精品解析：江西省三新协同教研共同体2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

江西省三新协同教研共同体2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题 命题：师大附中 陈选明 审题：赣州中学 郭奕亭 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修一第一册至选择性必修第二册． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知椭圆的方程为，则椭圆的离心率为（   ） A. B. C. D. 2. 下列函数求导正确的是（   ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A. 在上单调递减 B. 在处取得极小值 C. 有2个极值点 D. 有极大值，没有极小值 4. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 5. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（   ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知数列为等比数列，且，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在一次交流活动中，有4名男同学（包含甲）和3名女同学共7名同学排成一行，则男同学甲的右侧（可不相邻）没有其他男同学的排法种数为（ ） A. 468 B. 540 C. 720 D. 1260 8. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为，某天在嘈杂环境下进行了10次测试试验，若测试结果为语音识别成功，则记2分，否则记分，且每次测试成功与否相互独立．记这10次测试试验的总得分为，则当取得最大值时，实数的值为（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 若，则数列的前36项和 10. 已知，有，则（   ） A. B. C. D. 11. 已知等比数列的公比为，且，则下列命题正确的是（   ） A. 若为单调递增数列，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列是公比不为的等比数列，且，则___________．（写出满足上述条件的一个值即可） 13. 已知函数在处取得极大值，则实数的值为___________． 14. 已知函数，且关于的不等式在上恒成立，则整数的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线方程为． （1）求实数的值； （2）当时，求函数的极值． 16. 设等差数列的前项和为，从①，②，③这三个条件中任选两个作为已知条件，解答下面的问题． （1）求数列的通项公式及前项和； （2）若数列满足，求数列的前项和． 注：如果选择多种组合分别解答，按第一种解答计分． 17. 已知双曲线的焦距为，右顶点为，点在双曲线的渐近线上． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线与双曲线交于M，N两点，若的面积为，求实数的值． 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间． （2）设函数有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 19. 已知数列，其中，将数列中与数列相同的项去掉，剩下的项按照原来的顺序排列构成新数列，称数列为数列与数列的差数列．设，用[x]表示不超过的最大整数，例如，函数被称为高斯函数． （1）若，求的值； （2）若，请写出数列的一个通项公式并说明理由（请用高斯函数表示）； （3）已知，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省三新协同教研共同体2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题 命题：师大附中 陈选明 审题：赣州中学 郭奕亭 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修一第一册至选择性必修第二册． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知椭圆的方程为，则椭圆的离心率为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据椭圆的简单几何性质计算可得. 【详解】因为椭圆的方程为， 所以，则 所以的离心率为． 故选：B 2. 下列函数求导正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的计算公式与求导法则计算即得. 【详解】，A错误．，B错误．，C错误．，D正确． 故选：D. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A. 在上单调递减 B. 在处取得极小值 C. 有2个极值点 D. 有极大值，没有极小值 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数的图象得出导函数的正负，得出函数的单调区间，即可知为的极大值点，无极小值点，可判断得出结论. 【详解】由图可知在上恒成立，则在上单调递增，A错误． 因为在上恒成立，在上恒成立， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得极大值，没有极小值，B和C错误，D正确． 故选：D 4. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知在上恒成立，则，结合余弦函数的最值可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 由题意得在上恒成立，则， 当时，，故，故， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 5. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（   ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求出方向向量和法向量夹角余弦值绝对值后，可得直线与平面所成的角的正弦，进而可得解. 【详解】设直线与平面所成的角为，则． 因为，所以． 故选：A. 6. 已知数列为等比数列，且，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比中项的性质结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在等比数列中，有， 设等比数列的公比为，则， 若，则；若，则. 因此，“”是“”的充要条件. 故选：C. 7. 在一次交流活动中，有4名男同学（包含甲）和3名女同学共7名同学排成一行，则男同学甲的右侧（可不相邻）没有其他男同学的排法种数为（ ） A. 468 B. 540 C. 720 D. 1260 【答案】D 【解析】 【分析】由排列数的概念可得结果. 【详解】要使排列符合题意，甲在4名男同学的排列中位于最右边，则排列的方法数为1260. 故选：D. 8. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为，某天在嘈杂环境下进行了10次测试试验，若测试结果为语音识别成功，则记2分，否则记分，且每次测试成功与否相互独立．记这10次测试试验的总得分为，则当取得最大值时，实数的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，，结合二项分布期望公式和方差公式及期望和方差的性质求，再结合二次函数性质求结论. 【详解】设为测试成功的次数，则，有． 因为， 所以，， 所以，其中， 所以当且仅当时，取得最大值． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 若，则数列的前36项和 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可求，故可判断A的正误，求出通项可判断B的正误，由通项的符号可判断C的正误，利用并项求和得，故可判断D的正误. 【详解】在等差数列中，有，， 所以，故A正确； 又，故B错误． 当时，；当时，； 当时，， 故当或13时，取得最大值， C正确， 易得， 则，D正确． 故选：ACD. 10. 已知，有，则（   ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用同构转化不等式，再利用导数讨论的单调性后可得正确的选项. 【详解】由，得，， 设函数，得，则在上单调递增， 而原不等式即为，故即， 故的充要条件为，故AC正确． 取，则成立，但，， 故BD错误， 故选：AC. 11. 已知等比数列的公比为，且，则下列命题正确的是（   ） A. 若为单调递增数列，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则且 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，可判断A；对于B，由题意可得，计算可判断B；对于C，利用，计算可判断C；利用，计算可判断D. 【详解】对于A，因为为单调递增数列，，所以，故A正确． 对于B，由，得， 得，故B正确． 对于C，令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时取到等号， 所以， 则，得或，故C错误． 对于D，令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当，，即函数在上为增函数， 所以，所以，当且仅当时取到等号， 则， 当且仅当时取等号，所以， 即，且，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列是公比不为的等比数列，且，则___________．（写出满足上述条件的一个值即可） 【答案】或或或（以上个答案任写对一个就可以） 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式结合，可得出，求出、的值，可得出的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由，得，即，即， 因为，所以， 则、的不同组合有或者或者或者， 所以的取值集合为. 故答案为：或或或（以上个答案任写对一个就可以）. 13. 已知函数在处取得极大值，则实数的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导函数在极值点处函数值为0，计算求参，再代入检验求值. 【详解】由题意得，则，得或． 当时，令， 得或，单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意； 当时，令，得或， 单调递增，单调递减， 在处取得极大值，符合题意． 故答案为：. 14. 已知函数，且关于的不等式在上恒成立，则整数的最大值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】参变分离得到，构造函数求导，确定最值即可. 【详解】因为，所以不等式可化为在上恒成立． 令，则，有． 令，则， 因为， 所以，即单调递增． 又因为，所以存在，使得． 当时，单调递减； 当时，，单调递增． 所以， 因为，所以，所以， 所以整数的最大值为2． 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线方程为． （1）求实数的值； （2）当时，求函数的极值． 【答案】（1）1 （2）极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程后可得的值； （2）讨论导数的符号得单调性，从而可求函数的极值. 【小问1详解】 因为，有， 所以切线方程为，即， 所以，得，故实数的值为1． 【小问2详解】 由（1）可知，有， 当时，令，得或， 当变化时，和的变化情况如下表： + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，有极大值， 极小值 16. 设等差数列的前项和为，从①，②，③这三个条件中任选两个作为已知条件，解答下面的问题． （1）求数列的通项公式及前项和； （2）若数列满足，求数列的前项和． 注：如果选择多种组合分别解答，按第一种解答计分． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据是等差数列，设出公差为，选择两个选项，将首项公差代入，解方程组，即可求得基本量，写出通项公式； （2）由裂项相消法即可求解． 【小问1详解】 选①②，由已知得解得， 数列的通项公式为， ． 选②③，由已知得，解得， 数列的通项公式为， ． 选①③，由已知得解得， 数列的通项公式为， ． 【小问2详解】 由（1）知 数列的前项和． 17. 已知双曲线的焦距为，右顶点为，点在双曲线的渐近线上． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线与双曲线交于M，N两点，若的面积为，求实数的值． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）设双曲线的半焦距为，由条件列关于的方程，解方程可求，由此可得结论； （2）设直线的方程为，联立方程组，结合设而不求法利用表示的面积，列方程求可得结论. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为， 由题意可知，① 又因为在双曲线的渐近线上，所以，② 由方程①和②解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 由题意可设直线的方程为， 联立方程可得①， 所以， 且方程①的判别式， 得且． 设直线与双曲线交于两点，有 则 ， 所以，即， 解得或或， 所以实数或或． 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间． （2）设函数有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为（0，），无单调递减区间． （2）（i）； （ii）证明：假设，则，因为，所以， 由于在上单调递减，所以， 又因为，所以． 设， 令，则需证在上恒成立． 当时，， 所以在上单调递增，所以当时，，故假设成立． 【解析】 【分析】（1）通过求函数的导数，根据导数的正负来确定函数的单调区间，对于导数对应的一元二次方程，利用判别式判断根的情况，进而分析函数单调性. （2）（i）先对求导，令导数为后变形，转化为与图象交点问题.再对求导分析单调性和特殊值，根据图象交点情况确定范围. （ii）先假设，得到，利用单调性得出，结合有.设函数和，通过求导数判断单调性，证明，从而证明假设成立. 【小问1详解】 由题意知函数的定义域为， 且，令，有． 当，即时，，此时函数的单调递增区间为（0，），无单调递减区间． 当，即或时，有，解得. 若，有，则由得或，由得； 若，有，则恒成立，此时函数的单调递增区间为（0，），无单调递减区间． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为（0，），无单调递减区间． 【小问2详解】 （i）因为，所以， 令，得，则与的图象有两个不同的交点， 令，则，而在上单调递增，在上单调递减，又，当时，， 所以要使与的图象有两个不同的交点，则需，解得． （ii）略 19. 已知数列，其中，将数列中与数列相同的项去掉，剩下的项按照原来的顺序排列构成新数列，称数列为数列与数列的差数列．设，用[x]表示不超过的最大整数，例如，函数被称为高斯函数． （1）若，求的值； （2）若，请写出数列的一个通项公式并说明理由（请用高斯函数表示）； （3）已知，求的值． 【答案】（1）4 （2）（为常数，且），理由如下： 当时，数列为， 当时，， 由，得为常数，且， 其中（为常数，且）， 因此为常数，且， 所以数列的通项公式为（为常数，且）． （3） 【解析】 【分析】（1）在数列的前29项中去掉与数列相同的项1，2，4，8，16，可得，计算即可； （2）分析，，是去掉这些项， 当时，推理可得，进一步化解可得结果； （3）先分析，研究其单调性，且，可得，已知化简可得，讨论即可得出结果. 【小问1详解】 由数列的定义可知，在数列的前29项中去掉与数列相同的项1，2，4，8，16， 可得，因为，所以的值为4. 【小问2详解】 （为常数，且），理由略； 【小问3详解】 因为对任意且，都有， 则 ， 所以，即数列单调递减，则． 又因为， 所以对任意的，都有． 由数列单调递减，且，可得， 则当时，，即，当时，，即． 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $