贵州省盘州市第二中学2024-2025学年高二下学期数学期末考前冲刺模拟卷三（人教A版）

2025届高二下学期期末考前冲刺卷三（人教A版） 命题范围：导数及其应用31%、计数原理7%、随机变量及其分布列31%、成对数据分析13%、集合与简易逻辑7%、不等式4%、函数7%. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．函数在上是（    ） A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数 C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数 3．在的展开式中项的系数是（    ） A． B．192 C．32 D． 4．“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知随机变量服从正态分布，下列结论中正确的是（   ） A． B．当时， C． D．随机变量落在与落在的概率相等 6．嫦娥六号是中国计划进行的一次月球采样返回任务.假设嫦娥六号在接近月球表面时，需要进行一系列的减速操作，其减速过程可以近似地看作是一个指数衰减过程，其速度（单位：米/秒）随时间t（单位：秒）的变化关系可以表示为：，其中是初始速度，是一个减速过程相关的常数.已知嫦娥六号在时的初始速度为，经过后，速度变为.若嫦娥六号需要在时将速度减至月球表面的安全着陆速度，则（    ） （精确到小数点后一位，参考数值：） A．99.7 B．99.8 C．99.3 D．96.3 7．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件“两卦的六根线中恰有三根阳线”，“至少有一卦恰有两根阳线”，则（    ） A． B． C． D． 8．设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于一元线性回归模型的叙述正确的有（    ） A．经验回归直线经过样本中心点，点可以不在样本中 B．对于经验回归直线，增加一个单位，平均增加个单位 C．残差平方和越小，模型的拟合效果越差 D．若相关系数，则与的相关程度很强 10．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 11．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ） A．的周期为4 B． C． D．的所有零点之和为14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线的斜率为 ． 13．“隔板法”是排列组合问题中的一种解题模型，多应用于“实际分配问题”.例如:8个完全相同的球全部放到3个不同的盒子中，每个盒子至少一个，有多少种不同的分配方法.在解决本题时，我们可以将8个球排成一行，8个球出现了7个空档，再用两块隔板把8个球分成3份即可，故有种分配方法.请试写出一道利用“隔板法”解决的题目: （答案不唯一，合理即可）. 14．袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为.下列结论中正确的是 .①；②；③；④. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）： 学校 企业 自由开发者 有需求 170 无需求 120 已知调查了400个学校和150个自由开发者. (1)求和的值； (2)估计目标用户对该设备有需求的概率； (3)是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？ 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16．有两个条件：（1）函数的图象过点，且函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.（2）在时取得极大值.这两个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题.题目：已知函数存在极值，并且______. (1)求的解析式； (2)当时，求函数的最值 17．某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）． (1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望； (2)消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差． 18．一个生产车间有三台设备，假设在一天的运行中，设备1，2，3出现故障的概率分别为，，，其中，每台设备一天最多出现一次故障，各部件的状态相互独立. (1)若，求车间在一天的运行中，有两台设备出现故障的概率； (2)对于出现故障的设备，车间在当天对其修复，且设备1，2，3的单次维修费用分别为50元，100元，150元，通过计算说明当时该车间每年设备维修费用的均值不超过5.475万元.（一年按365天计算）. 19．定义：，，是函数的三个零点，若，则称为“增差函数”，若，则称为“减差函数”，若，则称为“增比函数”，若，则称为“减比函数”． (1)已知函数，判断是否为“增差函数”“减差函数”“增比函数”“减比函数”． (2)已知函数有三个零点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：为“增差函数”，为“减比函数”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高二下学期期末考前冲刺卷三（人教A版） 命题范围：导数及其应用31%、计数原理7%、随机变量及其分布列31%、成对数据分析13%、集合与简易逻辑7%、不等式4%、函数7%. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】集合，，所以. 故选：C 2．函数在上是（    ） A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数 C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数 【答案】B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性. 【详解】定义域为， 且，所以为奇函数， 又恒成立（不恒为），所以在上单调递减. 故选：B 3．在的展开式中项的系数是（    ） A． B．192 C．32 D． 【答案】A 【分析】根据二项式的通项易求得项的系数. 【详解】的通项为， 取，解得，则项的系数为. 故选：A. 4．“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立有恒成立，应用基本不等式及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 5．已知随机变量服从正态分布，下列结论中正确的是（   ） A． B．当时， C． D．随机变量落在与落在的概率相等 【答案】D 【分析】由正态分布的对称性可得A错误，D正确；由方差的性质可得B错误；由正态分布期望的表示可得C错误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，由正态分布密度曲线可知，故C错误； 对于D，由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与落在的概率相等，故D正确． 故选：D． 6．嫦娥六号是中国计划进行的一次月球采样返回任务.假设嫦娥六号在接近月球表面时，需要进行一系列的减速操作，其减速过程可以近似地看作是一个指数衰减过程，其速度（单位：米/秒）随时间t（单位：秒）的变化关系可以表示为：，其中是初始速度，是一个减速过程相关的常数.已知嫦娥六号在时的初始速度为，经过后，速度变为.若嫦娥六号需要在时将速度减至月球表面的安全着陆速度，则（    ） （精确到小数点后一位，参考数值：） A．99.7 B．99.8 C．99.3 D．96.3 【答案】A 【分析】由题意可得，可求得，又，代入计算可求得. 【详解】由，根据题意可得，又， 所以，两边取以为底的对数，可得， 所以，由，所以，所以 所以两边取以为底的对数得， 所以. 故选：A. 所以 7．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件“两卦的六根线中恰有三根阳线”，“至少有一卦恰有两根阳线”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率计算公式求得正确答案. 【详解】由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个， 两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个， 所以， 所以. 故选：C 8．设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导，得到在上单调递增，可直接判断B、C选项；举出反例，设，可判断A、D选项. 【详解】令，则， 所以在上单调递增， B选项，由，即，可得，故B错误； C选项，由，即，可得，故C正确； A选项，因为，不妨设（为常数）， 即（为常数），所以， 令，故，当时，为常数函数， 此时，即，所以，故A错误； D选项，根据上述分析，，（为常数）， 故，，令，， 当时，，在上单调递减， 所以，则，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于一元线性回归模型的叙述正确的有（    ） A．经验回归直线经过样本中心点，点可以不在样本中 B．对于经验回归直线，增加一个单位，平均增加个单位 C．残差平方和越小，模型的拟合效果越差 D．若相关系数，则与的相关程度很强 【答案】AB 【分析】根据回归直线的相关性质判断AB选项，根据残差平方和的性质判断C选项，根据回归直线的性质判断D选项. 【详解】A选项，回归直线一定通过样本点的中心，但样本点的中心可以不在样本中，A选项正确； B选项，由及回归直线的性质，增加一个单位，平均增加个单位，B选项正确； C选项，残差的平方和越小，模型拟合效果越好，C选项错误； D选项，相关系数的绝对值接近时，才可以说与的相关程度很强， 但很明显和的偏差很大，因此与的相关程度不强，D选项错误. 故选：AB 10．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，直接由题意结合基本不等式得即可得解；对于B，由A得结合对数运算法则以及对数函数性质即可得解；对于C，由题意得和即，代入结合一元二次函数性质即可得解；对于D，由基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】对于A，因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，由A及题意可知，当且仅当时等号成立， 所以由是增函数得，故B正确； 对于C，由得，又由得即， 所以，当即时等号成立，故C正确； 对于D，由题， 当且仅当即时等号成立，故D错误. 故选：BC. 11．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ） A．的周期为4 B． C． D．的所有零点之和为14 【答案】ACD 【分析】由函数的奇偶性以及对称性即可得到其周期性，从而判断AB，然后分以及分别讨论的正负，即可判断C，将零点问题转化为函数图像交点问题，即可判断D. 【详解】对于A，∵为偶函数，∴， ∴，且函数的图象关于直线对称， 又是定义在上的奇函数，∴，∴， ∴，且函数的图象关于点对称， ∴函数的周期为4，故A正确; 对于B,∵当时，， 而， ，故B错误； 对于C，结合已有分析以及对称性可知当时，，与均为奇函数， 则当时，， ∴当时，， 又与的周期都为4，在上成立，故C正确. 对于D，函数的零点可看作与的图象交点的横坐标， 作出与的图象， 观察图象知，直线 与的图象共有7个交点， 且它们关于点成中心对称，∴所有零点之和为，故D正确; 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线的斜率为 ． 【答案】## 【分析】直接利用导数求切线斜率即可. 【详解】设切线的斜率为，由， 则，则有. 故答案为：. 13．“隔板法”是排列组合问题中的一种解题模型，多应用于“实际分配问题”.例如:8个完全相同的球全部放到3个不同的盒子中，每个盒子至少一个，有多少种不同的分配方法.在解决本题时，我们可以将8个球排成一行，8个球出现了7个空档，再用两块隔板把8个球分成3份即可，故有种分配方法.请试写出一道利用“隔板法”解决的题目: （答案不唯一，合理即可）. 【答案】将m个人，分成n组，每组至少1人的分配方法数（答案不唯一） 【分析】根据隔板法模型写出一个满足要求的题目即可. 【详解】将m个人，分成n组，每组至少1人，只需用个隔板插入到m个人所成排的个空中，求分配方法数. 故答案为：将m个人，分成n组，每组至少1人的分配方法数（答案不唯一） 14．袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为.下列结论中正确的是 .①；②；③；④. 【答案】①③④ 【分析】根据不放回抽取，确定红球个数的可能取值以及黑球个数为的可能取值，求出每个值对应的概率，即可求得，的期望和方差，判断①，②；按放回抽取，可知，求出其期望和方差，即可判断③，④. 【详解】由题意抽取3次按不放回抽取，可得红球个数的可能取值为，黑球个数Y的可能取值为， 则， ， ， ， 由，可得，，， 故， 所以，故①正确； ， ，所以，故②错误； 抽取3次按放回抽取，每次抽取到红球的概率为，得到红球的个数记为，则， 所以，， 所以，，故③④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）： 学校 企业 自由开发者 有需求 170 无需求 120 已知调查了400个学校和150个自由开发者. (1)求和的值； (2)估计目标用户对该设备有需求的概率； (3)是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？ 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1) (2)； (3)有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异. 【分析】（1）根据题意列出关于m，n的等量关系式即可求解； （2）由题设数据结合古典概型直接计算即可得解； （3）列出列联表，计算出卡方值即可判断得解. 【详解】（1）由题得； （2）由题可得估计目标用户对该设备有需求的概率为； （3）列出列联表： 学校用户 非学校用户 总计 有需求 300 270 570 无需求 100 170 270 总计 400 440 840 零假设学校用户与非学校用户对该设备的需求情况无差异. 由表格得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异. 16．有两个条件：（1）函数的图象过点，且函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.（2）在时取得极大值.这两个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题.题目：已知函数存在极值，并且______. (1)求的解析式； (2)当时，求函数的最值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①，根据函数单调性确定极值，利用极值点是导数对应方程的根列式求出答案；选②，根据极值的定义列式求出，并检验. （2）利用导数判断单调性求出最值. 【详解】（1）选①：， 因为函数在区间上是减函数，在区间上是增函数， 所以1，2是的根，所以，解得.因为， 故. 选②：因为，所以， 由题意知，解得， 故， 经检验在时取得极大值，故符合题意. 所以. （2），令，所以或， 所以和时，单调递增； 时，单调递减； 因此在单调递减，在单调递增， 则， ，所以. 17．某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）． (1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望； (2)消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差． 【答案】(1)分布列见解析； (2)，， 【分析】（1）借助分层随机抽样定义可得所抽取产品类别，得到的所有可能取值后计算其概率即可得分布列及期望. （2）借助二项分布的概率公式，期望公式与方差公式计算即可得. 【详解】（1），，，， 故所抽取的6件产品中有4件产品中来自甲生产线，2件产品中来自乙生产线， 则的所有可能取值为、、， ， ， ， 则其分布列为： 则； （2）由题意可得， 则 ， ，. 18．一个生产车间有三台设备，假设在一天的运行中，设备1，2，3出现故障的概率分别为，，，其中，每台设备一天最多出现一次故障，各部件的状态相互独立. (1)若，求车间在一天的运行中，有两台设备出现故障的概率； (2)对于出现故障的设备，车间在当天对其修复，且设备1，2，3的单次维修费用分别为50元，100元，150元，通过计算说明当时该车间每年设备维修费用的均值不超过5.475万元.（一年按365天计算）. 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）运用相互独立事件的乘法公式计算即可； （2）设每天设备维修费用为，得到的可能取值，再运用独立乘法公式计算概率， 运用期望公司计算，再得到，算出，解不等式即可. 【详解】（1）根据题意设事件为“有两台设备出现故障”，事件为设备1出现故障， 事件为设备2出现故障，事件为设备3出现故障， 若，则设备1出现故障的概率为， 设备2出现故障的概率为， 设备3出现故障的概率为， 则 . （2）设每天设备维修费用为， 则的可能取值为0，50，100，150，200，250，300， ， ， ， ， ， ， 所以 整理得：， 又设每年设备维修费用的均值是，且， 所以，即，解得：或（舍） 故当时该车间每年设备维修费用的均值不超过5.475万元（一年按365天计算）. 19．定义：，，是函数的三个零点，若，则称为“增差函数”，若，则称为“减差函数”，若，则称为“增比函数”，若，则称为“减比函数”． (1)已知函数，判断是否为“增差函数”“减差函数”“增比函数”“减比函数”． (2)已知函数有三个零点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：为“增差函数”，为“减比函数”． 【答案】(1)是“减差函数”，不是“增差函数”，是“减比函数”，不是“增比函数”． (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）由，求得其三个零点，再利用“减差函数”，“增差函数”，“减比函数”，“增比函数”定义判断； （2）（ⅰ）由，令，易得，，转化为，利用导数法求解； （ⅱ）根据（ⅰ）设，从而有，，然后利用 “增差函数”和 “减比函数”的定义，构造函数证明． 【详解】（1）解：， ， 所以1，3，4是函数的三个零点， 因为，所以是“减差函数”，不是“增差函数”， 又因为，所以是“减比函数”，不是“增比函数”． （2）（ⅰ）解：， 令，则，． 由可得． 设函数，则， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增． 因为函数有三个零点， 所以，即的取值范围为． （ⅱ）证明：由（ⅰ）可设，则， 则，且． 要证明为“增差函数”，只需证明，即，即， 即，即， 令，则，则只需证． 令， 则，令，则， 则在上单调递增，即在上单调递增， 则， 则在上单调递增，则， 即成立，故为“增差函数”. 要证明为“减比函数”，只需证明，即，其等价于， 即，即． 左边分子，分母同时除以，得， 令，则，则只需证，即． 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，则，所以， 所以在上单调递减，则，即成立， 故为“减比函数”． 【点睛】方法点睛：本题是定义题，一般是根据定义转化为相关类型求解，如要证明为“增差函数”，即证，转化为，令，进而转化为证，令，利用导数法而得证. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$