分条件与必要条件的关系 是的充分条件反映了,而是的必要条件也反映了,所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同.而是的充分条件只反映,与能否推出没有任何关系. (3)对“推出”的正确理解 对于命题显然可以推出,记为,而是不能推出的. 注：①对于命题“若,则”的条件和结论,我们都视为条件,只看推出符号“”的推出方向,“”前面是后面的充分条件,“”后面是前面的必要条件. ②若,则是的充分条件.所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”. ③若,则是的必要条件.所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少的,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”. ( 7 ) ④如果“若,则”为假命题,那么由推不出,记作.此时,我们就说不是的充分条件，不是的必要条件.如为无理数为无理数,故“是无理数”不是“为无理数”的充分条件. ⑤设,是两个命题,若,就把称为的必要条件.这里的“必要条件”是数学名词,在高中数学中大量使用.有了条件,不一定能得到结论,可是,如果连条件都不具备,结论一定不成立.可见,此处使用“必要条件”一词,既符合数学含义,又言简意赅. 知识点二 充要条件 1．充要条件的定义 如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题,即既有又有,就记作.此时,既是的充分条件,也是的必要条件,我们说是的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果是的充要条件,那么也是的充要条件. 概括地说,如果,那么与互为充要条件. 2．充要条件的理解 若是的充要条件,则也是的充要条件,虽然本质上是一样的,但在说法上还是不同,因为这两个命题的条件与结论不同. 3．充要条件的等价说法 是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立,或与等价. 知识点三 从不同角度理解充分条件、必要条件、充要条件 1. 从命题的角度理解充分必要性 ⑴充分条件与必要条件的判断 设原命题为“若,则”,则逆命题为“若,则”,得与的关系有以下四种情形： 原命题 逆命题 与的关系 结论 真 假 ,但 是的充分不必要条件；是的必要不充分条件 假 真 但 是的必要不充分条件；是的充分不必要条件 真 真 且,即 与互为充要条件 假 假 且 是的既不充分也不必要条件；是的既不充分也不必要条件 ⑵充分条件与必要条件的传递性 充分、必要、充要条件都具有传递性,具体如下： ①若,,则有,即是的充分条件. ②若,,则有,即是的必要条件. ③若,,则有,即是的充要条件.(与互为充要条件) 2．从集合的角度理解充分必要性 ⑴依据 设集合.若具有性质,则;若具有性质,则. 若,就是说具有性质,则必具有性质,即.类似地,与等价,与等价. ⑵结论 如果把研究的范围看成集合,把研究的范围看成集合,则可得下表. 记法 , 关系 且 图示 结论 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 ,互为充要条件 是的既不充分也不必要条件 ⑶适用范围 当所要研究的,含有变量,即涉及方程的解集、不等式的解集、与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系,利用图或数轴解题 题型1 充分条件、必要条件及充要条件的判断 考点1 用定义法判断充分条件与必要条件 1．指出下列各题中是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）. （1）； （2）两个三角形相似，两个三角形全等； （3）； （4）. 【答案】（1）是的充分不必要条件（2）是的必要不充分条件（3）是的充要条件（4）是的既不充分也不必要条件 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、既不充分也不必要条件 【解析】根据充分条件与必要条件的概念，逐个判断，即可得出结果. 【详解】（1）由，但，故是的充分不必要条件. （2）“两个三角形相似”不能推出“两个三角形全等”，但“两个三角形全等”能推出“两个三角形相似”，故是的必要不充分条件. （3），且，故是的充要条件. （4）由不等式的性质，可知：不能推出，且不能推出，故是的既不充分也不必要条件. 【点睛】本题主要考查命题的充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型. 2．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】当且时，成立，但当时，且不一定成立，如且， 所以，， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）设，，则“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由且，根据不等式性质可以知道，故充分性成立； 但是，得不到且， 如且，满足，显然不成立，故必要性不成立； 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 4．(多选)（23-24高一上·河北·阶段练习）设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的必要条件的图为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【知识点】必要条件的判定及性质 【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】对于，开关闭合灯亮，反过来灯泡亮，也可能是开关闭合， 是的充分不必要条件； 对于，只有一个开关，灯如果要亮，开关必须闭合， 是的充要条件； 对于灯亮必须和同时闭合，是的必要不充分条件； 对于，灯一直亮，跟开关没有关系，是的既不充分也不必要条件. 故选：BC. 5．荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】利用充分必要条件的定义求解. 【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件. 故选:A. 考点2 通过集合的关系判断充分条件与必要条件 6．（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的必要不充分条件 【分析】由解得，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若，则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 7．(多选)（23-24高一上·云南昆明·期末）下列选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质 【分析】根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】A，因为能推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，正确； B，因为不能推出，如；同时不能推出，如，即充分性与必要性都不成立，所以是的既不充分也不必要条件，错误； C，因为不能推出，如，即充分性不成立；可以推出，即必要性成立，正确； D，因为等价于，所以是的充要条件，错误． 故选：AC 8．（24-25高一上�贵州六盘水�阶段练习）若，则是的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】既不充分也不必要 【知识点】根式不等式、既不充分也不必要条件 【分析】解出，再利用集合之间关系以及充要条件的判断方法判断即可. 【详解】，解得， 显然与不具备包含关系， 则是的既不充分也不必要条件. 故答案为：既不充分也不必要. 9．（23-24高一上�天津�阶段练习）“成立”是“成立”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 【答案】必要不充分 【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据给定条件，结合充分条件、必要条件的意义判断即得. 【详解】由，得，由，得， 显然， 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 考点3 等价转化法判断充分条件与必要条件 10．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 【答案】D 【知识点】充分条件的判定及性质 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得的取值范围，再根据充分不必要条件即可得结论. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件 为，解得， 又是的充分不必要条件， 故选：. 11．若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】分析题干所提供非空集合A，B，C条件，对三者关系进行判断． 【详解】解：由题意知，，且B中一定含有不属于A的元素，所以， “”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 考点3等价法 12．的三条边长分别为，“”是“为等边三角形”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等边三角形的性质判断. 【详解】若，则， 即，得， 所以，所以为等边三角形，充分性成立； 若为等边三角形，则， 所以，必要性成立. 所以“”是“为等边三角形”的充要条件. 故选：C. 13．（23-24高一上�浙江�阶段练习）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】用立方差公式，按照充要条件的定义推理即可. 【详解】依题意有， 故，， 于是即，充分性获证， 取，则，但，故无必要性， 故选：A. 题型2 充分条件、必要条件的探究 14．（25-26高一上�全国�课后作业）下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 【答案】②③ 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先化简得出，再结合充分不必要条件判断各个选项. 【详解】由解得． 对于①，是的必要不充分条件； 对于②，是的充分不必要条件； 对于③，是的充分不必要条件； 对于④，是的充要条件； 对于⑤，是的必要不充分条件． 故选:②③． 15．（23-24高一上�辽宁阜新�阶段练习）若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空： （1）使，都不为0的充分条件是 ． （2）使，至少有一个为0的充要条件是 ． 【答案】 ④ ① 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、探求命题为真的充要条件 【分析】分别求出条件①②③④的充要条件，然后由充分条件、充要条件的定义即可求解. 【详解】由题意有：①或，即，至少有一个为0； ②，互为相反数，则，可能均为0，也可能为一正数一负数； ③，为任意实数或，均为0； ④或，即，都不为0． 综上可知：（1）使，都不为0的充分条件是④；（2）使，至少有一个为0的充要条件是①． 故答案为：④；①． 16．一次函数的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是（    ） A．， B． C．， D． 【答案】D 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】根据一次函数的性质，以及必要不充分条件的应用，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，一次函数的图象同时经过第一、二、四象限， 则满足，且，解得，， 故由函数的图象同时经过第一、二、四象限可以推出， 而由不一定推出函数的图象过第一、二、四象限， 所以是函数的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件． 故选：D. 17．设，则“”的一个充要条件是（    ） A．a，b都为2 B．a，b都不为2 C．a，b中至少有一个为2 D．a，b都不为0 【答案】C 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】根据充要条件的知识求得正确答案. 【详解】或中至少有一个为. 故选：C 18．（23-24高一上�河南�期中）已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】探求命题为真的充要条件、利用Venn图求集合、判断两个集合的包含关系 【分析】利用维恩图求解. 【详解】因为，则关系如图， 由图可知BCD选项错误，正确. 故选：A 19．（24-25高一上·重庆·期中）命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解. 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B 题型3 应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围 20．（23-24高一上·安徽黄山·期末）已知全集为R，集合，集合或． (1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2)． 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）由是成立的充分不必要条件所以是的真子集，进而求出结果； （2）由可得且，解不等式即可求出结果． 【详解】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集， 则或，解得或， 又因为所以或， 所以的取值范围为或； （2），且 ∴且，即 故的取值范围是． 21．（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由构造不等式即可求解； （2）由构造不等式即可求解； 【详解】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 22．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）利用并集与补集定义计算即可得； （2）由题意可得集合B是集合A的真子集，再分与计算即可得. 【详解】（1）由题意可知， 若，则， 故，则或； （2）由题意可得集合B是集合A的真子集， 当时，，解得， 当时，则有，解得， 且（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 23．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】交并补混合运算、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）由题意可知，集合为集合的真子集，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，全集，则或， 又因为集合，故. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集， 当时，，解得； 当时，由题意可得，解得， 检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意； 当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 24．已知命题：关于的方程的两根均在区间内. (1)若命题为真命题，求实数的取值集合； (2)设，是否存在实数，使得“”是“”的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【知识点】根据必要不充分条件求参数、已知命题的真假求参数 【分析】（1）先求出的两个解，在根据两根均在区在内，列出不等式组，求出实数m的取值集合； （2）根据p是q的必要不充分条件得到是的真子集，分与求解实数a的取值范围. 【详解】（1）由得:， 所以或， 因为命题p为真命题，所以，得. 所以 （2）集合，集合， 由题设，是的真子集， 当时，，解得:；满足题意 当时，或，解得：. 综上所述：， 所以存在实数，满足条件. 25．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据充要条件求参数 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 题型4 充要条件的证明 26．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【答案】见解析． 【知识点】充要条件的证明 【详解】试题分析：充分性：若，则，且，方程方程有一正根和一负根；必要性：若一元二次方程有一正根和一负根，则，，即可得结论. 试题解析： (1)必要性：因为方程有一正根和一负根，所以为方程的两根)，所以ac<0. (2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 27．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【知识点】充要条件的证明 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 28．已知关于的一元二次方程：①，②，．求证：方程①和②都有整数解的充要条件是． 【答案】证明见解析 【知识点】根据充要条件求参数 【分析】先用判别式判断两个方程同时有解时实数的范围为且， 再取或，分别求两方程的解，再判断两方程是否都有整数解即可. 【详解】证明：方程①有实根的充要条件是且，所以且， 方程②有实根的充要条件是，解得， 所以方程①②都有实根的充要条件是：且， 又，故或， 当时，方程①的解为，故不满足题意， 当时，方程①的解为， 方程②的解为或，满足题意， 从而方程①和②都有整数解， 反之，方程①和②都有整数解， 所以方程①和②都有整数解的充要条件是：． 【点睛】本题考查了二次方程有解的充要条件及二次方程解的求法，重点考查了运算能力及方程的思想，属中档题. 29．已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是. 【答案】见解析 【知识点】充要条件的证明 【解析】根据充要条件的定义进行证明即可． 【详解】（1）必要性：由，得，即， 又由，得，所以. （2）充分性：由及， 得，即. 综上所述，的充要条件是. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 30．已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【知识点】充要条件的证明 【分析】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可. 【详解】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 一、单选题 1． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】若，则，但不一定相等.若，则，故“”是“”的必要不充分条件. 2．（23-24高一上�重庆九龙坡�阶段练习）已知 且 ，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件、必要条件的判定及性质、充分条件的判定及性质 【分析】通过充分条件、必要条件的概念对判断即可求解. 【详解】一方面：若令，则， 则此时命题成立，但命题不成立， 所以不是的充分条件； 另一方面：若且，则， 则此时命题成立，但命题不成立， 所以不是的必要条件； 结合以上两方面有是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．（23-24高一上�浙江�期末）若，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则，即由推不出且，故充分性不成立； 若且，则，即由且推得出， 即必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 4．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【详解】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 5．已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【详解】因为，所以，即． 6．下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 【答案】D 【知识点】充分条件的判定及性质、充要条件的证明、判断命题的真假 【详解】对于A，由“且”得“”，但“”未必能推出“且”，如且满足，但不满足，故A是假命题；对于B，“”未必能推出“”，如，故B是假命题；对于C，如一元二次方程有实数根，但不满足“”，故C是假命题，D是真命题． 7．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件、必要条件的概念求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以可得，而推不出， 则是的充分不必要条件， 故选：A 8．（24-25高一上·重庆·期中）设，用表示不超过的最大整数，如，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】取，则，则，故“”推不出“”. 若，设，其中，， 此时，故成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【知识点】判断命题的必要不充分条件、既不充分也不必要条件、判断命题的充分不必要条件、探求命题为真的充要条件 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，由于与互相不能推出，所以A正确; 对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形， 即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件，所以B错误； 对于C，“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，所以C错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件，所以D正确. 故选：AD. 10．已知是成立的必要条件，是成立的充要条件，是成立的充分条件，是成立的不充分条件，则下列说法不正确的是（    ） A．是成立的充要条件 B．是成立的必要不充分条件 C．是成立的充分不必要条件 D．是成立的必要不充分条件 【答案】ACD 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、探求命题为真的充要条件 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的概念逐个选项分析可得答案. 【详解】依题意得，，，， 由，得，但不一定能推出，故A不正确； 由，得，又，所以是成立的必要不充分条件，故B正确； 因为不一定能推出，不一定能推出，所以C不正确； 因为，，所以，又，所以是成立的充分不必要条件，故D不正确. 故选：ACD 11．（24-25高一上·江苏扬州·期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 【答案】ACD 【知识点】判断命题的充分不必要条件、集合新定义 【分析】根据集合新定义结合一元二次方程逐个分析即可. 【详解】对于A，当时，，此时，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B不正确； 对于C，当时，，则，，则，所以； 当时，因为，所以或3，若，则，解得，若，因为方程的两个根和都不是方程的根，所以需满足，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因为，，则或3，由C可知：或，所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】由必要不充分条件得确定两集合关系，再列出不等关系，从而可求解． 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 13．（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【知识点】充要条件的证明、探求命题为真的充要条件 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 14．已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、根据必要不充分条件求参数 【详解】设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则．（1）由题得集合B是集合A的真子集，当时，有，此时；当时，有此时，所以实数m的取值范围是．（2）或．由题意知，所以．若中只有一个整数，则，得． 四、解答题 15．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）已知集合或，或. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据充分不必要条件求参数、并集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）当时，得到，结合并集的概念，即可求解； （2）根据题意，转化为是的真子集，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （3）根据题意，转化为是的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，或，所以. （2）解：因为是的必要不充分条件，可得是的真子集， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. （3）解：因为是的充分不充分条件，可得是的真子集， ①当时，即时，此时，符合题意； ②当时，即时，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 16．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)答案见解析 【知识点】根据充分不必要条件求参数、交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）选①，由题意得到是的真子集，再分集合是否为空集讨论即可；选②，因为，所以，再分集合是否为空集讨论即可；选③，，所以，再分集合是否为空集讨论即可； 【详解】（1）当时，，又， ∴， 又或 ， ∴或； （2）选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 若，则，解得； 若，则且等号不能同时成立，解得， 综上，或，即的取值范围为 选②，因为，所以，下同选①. 选③，，所以，下同选①. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）设全集，集合，非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据必要不充分条件求参数、交并补混合运算 【分析】（1）根据补集、交集的定义计算可得； （2）依题意可得非空集合是集合的真子集，列不等式组，解得即可. 【详解】（1）， 或 当时，， 或. （2）“”是“”的必要不充分条件等价于非空集合是集合的真子集， 易知，即， 则有，且等号不能同时取到，解得. 故的取值范围为. 18．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，命题：，命题：，且是的必要不充分条件，求实数取值集合的所有子集． 【答案】(1) (2)，． 【知识点】根据必要不充分条件求参数、空集的性质及应用 【分析】（1）根据可知无实数根，由此对是否为进行分类讨论即可； （2）先求解出集合，然后根据条件可知是的真子集，分类讨论的情况，由此确定出结果. 【详解】（1）因为，所以方程无实数根， 当，即时，原方程可化为，有实数根，不满足题意； 当时，一元二次方程无实数根， 则，解得，即实数的取值范围为． （2），由题意可得，是的真子集． 当时，得，此时，满足题意； 当时，得，此时，不满足题意． 综上，的取值集合为，其所有子集为，． 19．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1.4充分条件与必要条件 题型1 充分条件、必要条件及充要条件的判断 4 考点1 用定义法判断充分条件与必要条件 4 考点2 通过集合的关系判断充分条件与必要条件 5 考点3 等价转化法判断充分条件与必要条件 5 题型2 充分条件、必要条件的探究 6 题型3 应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围 7 题型4 充要条件的证明 8 基础过关自测 8 知识点一 充分条件与必要条件 1.命题 ⑴概念:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题. ⑵形式:中学数学中的许多命题可以写成“若,则”“如果,那么”等形式.其中称为命题的条件,称为命题的结论. 2.充分条件与必要条件 ⑴充分条件与必要条件的定义 一般地,“若,则”为真命题,是指由通过推理可以得出.这时,我们就说,由可以推出,记作,并且说,是的充分条件,是的必要条件. 如果“若,则”为假命题,那么由条件不能推出结论,记作.此时,我们就说不是的充分条件,不是的必要条件. (2)充分条件与必要条件的关系 是的充分条件反映了,而是的必要条件也反映了,所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同.而是的充分条件只反映,与能否推出没有任何关系. (3)对“推出”的正确理解 对于命题显然可以推出,记为,而是不能推出的. 注:①对于命题“若,则”的条件和结论,我们都视为条件,只看推出符号“”的推出方向,“”前面是后面的充分条件,“”后面是前面的必要条件. ②若,则是的充分条件.所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”. ③若,则是的必要条件.所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少的,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”. ( 7 ) ④如果“若,则”为假命题,那么由推不出,记作.此时,我们就说不是的充分条件,不是的必要条件.如为无理数为无理数,故“是无理数”不是“为无理数”的充分条件. ⑤设,是两个命题,若,就把称为的必要条件.这里的“必要条件”是数学名词,在高中数学中大量使用.有了条件,不一定能得到结论,可是,如果连条件都不具备,结论一定不成立.可见,此处使用“必要条件”一词,既符合数学含义,又言简意赅. 知识点二 充要条件 1.充要条件的定义 如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题,即既有又有,就记作.此时,既是的充分条件,也是的必要条件,我们说是的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果是的充要条件,那么也是的充要条件. 概括地说,如果,那么与互为充要条件. 2.充要条件的理解 若是的充要条件,则也是的充要条件,虽然本质上是一样的,但在说法上还是不同,因为这两个命题的条件与结论不同. 3.充要条件的等价说法 是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立,或与等价. 知识点三 从不同角度理解充分条件、必要条件、充要条件 1. 从命题的角度理解充分必要性 ⑴充分条件与必要条件的判断 设原命题为“若,则”,则逆命题为“若,则”,得与的关系有以下四种情形: 原命题 逆命题 与的关系 结论 真 假 ,但 是的充分不必要条件;是的必要不充分条件 假 真 但 是的必要不充分条件;是的充分不必要条件 真 真 且,即 与互为充要条件 假 假 且 是的既不充分也不必要条件;是的既不充分也不必要条件 ⑵充分条件与必要条件的传递性 充分、必要、充要条件都具有传递性,具体如下: ①若,,则有,即是的充分条件. ②若,,则有,即是的必要条件. ③若,,则有,即是的充要条件.(与互为充要条件) 2.从集合的角度理解充分必要性 ⑴依据 设集合.若具有性质,则;若具有性质,则. 若,就是说具有性质,则必具有性质,即.类似地,与等价,与等价. ⑵结论 如果把研究的范围看成集合,把研究的范围看成集合,则可得下表. 记法 , 关系 且 图示 结论 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 ,互为充要条件 是的既不充分也不必要条件 ⑶适用范围 当所要研究的,含有变量,即涉及方程的解集、不等式的解集、与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系,利用图或数轴解题 题型1 充分条件、必要条件及充要条件的判断 考点1 用定义法判断充分条件与必要条件 1.指出下列各题中是的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答). (1); (2)两个三角形相似,两个三角形全等; (3); (4). 2.(24-25高一上 甘肃甘南 期末)已知,且,则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(24-25高一上 贵州黔东南 期末)设,,则“且”是“”的( ) A.必要不充分条件 B.充分必要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(多选)(23-24高一上 河北 阶段练习)设计如图所示的四个电路图,条件:“开关闭合”;条件:“灯泡亮”,则是的必要条件的图为( ) A. B. C. D. 5.荀子曰:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这句来自先秦时期的名言,阐述了做事情不一点一点积累,就永远无法达成目标的哲理.由此可得,“至千里”是“积跬步”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条 考点2 通过集合的关系判断充分条件与必要条件 6.(24-25高一上 上海 期中)设,则“”是“”的( )条件. A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要 7.(多选)(23-24高一上 云南昆明 期末)下列选项中,是的必要不充分条件的是( ) A. B. C. D. 8.(24-25高一上�贵州六盘水)若,则是的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 9.(23-24高一上�天津)“成立”是“成立”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 考点3 等价转化法判断充分条件与必要条件 10.(24-25高一上 湖南邵阳 阶段练习)“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是( ) A. B.m<1 C. D. 11.若非空集合A,B,C满足,且B不是A的子集,则( ) A.“”是“”的充分不必要条件 B.“”是“”的必要不充分条件 C.“”是“”的充要条件 D.“”是“”的既不充分也不必要条件 12.的三条边长分别为,“”是“为等边三角形”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.(23-24高一上�浙江�阶段练习)若,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型2 充分条件、必要条件的探究 14.下列不等式:①;②;③;④;⑤.其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 . 15.(23-24高一上�辽宁阜新�阶段练习)若,都是实数,试从①;②;③;④中选出满足下列条件的式子,用序号填空: (1)使,都不为0的充分条件是 . (2)使,至少有一个为0的充要条件是 . 16.一次函数的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( ) A., B. C., D. 17.设,则“”的一个充要条件是( ) A.a,b都为2 B.a,b都不为2 C.a,b中至少有一个为2 D.a,b都不为0 18.(23-24高一上�河南�期中)已知U为全集,集合A,B为U的两个子集,则“”的充要条件是( ) A. B. C. D. 19.(24-25高一上 重庆 期中)命题,“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是,( ) A. B. C. D. 题型3 应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围 20.(23-24高一上 安徽黄山 期末)已知全集为R,集合,集合或. (1)若是成立的充分不必要条件,求的取值范围; (2)若,求的取值范围. 21.(23-24高一上 云南玉溪 期中)已知集合,非空集合. (1)若是的必要条件,求实数的取值范围; (2)是否存在实数,使是的充分条件,若存在,求出的取值范围,若不存在,说明理由. 22.(24-25高一上 四川自贡 阶段练习)已知集合,集合. (1)若,求; (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B,求实数m的取值范围. 23.(24-25高一上 四川眉山 期末)已知集合,,全集. (1)当时,求; (2)若“”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围. 24.已知命题:关于的方程的两根均在区间内. (1)若命题为真命题,求实数的取值集合; (2)设,是否存在实数,使得“”是“”的必要不充分条件,若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由. 25.已知集合. (1)若“”是“”的充分条件,求实数a的取值范围. (2)是否存在实数a,使得“”是“”的充要条件?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 题型4 充要条件的证明 26.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 27.已知的内角,,的对边分别为,,,求证:关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是. 28.已知关于的一元二次方程:①,②,.求证:方程①和②都有整数解的充要条件是. 29.已知都是非零实数,且,求证:的充要条件是. 30.已知,求证:的充要条件是. 一、单选题 1.“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(23-24高一上�重庆九龙坡�阶段练习)已知 且 ,则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(23-24高一上�浙江�期末)若,则“”是“且”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知和,且p是q的必要条件,则实数m的值为( ) A.0 B.2或 C.或 D.0或或 5.已知,,若是的必要不充分条件,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.下列命题为真命题的是( ) A.“且”是“”的充要条件 B.“”是“ ”的充分条件 C.“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D.“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 7.(24-25高一上 贵州遵义 阶段练习)已知是的充分不必要条件,是的充要条件,是的充分不必要条件,是的必要不充分条件,则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(24-25高一上 重庆 期中)设,用表示不超过的最大整数,如,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多选题 9.(24-25高一上 江苏 期中)下列命题中为真命题的是( ) A.“”是“”的既不充分又不必要条件 B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C.“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D.设,,则“”是“”的必要不充分条件 10.已知是成立的必要条件,是成立的充要条件,是成立的充分条件,是成立的不充分条件,则下列说法不正确的是( ) A.是成立的充要条件 B.是成立的必要不充分条件 C.是成立的充分不必要条件 D.是成立的必要不充分条件 11.(24-25高一上 江苏扬州 期中)用表示非空集合中元素的个数,定义,已知集合,则下面正确结论正确的是( ). A.; B.; C.“”是“”的充分不必要条件; D.若,则 三、填空题 12.(24-25高一上 云南昭通 阶段练习)若“”是“”的必要不充分条件,则实数的取值范围为 . 13.(24-25高一上 上海宝山 期中)一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 14.已知. (1)若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是 ; (2)若仅有一个整数使得“p不成立,且q成立”,则实数m的取值范围是 . 四、解答题 15.(24-25高一上 浙江温州 阶段练习)已知集合或,或. (1)当时,求; (2)若“”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围; (3)若“”是“”的充分不充分条件,求实数的取值范围. 16.(24-25高一上 福建福州 期中)已知集合,. (1)当时,求,; (2)从①“”是“”的充分不必要条件;②;③,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并进行解答. 问题:若_,求实数的取值范围. 17.(24-25高一上 全国 课后作业)设全集,集合,非空集合,. (1)若,求; (2)若“”是“”的必要不充分条件,求的取值范围. 18.(24-25高一上 山东青岛 阶段练习)已知集合,. (1)若,求实数的取值范围; (2)若,命题:,命题:,且是的必要不充分条件,求实数取值集合的所有子集. 19.(24-25高一上 安徽淮南 阶段练习)已知,求证:成立的充要条件是.提示: 2 学科网(北京)股份有限公司 $$