1.3 集合的基本运算 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.3集合的基本运算 题型1 并集、交集、补集的基本运算 6 考点1 并集运算 6 考点2 交集运算 6 考点3 补集运算 7 题型2 用图示法解决集合的运算问题 8 题型3 利用集合的运算解决参数问题 8 考点1 求参数的值 8 考点2 求参数的取值范围 9 题型4 集合中元素个数的计算 10 题型5 定义新运算与集合运算的综合应用 11 知识点一 并集及其性质 1．并集的概念 自然语言：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作(读作“并”) 符号语言： 图形语言：用图表示不同的情形(图中的阴影部分表示集合与的并集) 注：对并集的理解 ①仍是一个集合，由所有属于集合或属于集合的元素组成. ②“或”字的意义：并集中的“或”与生活中的“或”字含义不同.生活中的“或”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”连接的并列成分之间不会互相排斥.“或”包括三种情况，如图所示. ③中元素的个数不一定就是和中元素的个数. 因为集合元素具有互异性，所以若集合和有公共元素时，则公共元素在并集中只能出现一次,如,,则,则不能写成.若和没有公共元素,则中元素的个数就是和中元素的个数之和. 2．并集的性质 性质 说明 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 , 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 多个集合的并集满足结合律 知识点二 交集及其性质 1．交集的概念 自然语言：一般地，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集,记作,读作“交” 符号语言： 图形语言： 注：①仍是一个集合,不仅表示“中的任意元素都是与的公共元素”，同时还表示“集合与的公共元素都属于”，这就是定义中“所有”二字的含义，而不是“部分”公共元素. ②“且”字的意义：中的元素既属于又属于，“且”有“同时”的意思. ③两个集合与没有公共元素不能说两个集合没有交集，而是.例如：,,则.原因是为数集,为点集,两者不可能有公共元素，故. 2．交集的性质 性质 说明 满足交换律 空集与任何集合的交集都为空集 集合与其本身的交集等于集合本身 多个集合的交集满足结合律 多个集合的综合运算 满足分配律 任何集合与它子集的交集等于它的子集，反之亦然 , 两个集合的交集是其中任一集合的子集 知识点三 全集与补集 1．全集的概念 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,通常记作. 2．补集的概念 自然语言：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集,简称为集合的补集,记作 符号语言： 图形语言： 注：对全集和补集的理解 ①全集不是固定不变的，它因所研究的问题而异，如无特别说明，数集中的全集通常默认为. ②补集是相对全集而言的，二者缺一不可.补集既是集合之间的一种关系，又是集合间的一种运算，求集合的补集的前提是是全集的子集，即，. ③表示为全集时的补集，如果全集换成其他集合(如时)，则“”也必须换成相应的集合(即). ④若,,则和二者必居其一. 3．全集与补集的性质 性质 含义 一个集合与其补集的并集是全集 一个集合与其补集的交集是空集 一个集合的补集的补集是其本身 空集的补集是全集 全集的补集是空集 在同一全集中，任何集合的补集是其子集的补集的子集 在同一全集中，相等集合的补集也相等 拓展点一 德摩根定律与容斥原理 1．德·摩根定律 设集合为全集，，为的子集，则有 ;，这一结论也称为德·摩根定律. 下面用图作直观解释. (1)如图. (2)如图. 2.容斥原理 我们用表示有限集合中元素的个数，记作，如集合,则. 若,分别表示任意两个有限集合,中元素的个数，则. 由图可知的元素个数在和中均计数一次,因而在中计数两次，所以 两种重要变形： (1) (2) 运用类似的推导方法,可得 .此公式可由图来解释. 题型1 并集、交集、补集的基本运算 考点1 并集运算 1．（24-25高一下·辽宁·期中）设集合，，则的元素个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．2 2．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东揭阳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，则集合（    ） A． B．或 C．或 D．或 考点2 交集运算 5．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·云南·阶段练习）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·云南保山·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，则的元素个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 考点3 补集运算 9．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 11．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知集合，，求，，，. 题型2 用图示法解决集合的运算问题 15．（24-25高一下·云南昆明·期中）若A、B是全集的真子集，则下列四个命题中与命题等价的有（    ） ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 16．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 17．(多选)（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型3 利用集合的运算解决参数问题 考点1 求参数的值 18．(多选)（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 19．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．已知集合和，满足，，则实数 ． 21．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设，，若，则实数a的值为 . 22．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 23．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 考点2 求参数的取值范围 24．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合，若，则的取值范围是 . 26．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 27．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 28．设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 29．已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 题型4 集合中元素个数的计算 30．（24-25高一上·全国·课后作业）二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 32．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 33．某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，，，则（ ） A． B． C． D． 35．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 题型5 定义新运算与集合运算的综合应用 36．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 37．对于集合M，N，定义差集且，设集合，则 ． 38．对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 40．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集); (2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求; (3)若集合，集合，且A-B=⌀，求实数a的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，．若，则（    ） A．4 B．2或2 C．2 D．2 3．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（24-25高一下·广东韶关·阶段练习）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集是的两个子集，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 8．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知全集，集合，，则（    ） A．. B． C．. D． 11．（24-25高一上·湖南永州·期中）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 三、填空题 12．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知集合，，若，则的取值集合是 ． 13．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 ． 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，其中，，，，中元素之和为124，且，用列举法写出集合 . 四、解答题 15．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 17．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 18．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知集合，． (1)当，时，求和； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3集合的基本运算 题型1 并集、交集、补集的基本运算 6 考点1 并集运算 6 考点2 交集运算 7 考点3 补集运算 9 题型2 用图示法解决集合的运算问题 11 题型3 利用集合的运算解决参数问题 12 考点1 求参数的值 12 考点2 求参数的取值范围 15 题型4 集合中元素个数的计算 20 题型5 定义新运算与集合运算的综合应用 23 知识点一 并集及其性质 1．并集的概念 自然语言：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作(读作“并”) 符号语言： 图形语言：用图表示不同的情形(图中的阴影部分表示集合与的并集) 注：对并集的理解 ①仍是一个集合，由所有属于集合或属于集合的元素组成. ②“或”字的意义：并集中的“或”与生活中的“或”字含义不同.生活中的“或”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”连接的并列成分之间不会互相排斥.“或”包括三种情况，如图所示. ③中元素的个数不一定就是和中元素的个数. 因为集合元素具有互异性，所以若集合和有公共元素时，则公共元素在并集中只能出现一次,如,,则,则不能写成.若和没有公共元素,则中元素的个数就是和中元素的个数之和. 2．并集的性质 性质 说明 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 , 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 多个集合的并集满足结合律 知识点二 交集及其性质 1．交集的概念 自然语言：一般地，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集,记作,读作“交” 符号语言： 图形语言： 注：①仍是一个集合,不仅表示“中的任意元素都是与的公共元素”，同时还表示“集合与的公共元素都属于”，这就是定义中“所有”二字的含义，而不是“部分”公共元素. ②“且”字的意义：中的元素既属于又属于，“且”有“同时”的意思. ③两个集合与没有公共元素不能说两个集合没有交集，而是.例如：,,则.原因是为数集,为点集,两者不可能有公共元素，故. 2．交集的性质 性质 说明 满足交换律 空集与任何集合的交集都为空集 集合与其本身的交集等于集合本身 多个集合的交集满足结合律 多个集合的综合运算 满足分配律 任何集合与它子集的交集等于它的子集，反之亦然 , 两个集合的交集是其中任一集合的子集 知识点三 全集与补集 1．全集的概念 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,通常记作. 2．补集的概念 自然语言：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集,简称为集合的补集,记作 符号语言： 图形语言： 注：对全集和补集的理解 ①全集不是固定不变的，它因所研究的问题而异，如无特别说明，数集中的全集通常默认为. ②补集是相对全集而言的，二者缺一不可.补集既是集合之间的一种关系，又是集合间的一种运算，求集合的补集的前提是是全集的子集，即，. ③表示为全集时的补集，如果全集换成其他集合(如时)，则“”也必须换成相应的集合(即). ④若,,则和二者必居其一. 3．全集与补集的性质 性质 含义 一个集合与其补集的并集是全集 一个集合与其补集的交集是空集 一个集合的补集的补集是其本身 空集的补集是全集 全集的补集是空集 在同一全集中，任何集合的补集是其子集的补集的子集 在同一全集中，相等集合的补集也相等 拓展点一 德摩根定律与容斥原理 1．德·摩根定律 设集合为全集，，为的子集，则有 ;，这一结论也称为德·摩根定律. 下面用图作直观解释. (1)如图. (2)如图. 2.容斥原理 我们用表示有限集合中元素的个数，记作，如集合,则. 若,分别表示任意两个有限集合,中元素的个数，则. 由图可知的元素个数在和中均计数一次,因而在中计数两次，所以 两种重要变形： (1) (2) 运用类似的推导方法,可得 .此公式可由图来解释. 题型1 并集、交集、补集的基本运算 考点1 并集运算 1．（24-25高一下·辽宁·期中）设集合，，则的元素个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．2 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得，则有7个元素. 故选：C. 2．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】并集的概念及运算 【分析】先明确集合，再根据集合并集的运算求并集即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D 3．（24-25高一下·广东揭阳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【分析】应用集合的并运算求集合即可. 【详解】由题设. 故选：C. 4．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，则集合（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】并集的概念及运算 【分析】先求出集合，再根据并集的定义求解即可. 【详解】由，或， 则或. 故选：D. 考点2 交集运算 5．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、交集的概念及运算 【详解】依题意得，集合中的元素满足，，，，，，则的可能取值为0，1，2，3，4，8，即，所以． 6．（24-25高一上·云南·阶段练习）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先求集合，由集合的交集运算即可求解. 【详解】由，所以， 所以， 故选：C. 7．（24-25高一上·云南保山·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算 【分析】根据题意，由条件可得，再结合集合的运算，即可得到结果. 【详解】，且， 所以，则. 故选：C 8．已知集合，则的元素个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】依题意，转换为两函数图象交点问题，联立方程组求解，从而得到答案. 【详解】联立，整理得， 解得，则，即，有1个元素. 故选：. 考点3 补集运算 9．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集定义计算求解. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 10．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据集合的补集运算即可求解. 【详解】∵，，∴. 故选：A. 11．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】补集的概念及运算 【详解】由补集定义可知. 12．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】补集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，则， 又，所以， 故选：C. 13．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算、补集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】根据题意结合集合的补集和并集运算求解即可. 【详解】因为全集，集合，则 所以 故选：A. 14．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知集合，，求，，，. 【答案】或，或，，或或. 【知识点】交并补混合运算、补集的概念及运算、并集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】由题意，利用集合交并补的运算，可得答案. 【详解】由，， 则，， 或，或， 所以或，或， 或，或或. 题型2 用图示法解决集合的运算问题 15．（24-25高一下·云南昆明·期中）若A、B是全集的真子集，则下列四个命题中与命题等价的有（    ） ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】利用Venn图求集合、补集的概念及运算、并集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】画出韦恩图，对①②③④一一判断，结合交集，并集，补集的概念得到答案. 【详解】A、B是全集的真子集，且，画出韦恩图如下： 对于①，，等价于，①正确； 对于②，，等价于，②错误； 对于③，，等价于，故不一定能得到，③错误； 对于④，，则，与A、B是全集的真子集矛盾，舍去. 故选：B 16．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】由图得阴影部分为，即可求解； 【详解】由图可知，阴影部分为， 故选：A 17．(多选)（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】利用Venn图求集合、交并补混合运算 【分析】结合韦恩图，利用交并补的定义表述即得. 【详解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为或者. 故选：AD. 题型3 利用集合的运算解决参数问题 考点1 求参数的值 18．(多选)（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的. 【详解】∵， 又∵，∴ 所以当时，此时；当时，此时； 当时，此时；时，此时不存在； 综上可得：实数a的值可以是， 故选：ABC. 19．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据补集运算确定集合或参数 【分析】根据补集的定义，由求解. 【详解】解：因为集合，且， 所以，即，解得或， 当时，，符合题意； 当时，与互异性矛盾， 所以2， 故选：B 20．已知集合和，满足，，则实数 ． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据补集运算确定集合或参数 【详解】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得即解得 21．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设，，若，则实数a的值为 . 【答案】或或 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】化简集合，讨论，，两种情况，即可求得a的值． 【详解】集合， 由可得， 若，，满足， 若，，若， 则或 得或． 综上，实数a的取值为或0或1． 故答案为：或0或1． 22．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 【答案】(1)，； (2)或或. 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据交集结果有求，再由并集结果有，结合根与系数关系求参数值； （2）由包含关系并讨论、求对应参数值，即可得. 【详解】（1）由，故，可得，则， 又，则，故； 所以，； （2）由， 若，即，满足题设， 若，即，则，或， 综上，或或. 23．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【答案】(1)，； (2)，. 【知识点】交并补混合运算、根据补集运算确定集合或参数、并集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）求出集合，由确定集合中元素，进而求出的值及集合. （2）将全集用列举法表示，由补集的意义求出，进而求出集合即可求解. 【详解】（1）依题意，，由，且，，得， 即，因此，解得，经验证符合题意， 解方程，得或，， 所以，. （2）依题意，，由，得， 由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意， ，则， 所以，. 考点2 求参数的取值范围 24．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、补集的概念及运算、空集的概念以及判断 【分析】根据求得的取值范围. 【详解】因为集合， 所以， 由于， 所以. 故选：A. 25．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合，若，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、交并补混合运算 【分析】确定，结合，即可求解. 【详解】， 所以或，又 所以， 故答案为： 26．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【详解】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为． 27．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）由，结合数轴即可求解； （2）结合数轴即可求解； （3）由条件得到或，进而可求解； （4）由和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以，画出数轴如图： 所以，解得，故实数的取值范围是． （2）画出数轴如图，因为， 所以，解得． （3）因为，所以或． 又因为，所以或． 故实数的取值范围是． （4）①若，则，所以． ②若，因为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 28．设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、根据补集运算确定集合或参数 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 29．已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【详解】解：（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 题型4 集合中元素个数的计算 30．（24-25高一上·全国·课后作业）二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】容斥原理的应用 【分析】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为，作出韦恩图，可得出该班学生人数. 【详解】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为， 如下图所示： 由图可知，该班学生人数为. 故选：B. 31．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】利用Venn图求集合、集合的应用 【分析】设同时参加了3个小组的人数为，然后结合题意用维恩图求解即可； 【详解】如图，设同时参加了3个小组的人数为x，则， 解得，即同时参加了3个小组的人数为8． 故选：D. 32．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 33．某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据集合的交集、并集运算求解即可. 【详解】设仅第一天开车人数为 ，仅第二天开车人数为 ，两天都开车人数为 ， 则由图知 ， ， 两式相减得 ， . 故选：C. 34．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】集合的应用、交并补混合运算 【分析】根据的定义，结合集合，，的元素个数可得解. 【详解】A选项：由已知，则，A选项错误； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项错误； 故选：B. 35．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【答案】17 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 故答案为：17 题型5 定义新运算与集合运算的综合应用 36．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 【答案】 【知识点】集合新定义 【分析】根据题设定义，结合条件，即可求解. 【详解】由题设定义知， 故答案为：. 37．对于集合M，N，定义差集且，设集合，则 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、集合新定义 【详解】因为，所以．又当时，，所以．故． 38．对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】集合新定义、并集的概念及运算 【分析】根据题设定义求出和，再求出即可． 【详解】对于集合，，定义且，， 设，， 则，， 所以. 故选：C． 39．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)能，0或 【知识点】集合新定义、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）利用（1）（2）的结论，结合给定的集合运算结果，按是否为空集分类求解. 【详解】（1）对任意的，有，， 全集且， 则 由，得，或，或， 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2），由且，，得，， 因此，所以. （3）由（1）（2）知，，，则， 假设集合，能满足，则，或且， 又，当时，；当时，解得，经验证，或都符合要求， 所以实数的值为0或. 40．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集); (2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求; (3)若集合，集合，且A-B=⌀，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【知识点】集合新定义、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可； （2）根据差集的概念，求出的结果，进而再一次利用差集的概念求得； （3）因为，得到.根据集合之间的包含关系，分类讨论即可. 【详解】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示： （2），，根据差集概念，， 令，再根据差集概念得： （3）因为，所以. 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足. 当时，. 因为，所以. 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即. 结合，则. 当时，. 因为，所以. 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取. 综上，的取值范围是 一、单选题 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据集合的并运算求解即可. 【详解】因为集合，，所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，．若，则（    ） A．4 B．2或2 C．2 D．2 【答案】C 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据交集结果求参数值即可. 【详解】因为,，，所以 若，则，，与题意不符， 所以，则，经验证，此时满足题意. 故选：C 3．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】交并补混合运算 【分析】由求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以或， 故选：. 4．（24-25高一下·广东韶关·阶段练习）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交并补混合运算 【分析】可根据交并补的概念算出各选项结果判断即可. 【详解】由题意得． 故选：C. 5．已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【详解】由得或．又，所以，故． 6．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集是的两个子集，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】根据题意分析可知，再结合补集和并集运算求解. 【详解】因为，可知， 且，所以. 故选：B. 7．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 8．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】由新定义，列举计算即可； 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 二、多选题 9．已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】判断两个集合的包含关系、根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【详解】根据题意画出图，如图所示，由图可知． 10．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知全集，集合，，则（    ） A．. B． C．. D． 【答案】AB 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据条件，先解不等式求出集合及其补集，再利用集合的运算，对各个选项分析判断，即可求解. 【详解】因为全集，集合，， 所以或，， ，， 所以，，， ，故选项AB正确，CD错误. 故选：AB 11．（24-25高一上·湖南永州·期中）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【知识点】交集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、根据补集运算确定集合或参数、集合新定义 【分析】根据集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可． 【详解】解：对于A，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确； 对于B，因为，所以， 即与是相同的，所以，即B正确； 对于C，因为，所以， 所以，即C错误； 对于D，由于 ， 而， 故，即D错误． 故选：AB． 三、填空题 12．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知集合，，若，则的取值集合是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、集合元素互异性的应用 【分析】由题意可知，根据包含关系列式求解，并结合集合的互异性运算求解. 【详解】因为，则， 若，可得或， 当，则集合，，符合题意； 当，则集合，，符合题意； 若，可得，不满足互异性，不符合题意； 综上所述：的取值集合是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 ； 【答案】 9 3 【知识点】容斥原理的应用 【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为，列出方程计算即可． 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，其中，，，，中元素之和为124，且，用列举法写出集合 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】根据给定条件，结合不等式性质及交集的结果求出，再分类探讨求出即得. 【详解】依题意，都是正整数，由，得， 而，得，解得，又，则， 此时，而，若，则，由，得正整数，， ，，中所有元素和为100，不符合题意， 因此，解得，，， ，于是，即，解得， 所以. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 【答案】(1)，； (2)，. 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）根据集合的交集和并集的定义求解； （2）根据交集定义求，再求，再结合（1）结合并集定义求. 【详解】（1）因为，， 所以，， （2）因为，， 所以，又， 所以， 由（1），， 所以. 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算 【分析】（1）由，得到，再利用集合的并集运算求解； （2）由，得到，再分和求解. 【详解】（1）不等式解得，集合， 当时，集合， 所以； （2）由，得， 当时，，即，符合题意； 当时， ，解得， 综上：实数m的取值范围. 17．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【分析】（1）根据并集，补集和交集的概念进行求解； （2）求出，根据并集结果得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，， 故， 或，或， 故或； （2），则，解得， 或，， 要想，需满足，解得， 综上，的取值范围是. 18．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知集合，． (1)当，时，求和； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，或． (2)存在， 【知识点】根据两个集合相等求参数、交并补混合运算 【分析】(1)代入，，根据集合的运算律求解; (2)假设存在实数，使得集合，列方程求实数，由此可得结果. 【详解】（1）当，时，． 又， 所以， ，或． （2）假设存在实数满足条件． 因为，所以由，得． 由，得解得  故存在，，使得． 19．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由已知，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据根与系数关系和完全差的平方公式化简求值即可； （3）由条件可得，结合集合确定集合，再根据集合情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以，， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且，， 所以，． （3）因为，所以，又， 所以或或或， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当时，则，无解， 综上，的范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$