2024-2025学年北师大版八年级下册数学期末复习试题

2024-2025学年八年级下册数学北师大版期末复习试题 一、单选题 1．在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有(   ) ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．若整数a使关于x的不等式组，有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则符合条件的a之和为（    ） A．-11 B．-7 C．-3 D．1 4．下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的为（   ）． A．一组对边平行且相等 B．两组对边分别相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行，另一组对边相等 5．如图，是的角平分线，，，，则点C到射线的距离是（    ） A．5 B．3 C．2 D．无法计算 6．如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论错误的是（   ） A．沿AE所在直线折叠后，△ACE和△ADE重合 B．沿AD所在直线折叠后，△ADB和△ADE重合 C．以A为旋转中心，把△ACE逆时针旋转90°后与△ADB重合 D．以A为旋转中心，把△ACB逆时针旋转270°后与△DAC重合 7．若，则的值是（    ） A．1 B．2 C．－1 D．－2 8．已知，则的值为（   ） A．12 B．4 C．﹣4 D．12或﹣4 9．如图，中，，是等腰三角形，，，交于E，，则的值为（    ） A．7 B． C．8 D． 10．一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（　　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 二、填空题 11．判断正误：为内一点，在上，在上，若，则平分． ． 12．一次函数与的图象如图所示，则当 时，. 13．当a＝ 时，方程无解． 14．如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），将△ABO沿x轴向右平移得△A′B′O′，与点A对应的点A′正好落在直线y＝上．则点B与点B′之间的距离为 ． 16．如图，是绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是 ． 17．若关于的方程无解．则= . 18．下列说法：① 若a＋b＋c＝0，则（a＋b）3＋c3＝0；②若a＋b＝0，则|a|＝|－b|，反之也成立；③若（c≠0），则b－c＝a－c；④若|x＋1|＋x－y＋5＝0，当x≤－1时，y是常数；⑤若|x＋1|＋x－y＋5＝0，则y≥x，其中正确的有 三、解答题 19．因式分解： （1）；                           （2）． 20．已知，求的值． 21．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，桥宽忽略不计． (1)若荷塘的长为90米，宽为50米，则小桥总长为 米； (2)若荷塘周长为米，则小桥总长为 米． 22．已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求的值； （3）当为轴对称图形时，求的值． 23．计算： (1)； (2)． 24．解下列分式方程： (1)； (2)． 25．临近毕业，某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和2本图片纪念册共需85元，购买5本手绘纪念册和4本图片纪念册共需275元． (1)求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元； (2)该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共50本，总费用不超过1350元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？ 26．已知，在内部作等腰，，．点D为射线上任意一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接并延长交射线于点F． (1)如图1，当时，试探究线段与的数量关系并证明； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)若，，当点D在直线上运动的过程中，请直接写出的最小值是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据因式分解的方法：提公因式法、公式法；进行判断． 【详解】解： ①； ②； ③不能分解因式； ④； ⑤； 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解的方法（提公因式法，公式法），解题的关键是抓住能利用公式法分解的多项式的特点． 2．A 【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查分式的化简及平方差公式，属于基础题，掌握通分、约分等基本步骤是解题的关键． 3．B 【分析】先求出不等式组的解集可得，再由不等式组有且只有3个整数解，可得a取-7，-6，-5，-4，-3，再解出分式方程，可得，，从而得到是3的整数倍，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴， ∴， ∴a取-7，-6，-5，-4，-3， ， 解得：， ∵， ∴，即， ∴a取-7，-6，-5， -3， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴是3的整数倍， ∴当时，， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， ∴， ∴符合条件的a之和为-7． 故选：B 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组和解分式方程的基本步骤是解题的关键． 4．D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．过点C作于E，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于E，   是的平分线，，， ， 即点C到边的距离为3． 故选：B． 6．D 【详解】解：A、由于△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°， 则AD=AC，∠BAC=45°，于是∠EAD=135°，∠CAE=135°， 所以△ACE≌△ADE，所以A选项的结论正确； B、由于△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°， 则AB=AE，∠BAC=45°，于是∠BAD=135°，∠DAE=135°， 所以△ADB≌△ADE，所以B选项的结论正确； C、由A、B选项得到∠CAD=90°，∠BAE=90°，AB=AE，AD=AC， 所以以A为旋转中心，把△ACE逆时针旋转90°后与△ADB重合， 所以C选项的结论正确； D、由于四边形ABCD是平行四边形，则△ACB与△DAC为全等的等腰直角三角形， △ACB与△DAC只能经过翻折和平移才能重合，所以D选项的结论错误． 故选D． 7．A 【分析】利用1的代换，将三个分式化为同分母的形式，化简整理即可． 【详解】解：由abc=1，则 = 把abc=1代入得， = = = =1． 故选A 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是条件abc=1的灵活运用． 8．A 【分析】由原方程可得：，可得，据此即可解答． 【详解】解：由原方程可得：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用因式分解法解方程，求代数式的值，利用因式分解法解方程是解决本题的关键． 9．B 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据等式的性质得到，求得，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题参考直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得是解题的关键． 10．C 【分析】根据题意得到队伍的速度为，队尾战士的速度为，可以得到他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是，化简即可求解 【详解】解：由题意得：分钟． 故选：C 【点睛】本题考查了根据题意列分式计算，理解题意正确列出分式是解题关键． 11． 【分析】根据题意举反例画图即可． 【详解】解：如图， 符合题干中的所有条件，但很明显没有平分． 故答案：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质．角平分线上的点到角两边的距离相等．注意：点的直线的距离是垂线段的长度． 12．/大于1 【分析】根据当一次函数的图象在一次函数的图象下方时，即，再结合图象即可求出x的取值范围． 【详解】由图象可知当x>1时，一次函数的图象在一次函数的图象下方，即此时y1<y2． 故答案为：． 【点睛】本题考查根据两条直线的交点求不等式的解集．理解当一次函数的图象在一次函数的图象下方时，即是解题关键． 13． 【分析】先化为整式方程，解得，根据原方程无解，可得，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以，得： ， ， ， 即， 当时，原方程无解， 当时，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键． 14．N 【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且夹角都是90°，因此格点N就是所求的旋转中心； 故答案为： N． 【点睛】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 15． 【分析】根据平移的性质知BB′=AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度． 【详解】解：如图，连接AA′、BB′． ∵点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′， ∴点A′的纵坐标是4． 又∵点A′在直线y=x上一点， ∴4=x，解得x=． ∴点A′的坐标是（，4）， ∴AA′=． ∴根据平移的性质知BB′=AA′=． 故答案为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移，解题的关键是掌握平移的方向和平移的性质. 16．60°． 【详解】试题分析：根据旋转的性质可得∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，再求出∠BOC，∠ACO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解： ∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形， ∴∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO. ∵∠AOD=90°，∴∠BOC=90°﹣40°×2=10°. ∴∠ACO=∠A=（180°﹣∠AOC）=（180°﹣40°）=70°. ∴由三角形的外角性质得，∠B=∠ACO﹣∠BOC=70°﹣10°=60°． 考点：1.旋转的性质；2.等腰三角形的性质；3.三角形外角性质．. 17．3 【分析】先去分母得到整式方程x=2（x-3）+m，整理得x+m=6，由于关于x的方程无解，则x-3=0，即x=3，然后把x=3代入x+m=6即可求出m的值． 【详解】去分母得x=2(x−3)+m， 整理得x+m=6， ∵关于x的方程无解. ∴x−3=0，即x=3， ∴3+m=6， ∴m=3. 故答案为3. 【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答. 18．①③④ 【分析】由乘方的运算，绝对值的意义，分式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：① 若a＋b＋c＝0，则a＋b＝，则（a＋b）3＋c3＝0；故①正确； ②若a＋b＝0，则|a|＝|－b|；但反之不成立；故②错误； ③若（c≠0），则b=a，则b－c＝a－c；故③正确； ④若|x＋1|＋x－y＋5＝0，当x≤－1时， ，则y是常数；故④正确； ⑤若|x＋1|＋x－y＋5＝0， ， 则y>x，故⑤错误； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了乘方的运算，绝对值的意义，分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行判断． 19．（1）；（2）． 【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ． 【点睛】题目主要考查因式分解的方法：提公因式法及公式法，熟练掌握因式分解方法是解题关键． 20． 【分析】本题考查了分式的运用，比例的性质，熟练掌握比例的性质，分式的化简求值是解题的关键．根据比例的性质，设，进而得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：设，则， ∴． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质可得：小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和； （2）由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半，据此即可求出答案． 【详解】（1）解：由平移的性质得，小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和， ∴， 故答案为：． （2）由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半， ∴， 故答案为： 22．（1）4cm；（2）当为直角三角形时，t=4或；（3）当为轴对称图形时，t=8或5或 【分析】（1）利用勾股定理即可求出结论； （2）由题意可得：BC=tcm，∠B≠90°，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知识即可解答； （3）当为轴对称图形时，△ABP必是等腰三角形，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据三线合一、勾股定理等知识即可解答． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴BC=． （2）由题意可得：BC=tcm，∠B≠90°， 当∠APB=90°时，易知点P与点C重合， ∴BP = BC， 即t=4； 当∠PAB=90°时，如下图所示： ∴CP=BP－BC=（t－4）cm． ∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2， ∴32＋（t－4）2=t2－52， 解得：t=． 综上：当为直角三角形时，t=4或； （3）当为轴对称图形时，△ABP必是等腰三角形． 当AB=AP时，如下图所示： ∵AC⊥BC， ∴BP=2BC， 即t=2×4=8． 当AB=BP时，如下图所示： ∴t=5； 当AP=BP时，如下图所示： 则CP=BC－BP=（4－t）cm，AP=BP=t， 在Rt△APC中，， 即， 解得：t=． 综上：当为轴对称图形时，t=8或5或． 【点睛】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质和轴对称图形的定义，掌握勾股定理、等腰三角形的性质和轴对称图形的定义是解决此题的关键． 23．(1) (2) 【分析】（1）根据分式的乘法运算法则进行计算即可； （2）根据除以一个数等于乘以这个数的相反数进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了分式的乘法运算以及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 24．(1)； (2)原分式方程无解． 【详解】解：（1）去分母，得， 解得， 检验：把代入，得， 原分式方程的解为； （2）方程可变形为，方程两边同乘， 得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程无解． 25．(1)图片纪念册25元/本，手绘纪念册35元/本； (2)最多购买手绘纪念册10本． 【分析】（1）设手绘纪念册每本x元，图片纪念册每本y元，根据“购买1本手绘纪念册和2本图片纪念册共需85元，购买5本手绘纪念册和4本图片纪念册共需275元”列出方程组，解方程组即可； （2）设该班购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册本，根据“购买手绘纪念册和图片纪念册共50本，总费用不超过1350元”列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解:设手绘纪念册每本x元，图片纪念册每本y元， 由题意得， 解之得， 答：图片纪念册25元/本，手绘纪念册35元/本． （2）解：设该班购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册本， 由题意得 ， ∴， 答：最多购买手绘纪念册10本． 【点睛】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，读懂题意，根据题意列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． 26．(1)；证明 (2)成立；理由 (3) 【分析】（1）连接，先根据“”证明，得出，再证明，即可得出结论； （2）连接，先说明，然后根据“”证明，得出，再证明，即可得出结论； （3）过点C作，根据，得出点E总是在直线上，过点作于点E，此时最小，根据直角三角形的性质，求出此时的长即可． 【详解】（1）解：；理由如下： 连接，如图所示： 根据旋转可知，，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴． （2）解：成立，理由如下： 连接，如图所示： 根据旋转可知，，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴． （3）解：过点C作， 根据解析（2）可知，， ∴点E总是在直线上， 过点作于点E，此时最小， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$