1.1 菱形的性质与判定（第1课时 菱形的性质）（导学案）数学北师大版九年级上册

1.1菱形的性质与判定 导学案 第1课时 菱形的性质 1..理解并掌握菱形的概念和性质. 2..能熟练运用菱形性质进行计算和证明. 学习重点：掌握菱形的定义和性质； 学习难点：菱形性质的证明及灵活运用. 第一环节 自主学习 温故知新： (1)什么是平行四边形？ (2)平行四边形有哪些性质？ 新知自研：自研课本第2--4页的内容． 【学法指导】 自研课本P2-3页例题上面的内容，思考： ●探究一：菱形的定义 1.菱形的定义： 【注意】菱形必须满足两个条件：一是 ；二是 . 练一练 .如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（    ） A． B． C． D． ●探究二：菱形的性质 ◆1、想一想： （1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？ （2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？ 猜想归纳： ◆2、做一做： 用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？ ◆3、验证猜想： 已知：如图在菱形ABCD中，AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB＝BC＝CD＝AD； （2）AC⊥BD. 【解答】 ◆4、得到性质： ◆5、性质表示： ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB= ，AC⊥ AC平分∠BAD，AC平分 , BD平分 ，BD平分∠ADC 【例题导析】 自研课本P3页例1内容，回答问题： 例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 【分析】①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°.这样就可以得到△ABD是 ,又BD＝6，所以菱形的边长是 . ②由菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形AOB.由菱形的对角线 ，可以得到OB＝3，根据勾股定理就可以求出OA的长，从而可求出AC. 【解答】 【归纳】若菱形有一个内角为60°，那么60°角的两边与较短的对角线可构成 三角形，且两条对角线把菱形分成四个 的含30°角的直角三角形. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.操作猜想并证明菱形性质； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，拓展菱形面积的公式. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.菱形不具备的性质是（　 　） A.四条边都相等 B.对角线一定相等 C.是轴对称图形 D.是中心对称图形 2.已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是(　 　) A.AB＝BC　 　B.AB＝CD C.AD＝BC D.AC＝BD 3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ 　） A.20 B.24 C.40 D.48 4.如图，在菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（ 　） A.25° B.30° C.20° D.15° （3题） （4题） （5题） 5.如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ） A. B. C. D. 20 6.如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF＝BE.（提示：连接AC） 题型一：菱形的性质求角度 1．24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在菱形中，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节间的距离．若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）如图，这是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，的度数为 ． 题型二：菱形的性质求线段长 4．（2025·河南濮阳·二模）如图，菱形中，，，，分别是，的中点，则（   ） A．2 B．4 C． D． 5．（2025·河南南阳·二模）如图，已知菱形的面积为分别为的中点，若的长为4，对角线的长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．48 6．（2025·浙江·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 题型三：菱形的性质求周长和面积 7．（2025·湖北荆州·三模）如图，在菱形中，与相交于点，，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，菱形的面积为，，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．5.5 9．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，连接，若，，求菱形的周长和面积． 题型四：菱形性质的证明 10．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在菱形中，过点B作于点E，作于点F． (1)求证：． (2)若，求的度数． 11．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形是菱形，过点C的直线分别与的延长线交于点E，F，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，，求的长度． 12．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 1、菱形的定义：有 一组邻边 平行四边形叫菱形（可作性质、判定运用）. ２、菱形的性质定理： 定理1：菱形 都相等． 定理2：菱形的对角线 ． 3、菱形的周长公式： ．（菱形的边长为a） 菱形的面积公式： ．（两条对角线分别为，） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1菱形的性质与判定 导学案 第1课时 菱形的性质 1..理解并掌握菱形的概念和性质. 2..能熟练运用菱形性质进行计算和证明. 学习重点：掌握菱形的定义和性质； 学习难点：菱形性质的证明及灵活运用. 第一环节 自主学习 温故知新： (1)什么是平行四边形？ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 (2)平行四边形有哪些性质？ 对称性：中心对称图形. 边：对边平行且相等. 角：对角相等,邻角互补. 对角线：相交并相互平分. 新知自研：自研课本第2--4页的内容． 【学法指导】 自研课本P2-3页例题上面的内容，思考： ●探究一：菱形的定义 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形． 【注意】菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等. 练一练 .如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ C   ） A． B． C． D． ●探究二：菱形的性质 ◆1、想一想： （1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？ 菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分. （2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？ 猜想归纳：①菱形的四条边都相等. ②菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. ◆2、做一做： 用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直. （2）菱形中有哪些相等的线段？ 菱形的四条边相等. ◆3、验证猜想： 已知：如图在菱形ABCD中，AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB＝BC＝CD＝AD； （2）AC⊥BD. 【解答】证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB ＝CD，AD＝ BC（菱形的对边相等）. 又∵ AB＝AD， ∴ AB＝BC＝CD＝AD. （2） ∵ AB＝AD， ∴ △ABD是等腰三角形. 又∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ OB＝OD（菱形的对角线互相平分）， 在等腰三角形ABD中， ∵ OB＝OD， ∴ AO⊥BD， 即AC⊥BD. ◆4、得到性质： 定理1 菱形的四条边相等. 定理2 菱形的对角线互相垂直. ◆5、性质表示： ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥ BD AC平分∠BAD，AC平分∠BCD BD平分∠ABC，BD平分∠ADC 【例题导析】 自研课本P3页例1内容，回答问题： 例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 【分析】①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°.这样就可以得到△ABD是等边三角形,又BD＝6，所以菱形的边长是 6 . ②由菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形AOB.由菱形的对角线互相平分，可以得到OB＝3，根据勾股定理就可以求出OA的长，从而可求出AC. 【解答】解:∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝AD(菱形的四条边都相等)， AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直)， OB＝OD＝BD＝×6＝3(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABD中，∵ ∠BAD＝ 60°， ∴ △ABD 是等边三角形，∴ AB＝BD＝6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2＝AB2 ， ∴ OA＝， ∴ AC＝2OA＝6(菱形的对角线互相平分). 【归纳】若菱形有一个内角为60°，那么60°角的两边与较短的对角线可构成 等边 三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30°角的直角三角形. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.操作猜想并证明菱形性质； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，拓展菱形面积的公式. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.菱形不具备的性质是（　B　） A.四条边都相等 B.对角线一定相等 C.是轴对称图形 D.是中心对称图形 2.已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是(　A　) A.AB＝BC　 　B.AB＝CD C.AD＝BC D.AC＝BD 3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　A　） A.20 B.24 C.40 D.48 4.如图，在菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（　D　） A.25° B.30° C.20° D.15° （3题） （4题） （5题） 5.如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ C ） A. B. C. D. 20 6.如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF＝BE.（提示：连接AC） 【解答】证明：连接AC， ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC平分∠DAE，CD＝BC. ∵ CE⊥AB，CF⊥AD，∴ CE＝FC，∠CEB＝∠CFD＝90°. 在Rt△CDF与Rt△CBE中， ∴ Rt△CDF≌Rt△CBE（HL）， ∴ DF＝BE. 题型一：菱形的性质求角度 1．24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在菱形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，根据菱形的性质求出，再由等腰三角形的“等边对等角”即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节间的距离．若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．如图所示，连接，根据菱形的性质可得，可得是等边三角形，可算出，根据，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到， ∴， ∵菱形的边长， ∴， ∴是等边三角形，则， ∵四边形是菱形， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）如图，这是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】根据菱形的性质，解答即可． 本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型二：菱形的性质求线段长 4．（2025·河南濮阳·二模）如图，菱形中，，，，分别是，的中点，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，由菱形的性质得，由，分别是，的中点得，由得，过点作，得，，由勾股定理得，从而可得出． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作，如图， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．（2025·河南南阳·二模）如图，已知菱形的面积为分别为的中点，若的长为4，对角线的长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，连接，三角形的中位线定理求出的长，利用菱形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵分别为的中点，的长为4， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， ∴； 故选C． 6．（2025·浙江·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，由菱形的性质得出，结合已知条件以及直角三角形两锐角互余进一步得出，由含30度直角三角形的性质得出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， 在中， ． 故选：B 题型三：菱形的性质求周长和面积 7．（2025·湖北荆州·三模）如图，在菱形中，与相交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，先求出菱形的面积，再根据解答即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故选：． 8．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，菱形的面积为，，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为3， 故选：A． 9．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，连接，若，，求菱形的周长和面积． 【答案】菱形的周长；菱形的面积 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由三角形中位线定理得出，由勾股定理求出是解决问题的关键．由菱形的性质得出，，，，证出是的中位线，由三角形中位线定理得出，得出，由勾股定理求出，即可求出菱形的周长和面积． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， 、分别是、边上的中点， 是的中位线， ， ， ， 菱形的周长； 菱形的面积． 题型四：菱形性质的证明 10．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在菱形中，过点B作于点E，作于点F． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理，熟知菱形的性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，再由即可证明结论； （2）先由菱形的性质得到，则可求出的度数，进而可求出的度数，同理可得的度数，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 同理可得， ∴． 11．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形是菱形，过点C的直线分别与的延长线交于点E，F，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由题意得：，推出；结合，推出，即可求证； （2）由题意得平分，，推出；根据是等腰三角形推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴平分，， ∴， ∵是等腰三角形； ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，可证，由此即可求解； （2）根据菱形的性质得到，，为等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵由绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键． 1、菱形的定义：有 一组邻边 相等的 平行四边形叫菱形（可作性质、判定运用）. ２、菱形的性质定理： 定理1：菱形 四条边 都相等． 定理2：菱形的对角线互相垂直． 3、菱形的周长公式： 4a ．（菱形的边长为a） 菱形的面积公式： ．（两条对角线分别为，） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$