内容正文:
2025年河南省郑州市九年级中考数学圆与三角函数综合专项
1.如图,是的直径,交于点.
用无刻度的直尺和圆规作出弧的中点,保留作图痕迹;
作,垂足为,证明:是的切线;
连接,若,,求的半径.
2.如图,与相切于点,半径,与相交于点,连接.
求证:;
若的半径为,,求的长.
3.如图,在中,,以为直径的交于点,过点作,垂足为,交的延长线于点.
求证:是的切线
若,,求的半径.
4.如图,是的直径,点是上的一点,,.
求证:是的切线;
若,,求的长.
5.如图,在中,是边上的点过点作交于点,垂足为,过点作,垂足为,连接,经过点,,的与边另一个公共点为,连接,.
求证:;
若,,,,求的半径.
6.如图,是直径,是的切线,为切点,于,的延长线交于点,连接,.
求证:平分;
若,,求长.
7.如图,是的外接圆,点在的延长线上,连接,作于点,交于点,且,连接.
求证:是的切线;
,,求线段的长.
8.如图,在四边形中,,以为直径作交于点,交于点,平分,与相切于点.
求证:;
若,求的半径.
9.数学兴趣小组的同学发现在某劳模主题公园大门处放置一排同样大小的球形石墩,每个石墩在阳光下形成自己的影子,同学们观察并绘制了如图所示的平面示意图,打算求出球形石墩的半径已知,和是两个球形石墩的主视图,分别与地面相切于点,,太阳光线与地面的夹角是,经测量,,,,请根据以上数据求出球形石墩的半径结果精确到参考数据:,,
10.如图,是的直径,点,在上,,点在线段的延长线上,且.
求证:与相切;
若,求的面积.
11.如图,点在以为直径的半圆上,连接,,过点作半圆的切线,交的延长线于点,在上取点,使,连接,交于点.
求证:;
若,,求半圆的半径及的长.
12.如图是某型号家用轿车后背厢开启侧面示意图,将其简化成如图所示模型,其中,,箱盖开启过程中,点,绕点沿逆时针方向转动相同角度,分别至点,的位置,且点在线段的延长线上,.
求旋转角的度数;
若,求的长度.
13.如图,的三个顶点都在以为直径的半圆上,,连接并延长至点,交于点,且,连接.
求证:是该半圆的切线若,,求的长.
14.周末,小明,小亮和小红去游乐园玩,他们分别排队去坐摩天轮,如图,地面切摩天轮于点,小明在摩天轮上处时发现,小亮在处正准备登上摩天轮,而小红在小明正下方的地面处排队,若为摩天轮的直径,请解决以下问题.
求证:平分;
若小亮看小明的仰角为,且小亮和小红的距离为,求摩天轮的直径.
15.如图,在中,,以为直径的交于点,于点,直线于点,交的延长线于点.
求证:是的切线;
当时,求的值.
16.如图,是的直径,为延长线上的一点,是的中点,为上的一点,的延长线交直线于点,且.
求证:与相切;
若,求的值.
17.如图,为的直径,为上一点,过点作的切线,过点作于点,交于点,连接.
求证:;
若,,求的长.
18.某市政府为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图,图是其示意图,其中、都与地面平行,车轮半径为,,,坐垫与点的距离为.
求坐垫到地面的距离;
根据经验,当坐垫到的距离调整为人体腿长的倍时,坐骑比较舒适,小明的腿长约为,现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置坐垫可在上活动,求的长.结果精确到,参考数据,,
19.如图,以为直径的与的边交于点,且,是下方半圆上的一动点,连接,,与交于点.
如图,若,,求的值.
如图,若是的中点,的平分线交于点,交于点求证:.
20.如图,和是半径为的的两条直径,点是延长线上的一点连接交于点点在线段上,且不与点、点重合.
当时,求证;;
连接,交半径于点,已知连接,如图,当点是的重心时,求的余弦值.
21.如图,已知点在的边上,连结,是的外接圆,切于点.
【探究发现】小敏通过探究发现:如图中,过点作的直径,连结,根据已知条件,可以证明请你根据小敏的思路,写出完整的证明过程.
【拓展迁移】当,时.
求的值;求面积的最大值,并求出此时的半径.
22.在中,,点在斜边上,以为直径的交于点,,连接.
如图,若,连接,请判断线段和的数量关系和位置关系,并说明理由.
如图,连接,,.
求证:.
若,,,求的长.
23.如图,为锐角的中线,延长与的外接圆交于点,点在上,连结,,,,.
求证:四边形为平行四边形;
如图,连结,若,求证:为等腰三角形;
如图,在的条件下,连结,若平分,求的值.
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2025 年河南省郑州市九年级中考数学圆与三角函数综合专项
1.如图,��是⊙�的直径,��交⊙�于点�.
(1)用无刻度的直尺和圆规作出弧��的中点�,保留作图痕迹;
(2)作�� ⊥ ��,垂足为�,证明:��是⊙�的切线;
(3)连接��,若 tan∠��� = 12,�� = 4,求⊙�的半径.
2.如图,��与⊙�相切于点�,半径��//��,��与⊙�相交于点�,连接��.
(1)求证:∠��� = ∠���;
(2)若⊙�的半径为 6,���� = 13,求��的长.
3.如图,在△ ���中,�� = ��,以��为直径的⊙�交��于点�,过点�作�� ⊥ ��,垂足为�,交��的延
长线于点�.
(1)求证:��是⊙�的切线;
(2)若�� = 2,tan∠� = 34,求⊙�的半径.
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4.如图,��是⊙�的直径,点�是⊙�上的一点,�� ⊥ ��,∠� + 2∠��� = 180°.
(1)求证:��是⊙��的切线;
(2)若 tan∠��� = 43,�� = 2,求��的长.
5.如图,在△ ���中,�是��边上的点.过点�作�� ⊥ ��交��于点�,垂足为�,过点�作�� ⊥ ��,垂足为
�,连接��,经过点�,�,�的⊙�与边��另一个公共点为�,连接��,��.
(1)求证:∠� = ∠���;
(2)若�� = ��,�� = 7,�� = 2,���� = 2,求⊙�的半径.
6.如图,��是⊙�直径,��是⊙�的切线,�为切点,�� ⊥ ��于�,��的延长线交⊙�于点�,连接��,
��.
(1)求证:��平分∠���;
(2)若�� = 10,sin� = 35,求��长.
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7.如图,⊙�是▵���的外接圆,点�在��的延长线上,连接��,作�� ⊥ ��于点�,交��于点�,且∠� +
∠��� = 90 ∘,连接��.
(1)求证:��是⊙�的切线;
(2)sin� = 57,�� = 4 2,求线段��的长.
8.如图,在四边形����中,∠��� = 90°,以��为直径作⊙�交��于点�,交��于点�,��平分∠���,��
与⊙�相切于点�.
(1)求证:�� = ��;
(2)若 tan∠��� = 34 , �� = 30,求⊙�的半径.
9.数学兴趣小组的同学发现在某劳模主题公园大门处放置一排同样大小的球形石墩,每个石墩在阳光下形
成自己的影子,同学们观察并绘制了如图所示的平面示意图,打算求出球形石墩的半径.已知,⊙�和⊙�
是两个球形石墩的主视图,分别与地面�相切于点�,�,太阳光线与地面的夹角是70∘,经测量∠��� = 35∘,
∠��� = 55∘,�� = 1.50�,�� = 0.22�,请根据以上数据求出球形石墩的半径��. (结果精确到 0.1�.参
考数据:sin35∘ ≈ 0.57,cos35∘ ≈ 0.82,tan35∘ ≈ 0.70)
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10.如图,��是⊙�的直径,点�,�在⊙�上,∠��� = 2∠���,点�在线段��的延长线上,且∠��� = ∠���.
(1)求证:��与⊙�相切;
(2)若�� = 1, sin∠��� = 45,求△ ���的面积.
11.如图,点�在以��为直径的半圆�上,连接��,��,过点�作半圆�的切线,交��的延长线于点�,在��
上取点�,使�� = �� ,连接��,交��于点�.
(1)求证:��//��;
(2)若���� = 23,�� = 1,求半圆�的半径及��的长.
12.如图①是某型号家用轿车后背厢开启侧面示意图,将其简化成如图②所示模型,其中��//��,
sin∠��� = 45,箱盖开启过程中,点�,�绕点�沿逆时针方向转动相同角度,分别至点�′,�′的位置,且
点�′在线段��的延长线上,�� ⊥ �′�′.
(1)求旋转角∠���′的度数;
(2)若�� = 30��,求��′的长度.
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13.如图,△ ���的三个顶点都在以��为直径的半圆上,�� = ��,连接��并延长至点�,交��于点�,且
�� = ��,连接��.
(1)求证:��是该半圆的切线; (2)若�� = 20,∠��� = 30∘,求��的长.
14.周末,小明,小亮和小红去游乐园玩,他们分别排队去坐摩天轮,如图,地面��切摩天轮⊙�于点�,
小明在摩天轮上�处时发现,小亮在�处正准备登上摩天轮,而小红在小明正下方的地面�处排队,若��
为摩天轮⊙�的直径,请解决以下问题.
(1)求证:��平分∠���;
(2)若小亮看小明的仰角为 60°,且小亮和小红的距离为 30�,求摩天轮的直径��.
15.如图,在▵���中,�� = ��,以��为直径的⊙�交��于点�,��于点�,直线�� ⊥ ��于点�,交��
的延长线于点�.
(1)求证:��是⊙�的切线;
(2)当�� = 6, cos∠��� = 13时,求 tan�的值.
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16.如图,��是⊙�的直径,�为��延长线上的一点,�是�� 的中点,�为�� 上的一点,��的延长线交直线
��于点�,且�� = ��.
(1)求证:��与⊙�相切;
(2)若�� = 3��,求 tan∠�的值.
17.如图,��为⊙�的直径,�为⊙�上一点,过点�作⊙�的切线��,过点�作�� ⊥ ��于点�,交⊙�于
点�,连接��.
(1)求证:∠��� = ∠���;
(2)若�� = 6,tan∠��� = 23,求��的长.
18.某市政府为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图 1 是某品牌共享单车放在水平地面上的实物
图,图 2 是其示意图,其中��、��都与地面�平行,车轮半径为 32��,∠��� = 64°,�� = 60��,坐垫�
与点�的距离��为 18��.
(1)求坐垫�到地面的距离;
(2)根据经验,当坐垫�到��的距离调整为人体腿长的 0.8 倍时,坐骑比较舒适,小明的腿长约为 80��,现
将坐垫�调整至坐骑舒适高度位置�′(坐垫�ˈ可在��上活动),求��ˈ的长.(结果精确到 0.1��,参考数据
���64° ≈ 0.90,���64° ≈ 0.44,���64° ≈ 2.05. )
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19.如图,以��为直径的⊙�与△ ���的边��交于点�,且∠��� = ∠���,�是��下方半圆上的一动点,
连接��,��,��与��交于点�.
(1)如图 1,若�� = 2 2,�� = 2 6,求����的值.
(2)如图 2,若�是��的中点,∠���的平分线交��于点�,交��于点�.求证:���� =
��
��.
20.如图 1,��和��是半径为 2 的⊙�的两条直径,点�是��延长线上的一点.连接��交⊙�于点�(点�在线
段��上,且不与点�、点�重合).
(1)当�� = ��时,求证;��2 = �� ⋅ ��;
(2)连接��,交半径��于点�,已知�� = 2.连接��,如图 2,当点�是△ ���的重心时,求∠���的余弦值.
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21.如图 1,已知点�在▵���的边��上,连结��,⊙�是▵���的外接圆,��切⊙�于点�.
(1)【探究发现】小敏通过探究发现:如图 2 中,过点�作⊙�的直径��,连结��,根据已知条件,可以证
明∠��� = ∠�.请你根据小敏的思路,写出完整的证明过程.
(2)【拓展迁移】当�� = 3,�� = 165时.
①求����的值;②求▵���面积的最大值,并求出此时⊙�的半径.
22.在▵���中,∠� = 90 ∘,点�在斜边��上,以��为直径的⊙�交��于点�,�,连接��.
(1)如图 1,若��
⌢
= ��
⌢
= 30 ∘,连接��,请判断线段��和��的数量关系和位置关系,并说明理由.
(2)如图 2,连接��,��,��.
①求证:�� ⋅ �� = �� ⋅ ��.
②若�� = ��,sin∠��� = 1010 ,�� − �� = 7,求��的长.
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23.如图 1,��为锐角▵���的中线,延长��与▵���的外接圆⊙�交于点�,点�在��上,连结��,��,��,
��,∠��� = ∠���.
(1)求证:四边形����为平行四边形;
(2)如图 2,连结��,若�� ⊥ ��,求证:▵���为等腰三角形;
(3)如图 3,在(2)的条件下,连结��,若��平分∠���,求 tan∠���的值.
参考答案
1.【答案】见解析;
见解析;
.
2.【答案】证明:连接,如图所示:
与相切于点,
,
,
,
,
,
,
;
解:如图,设与交于点,
,
,
,
,
的半径为,
,
,
,
,
在中,,
,
,过点作于点,
,
由得,
为等腰直角三角形,.
3.【答案】证明:连接,
,
,
又,
,
,
,
,
,
,
,
是的半径,
是的切线;
解:设的半径为,则,,
在中,,即,
,
由勾股定理,即,
解得:或舍去,
,
的半径为.
4.【答案】见解析;
.
5.【答案】证明见解析;
.
6.【答案】证明:连接,
是的切线,
,
,
,
,
,
,
,
,即平分;
解:连接,
是直径,
,
由圆周角定理得,,
,
在中,,,
,
,
,,
,
,
,
在中,,,
,
在中,,,
.
7.【答案】【小题】
证明:连接,,如图,
,,
,
,
.
,
.
,
,
是的半径,
是的切线;
【小题】
解:由知:,
,
,
.
.
.
.
,,
,
.
.
.
8.【答案】见解析,
.
9.【答案】解:,与地面相切,
和都是直角三角形.
设球形石墩的半径为.
在中,由,得,
,
在中,,
.
,,
,解得.
答:球形石墩的半径约为.
10.【答案】证明:如图,连接,
,
,
,
,
,
又,
,
是的直径,
,
,
,
即,
是半径,
是的切线;
解:在中,设半径为,即,则,
,
,
,
在中,,,
,
.
.
11.【答案】见解析; 半圆的半径为,.
12.【答案】;
.
13.【答案】证明:是直径,
.
,且,
是线段的垂直平分线,
,
是等腰三角形,
.
,
.
,
,
故BE.
是该半圆的直径,
是该半圆的切线;
解:若,
则,
,
,
,
.
在中,.
在中,,
.
14.【答案】解:证明:连接,
切于点,
,
小红在小明正下方的地面处,
,
,
,
,
,
,
平分.
解:小亮看小明的仰角为,且小亮和小红的距离为,
,,
又,
,
,
在中,,
为直径,
,
在中,
故摩天轮的直径为
15.【答案】【小题】
证明:连接,
,
,
,
,
,
,
,
,即:,
是的切线;
【小题】
连接,
是的直径,
,即,
,
,,
,
,,
,即:,
,
,
,
又,
,
,
设,则,,
在中,,即:,解得:或舍去,
,
.
16.【答案】证明过程见解答.
的值为.
17.【答案】【小题】
证明:连接交于点.
是的切线,
,
,
,
,
,
,
,
;
【小题】
解:由得,
,
在中,,
,
为的直径,
,
,
又,
四边形是矩形,
,,
.
18.【答案】解:如图,过点作于点,
由题意知、,
,
车轮半径为,
坐垫到地面的距离是;
如图所示,过点作于点,
由题意知:,
则,
.
19.【答案】;
见解析.
20.【答案】证明见解析;
.
21.【答案】【小题】
过点作的直径,连结,如图,
,
,
又切于点,
,即,
,
又,
.
【小题】
知,
又,
,
,
设,
,,
,
,
解得,舍去,
,
.
由上述计算得到,
,
如图,作于,
则,
当且仅当与重合时,面积取得最大值为,
此时,,且,,
,
,
由于,
,
又,,
,即,
,
是直径,
此时的半径为.
22.【答案】【小题】
解:,,理由如下:
如图,连接,
,
,
,
,
为等边三角形,
,
,
,
为半径,,
,
即;
【小题】
证明:为的直径,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
即;
如图,过点作于点,
由知,,
,
,
,
,
,
,
设,则,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
解得,
,,,,,
,
,
,
,
,
,
,,
,
,
即,
,
,
,
,
,
,
.
23.【答案】【小题】
证明:点在的外接圆上,
,
为的中线,
,
,
,
,,
四边形为平行四边形;
【小题】
证明:如图,连结,,
四边形为平行四边形,
.
,
,
,
,
,
,
,
为等腰三角形;
【小题】
解:如图,作,
,
平分,
,
,,
,
,
,
,,
,
,
在平行四边形中,,
作,
设,
,
,
.
,,
.
.
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