10.2 消元 突破重难点讲义2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

10.2 消元 重难点目录 【重难点1】代入消元法解二元一次方程组 1 【重难点2】加减消元法解二元一次方程组 4 【重难点3】二元一次方程组的特殊解法 6 【重难点4】二元一次方程组的同解问题 8 【重难点5】二元一次方程组的错解问题 10 【小试牛刀】 13 重难点概览 内容索引·常考题型 内容 常考题型 重点01 代入消元法解二元一次方程组 选择题、填空题、解答题 重点02 加减消元法解二元一次方程组 选择题、填空题、解答题 难点01 二元一次方程组的特殊解法 选择题、填空题 难点02 二元一次方程组的同解问题 选择题、填空题、解答题 易错点 二元一次方程组的错解问题 选择题、填空题、解答题 重难点1 重难点 【重难点1】代入消元法解二元一次方程组 （1）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （2）代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来． ②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程． ③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 典型例题 例1： 【典例1】　（2025春•思明区校级期中）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（　　） A．x﹣2x﹣1＝7 B．x﹣2x﹣2＝7 C．x﹣2x+2＝7 D．x+2x+2＝7 【答案】C 【分析】将①式代入②式化简即可． 【解答】解：将①式代入②式得： x﹣2（x﹣1）＝7， ∴x﹣2x+2＝7． 故选：C． 【典例2】　（2024秋•沙坡头区校级期末）二元一次方程组用代入消元法消去未知数x，得到关于y的一元一次方程可以是　　 ． 【答案】5（10﹣8y）+7y＝9． 【分析】根据解二元一次方程组的方法：代入法解答即可． 【解答】解：， 由①，得x＝10﹣8y③， 把③代入②，得5（10﹣8y）+7y＝9． 故答案为：5（10﹣8y）+7y＝9． 【典例3】　（2025春•陆丰市校级期中）用代入消元法解方程组． 【答案】． 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：， ①×2，得4x﹣2y＝﹣10③， ③﹣②，得x＝﹣3， 把x＝﹣3代入①，得2×（﹣3）﹣y＝﹣5， 解得：y＝﹣1， ∴方程组的解为． 方法点拨 代入消元法 （1）用代入法消元时，由方程组里的一个方程得出的关系式须代入到另一个方程中去，如果代入原方程，就不可能求出原方程组的解了． （2）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化分数系数为整数系数． （3）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程y=ax+b（或x=ay+b），求出另一个未知数的值比较简单． （4）要想检验所求得的一对数值是否为原方程组的解，可以将这对数值代入原方程组的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，否则说明解题有误． 重难点2 重难点 【重难点2】加减消元法解二元一次方程组 （1）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数． ②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程． ③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 典型例题 例1： 【典例4】　（2025春•迁安市期中）用加减消元法解方程组时，如果想消掉x，操作正确的是（　　） A．②×3﹣① B．②×3+① C．①×2﹣② D．①×2+② 【答案】A 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：， 要想消去x，则②×3﹣①即可． 故选：A． 【典例5】　（2023秋•郓城县期末）解二元一次方程组时，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用①﹣②得到的方程是 　　 ． 【答案】4y＝﹣3． 【分析】利用加减消元法进行计算即可． 【解答】解：解二元一次方程组时，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用①﹣②得到的方程是：4y＝﹣3， 故答案为：4y＝﹣3． 【典例6】　（2025春•周至县期中）用加减消元法解方程组：． 【答案】． 【分析】先把原方程组变形为，然后利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：， 整理，得， ②×2，得4x+2y＝22③， ①+③，得7x＝21， 解得：x＝3， 把x＝3代入①，得3×3﹣2y＝﹣1， 解得：y＝5， ∴方程组的解为． 方法点拨 加减消元法 （1）当两个方程中某一个未知数的系数互为相反数时，可将两个方程相加消元；当两个方程中某一个未知数 的系数相等时，可将两个方程相减消元． （2）当方程组中相同未知数的系数的绝对值既不相等，也没有倍数关系时，则消去系数绝对值较小的未知数较简单，确定要消去这个未知数后，先要找出两方程中该未知数系数的最小公倍数，再把这两个方程中准备消去的未知数的系数化成绝对值相等的数． 重难点3 重难点 【重难点3】二元一次方程组的特殊解法 利用换元法解二元一次方程组的基本步骤： （1）找准整体：利用方程组中式子的结构找到相同的“整体”（须每一个方程都含有且与未知数相关）． （2）设新元：根据方程组的特点，将相同的“整体”设为新元． （3）换元：用新元代替原方程组中的“整体”，得到新的方程组． （4）求新元：解新方程组，得到新元的值． （5）求原方程组的解：将解出的新元代回“整体”中，解方程或方程组，求出原问题中的未知数． 典型例题 例1： 【典例7】　（2025春•宁海县期中）方程组有正整数解，则k的正整数值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．不存在 【答案】B 【分析】首先由第二个方程得到x＝2y，代入第一个方程，求得y，根据4+k是6的正约数即可求解． 【解答】解：， 由②得：x＝2y，代入①得：4y+ky＝6， 则y， 则4+k＝1或2或3或6， 解得：k＝﹣3，或﹣2或﹣1或2． 又∵k是正整数， ∴k＝2． 故选：B． 【典例8】　（2025春•海州区校级期中）方程组有正整数解，则正整数a＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】解题时先把两方程相加，去掉x，然后根据方程组有正整数解确定正整数a的值． 【解答】解：∵方程组有正整数解， ∴两式相加有（1+a）y＝6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y＝1，这与y﹣x＝1矛盾，舍去； 可能值还有a＝2，a＝1，这时y＝2，y＝3与y﹣x＝1无矛盾． ∴a＝1或2． 故应填a＝1或2． 【典例9】　（2023春•蓬安县校级期末）若k≥﹣5，则方程组的解中，正整数x的解为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用①+②可消掉字母y，再用含x的式子表示k，根据k的取值范围可得x的取值范围，进而可确定x的值． 【解答】解：， ①+②得：﹣3x＝k+1， k＝﹣3x﹣1， ∵k≥﹣5， ∴﹣3x﹣1≥﹣5， ﹣3x≥﹣4， x， ∵x为正整数， ∴x＝1， 故答案为：1． 方法点拨 根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解． 重难点4 重难点 【重难点4】二元一次方程组的同解问题 1．已知方程组的解满足另外一个方程求字母的值的方法 方法一：把方程组中的字母看成已知数，先用含字母的式子把方程组的解表示出来，再代入另一个二元一次方程，得到关于字母的一元一次方程，解方程即可求出字母的值． 方法二：由方程组中的两个方程消去字母，得到一个关于x，y的二元一次方程，与另一个二元一次方程组成新的方程组，解新方程组求出x，y的值，进而求得字母的值． 2．已知两个方程组同解，求字母的值的方法 第一步：将不含字母的两个方程联立组成新的方程组，求出新方程组的解． 第二步：将新方程组的解代入含字母的方程，得到关于字母的方程（组），即可求出字母的值． 典型例题 例1： 【典例10】　（2025春•高新区校级月考）如果方程组和解的相同，则nm＝　　 ． 【答案】1． 【分析】根据方程组解的定义，转化为关于x，y的方程组，求出x，y即可解决问题． 【解答】解：∵方程组和解的相同， ∴， 解得：， ∴2﹣m＝2，2n﹣1＝2， 解得：， ∴． 故答案为：1． 【典例11】　（2024秋•定兴县月考）已知方程组和方程组的解相同． （1）求这两个方程组的相同解； （2）求a，b的值． 【答案】（1）为；（2）． 【分析】（1）由两个方程组的解相同，得关于x、y的方程组，求解即可； （2）把x、y的值代入含a、b的方程组，得关于x、y的方程组，求解即可． 【解答】解：∵方程组和方程组的解相同， ∴方程组和方程组的解相同． （1） ①×2+③，得13x＝13， 解得x＝1． 将x＝1代入①，得3+y＝6， 解得y＝3． 所以这两个方程组的相同解为． （2）把为代入方程组中， 得 解得 【典例12】　（2023春•东城区校级期末）当y＝﹣3时，二元一次方程3x+5y＝﹣3和3y﹣2ax＝a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先把y＝﹣3代入3x+5y＝﹣3中，可解得x的值，再把x，y的值代入3y﹣2ax＝a+2中便可求出a的值． 【解答】解：当y＝﹣3时， 3x+5×（﹣3）＝﹣3， 解得：x＝4， 把y＝﹣3，x＝4代入3y﹣2ax＝a+2中得， 3×（﹣3）﹣2a×4＝a+2， 解得：a． 方法点拨 将不含字母系数的两个方程组合成新方程组→解新方程组→将新方程组的解代入其他两个含字母系数的方程组成的方程组→求解． 重难点5 重难点 【重难点5】二元一次方程组的错解问题 挖掘错解问题中的隐含条件 方程组的解满足方程组中的每个方程．因看错一个方程而求得的原方程组的错解，应是另一个没有看错的方程的解． 典型例题 例1： 【典例13】　（2025•桑植县三模）在解关于x，y的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么a+b+c＝　　 ． 【答案】7． 【分析】把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【解答】解：把把代入ax+by＝22得：， ①×3﹣②得：a＝4， 把a＝4代入①得：b＝5， 把代入cx+7y＝8得：3c+14＝8， 解得：c＝﹣2， ∴a+b+c＝4+5+（﹣2）＝7， 故答案为：7． 【典例14】　（2025春•宜昌期中）解方程组时，将a看错后得到，正确结果应为，则a+b+c的值为 　　 ． 【答案】5． 【分析】根据题意可得：把代入bx﹣cy＝﹣1可得：2b﹣3c＝﹣1，再把为代入中得：，然后进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：把代入bx﹣cy＝﹣1可得：2b﹣3c＝﹣1， 把把为代入中得：， 解得：a＝3， 由题意得：， 解得：， ∴a+b+c＝3+1+1＝5， 故答案为：5． 【典例15】　（2025春•吕梁期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而解得乙看错了方程组中的b，而解得根据上面的信息解答： （1）求出正确的a，b的值． （2）求出原方程组的正确解． 【答案】（1）a＝﹣1，b＝5； （2）． 【分析】（1）把代入①，能求出a，把代入②，求出b即可； （2）运用加减消元法求出原方程组的解，即可作答． 【解答】解：（1）依题意把代入①，得5a+3＝﹣2， 解得：a＝﹣1， 把代入②，得2+b＝7， 解得：b＝5； （2）由（1）得a＝﹣1，b＝5， ∴原方程组为， 解得． 方法点拨 处理策略：避开看错的式子，把解代入对应的正确式子中． 小试牛刀 10.2 消元-解二元一次方程组 一、选择题（共10小题） 1．（2025•红桥区三模）二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•仁寿县期中）已知|x﹣2y﹣1|+（2x+y﹣7）2＝0，则3x﹣y的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣6 D．8 3．（2025•淄川区二模）已知方程组，则2a+6b的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 4．（2025春•沙坪坝区期中）已知（2x﹣y﹣5）2+|x+y﹣1|＝0，则yx的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 5．（2025春•赛罕区期中）利用加减消元法解方程组时，下列说法正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去x，可以将①×5+②×（﹣3） C．要消去y，可以将①×2﹣②×5 D．要消去x，可以将①×5+②×3 6．（2025春•滦南县期中）下列是关于方程组的两种解法： 方法一：由①×2﹣②×3可消去x． 方法二：由①×3+②×5可消去y． 下列判断正确的是（　　） A．方法一对，方法二不对 B．方法一不对，方法二对 C．方法一对，方法二也对 D．方法一不对，方法二也不对 7．（2024秋•金沙县期末）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025春•渝北区期中）数学课堂上，老师让大家用加减消元法解方程组，下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×4﹣②×5 B．要消去x，可以将①×4﹣②×3 C．要消去y，可以将①×4+②×5 D．要消去x，可以将①×5﹣②×3 9．（2025春•万州区期中）用加减法解方程组时，消去y应为（　　） A．①×2﹣② B．①×3+②×2 C．①×2+② D．①×3﹣②×2 10．（2025春•番禺区校级期中）解方程组：，较简便的方法是（　　） A．②×2﹣①，消x B．②×2+①，消x C．②×2﹣①，消y D．②×2+①，消y 二、填空题（共10小题） 11．（2025春•肇源县月考）已知|x﹣y﹣6|+（x+y+8）2＝0，则x2﹣y2＝　 　 ． 12．（2025•临平区二模）已知二元一次方程组，则2a﹣b的值为 　 　 ． 13．（2025春•仁寿县期中）若方程组有无数解，则k﹣m的值是　 　 ． 14．（2025•郸城县二模）关于x，y的方程组的解为　 　 ． 15．（2025•三门峡二模）已知方程组，则x﹣y的值为　 　 ． 16．（2025•永春县模拟）方程组的解是 　 　 ． 17．（2025春•西峡县期中）已知|2x﹣3y+4|与（x﹣2y+5）2互为相反数，则（x﹣y）2025＝　 　 ． 18．（2025春•盐都区月考）已知x、y满足方程组，则代数式x+y＝ 　 　 ． 19．（2025春•台江区校级期中）已知x、y满足方程组，则y﹣x的值是　 　 ． 20．（2025春•东山县期中）已知|2x+y+3|+（x﹣y+3）2＝0，则（x+y）2025等于　 　 ． 三、解答题（共6小题） 21．（2025春•巴彦县月考）按要求解下列方程组： （1）用代入法解方程组：； （2）用加减法解方程组． 22．（2025春•确山县期中）用指定的方法解下列方程组： （1）（代入法）； （2）（加减法）． 23．（2025•武汉三模）解方程组： （1）； （2）． 24．（2025春•安次区期中）解方程组． 解法一： ①+②，解得4x＝4． （ 　 　 ） 解法二： 由②，得5y＝﹣3x+1．③ 把③代入①中，得x﹣3x﹣1＝3． （ 　 　 ） （1）检查两位同学的解题过程是否正确？若解法正确，请在后面括号内打上“√”，若有错误，请在后面括号内打上“×”； （2）请选择一种你喜欢的方法完成解答． 25．（2025春•盐城期中）小明在解方程组时的过程如下： 解：由①×2，得6x﹣2y＝3，③…第一步 ③﹣②，得x＝1，…第二步 将x＝1代入①，得3×1﹣y＝3…第三步 y＝0，…第四步 所以原方程组的解为． （1）小明的解题过程从第 　 　 步开始出现错误： （2）请你写出正确的解方程组的过程． 26．（2025春•广陵区期中）已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式b﹣a的值． 参考答案 一、选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D． C C． B A B C C 一、选择题（共10小题） 1．【答案】C 【分析】利用加减消元法求解可得． 【解答】解：， ①﹣②×2，得：y＝﹣2， 将y＝﹣2代入②，得：2x﹣2＝4， 解得：x＝3， 则方程组的解为， 故选：C． 2．【答案】D． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x﹣2y﹣1|+（2x+y﹣7）2＝0， ∴， ①+②得：3x﹣y＝8． 故选：D． 3．【答案】C 【分析】方程组中的两个方程直接相减得出a+3b＝﹣2，再把要求的代数式提公因式，然后整体代入求值即可． 【解答】解：， ①﹣②，得a+3b＝﹣2， ∴2a+6b＝2（a+3b）＝2×（﹣2）＝﹣4， 故选：C． 4．【答案】C． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（2x﹣y﹣5）2+|x+y﹣1|＝0， ∴， ∴x＝2，y＝﹣1， ∴yx＝（﹣1）2＝1． 故选：C． 5．【答案】B 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：A．①×5后，y的系数为5×5＝25；②×2后，y的系数为﹣4，相加后y的系数为25﹣4＝21≠0，无法消去y，故选项A不正确； B．①×5后，x的系数为15，②×（﹣3）后，x的系数为﹣15，相加后，x的系数为15+（﹣15）＝0，可以消去x，故选项B正确； C．①×2后，y的系数为10，②×5后y的系数为﹣10，相减后y的系数为10﹣（﹣10）＝20≠0，无法消去y，故选项C不正确； D．①×5后x的系数为15，②×3后x的系数为15，相加后x的系数为15+15＝30，无法消去x，故选项D不正确． 故选：B． 6．【答案】A 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组的方法分别判断题干中方法一和方法二，即可解答． 【解答】解：根据加减消元法解二元一次方程组的方法分别判断题干中方法一和方法二如下： 方法一：由①×2得，12x﹣6y＝16， ②×3得，12x+15y＝30， 故由①×2﹣②×3可消去x； 方法二：由①×3得，18x﹣9y＝24， ②×5得，20x+25y＝50， 由①×3+②×5不可消去y， 因此方法一对，方法二不对， 故选：A． 7．【答案】见试题解答内容 【分析】把a+b看作整体，①+②可以直接求出a+b的值 【解答】解：， ①+②得3a+3b＝12， ∴3（a+b）＝12， ∴a+b＝4， 故选：D． 8．【答案】B 【分析】利用加减消元法解答即可． 【解答】解：A．要消去y，可以将①×5+②×4，故选项A错误； B．要消去x，可以将①×4﹣②×3，故选项B正确； C．要消去y，可以将①×5+②×4，故选项C错误； D．要消去x，可以将①×4﹣②×3，故选项D错误． 故选：B． 9．【答案】C 【分析】根据①中y的系数是3，②中y的系数是﹣6，判断出要求消去y，则应①的二倍与②的和即可解答． 【解答】解：若要求消去y，则应①×2+②． 故选：C． 10．【答案】C 【分析】根据两个方程的特点，利用加减消元法消去y即可． 【解答】解：， 观察方程组中两个方程的特点，由于方程②中y的系数是1，故用②×2﹣①，消去y最简便． 故选：C． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】﹣48． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x﹣y﹣6|+（x+y+8）2＝0， ∴， ∴x＝﹣1，y＝﹣7， ∴x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）＝[﹣1﹣（﹣7）]×（﹣1﹣7）＝﹣48． 故答案为：﹣48． 12．【答案】1． 【分析】两个方程相加，直接得出答案． 【解答】解：， ②+①，得2a﹣b＝1． 故答案为：1． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】将原方程组转化为：，根据方程组有无数组解，分别得到关于k和m的等式，解之即可． 【解答】解：原方程组可转化为：， ∵方程组有无数组解， ∴2k＝4，m＝﹣2， 即k＝2，m＝﹣2， k﹣m＝2﹣（﹣2）＝4， 故答案为：4． 14．【答案】． 【分析】直接利用加减消元法解方程组即可得到答案． 【解答】解：， ①×2﹣②×3得4x+9x+6y﹣6y＝﹣40， ﹣5x＝﹣40， 解得：x＝8， 把x＝8代入①得2×8+3y＝37， 解得：y＝7， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 15．【答案】2． 【分析】将两个方程相减即可得到答案． 【解答】解：， ①﹣②得，3x﹣x+y﹣3y＝9﹣5， 2x﹣2y＝4， 2（x﹣y）＝4， ∴x﹣y＝2． 故答案为：2． 16．【答案】． 【分析】利用代入消元法解方程组即可． 【解答】解：， 把②代入①，得2x+3x＝5， 解得：x＝1， 把x＝1代入②，得y＝3， ∴方程组的解为． 17．【答案】1． 【分析】利用相反数的性质列出关系式，再利用非负数的性质列出方程组，求出x﹣y的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：∵|2x﹣3y+4|与（x﹣2y+5）2互为相反数， ∴|2x﹣3y+4|+（x﹣2y+5）2＝0， ∴， ①﹣②得：x﹣y＝1， 则原式＝1． 故答案为：1． 18．【答案】2． 【分析】方程组中的两个方程直接相加得出4x+4y＝8，继而求出x+y的值． 【解答】解：， ①+②，得4x+4y＝8， 所以x+y＝2， 故答案为：2． 19．【答案】见试题解答内容 【分析】方程组两方程相减即可求出y﹣x的值． 【解答】解：， ②﹣①得：y﹣x＝﹣1． 故答案为：﹣1． 20．【答案】﹣1． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|2x+y+3|+（x﹣y+3）2＝0， ∴， ∴x＝﹣2，y＝1， ∴（x+y）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）， 由②，得x＝5﹣y③， 把③代入①，得2（5﹣y）﹣y＝7， 去括号，得10﹣2y﹣y＝7， 解得：y＝1， 把y＝1代入③，得x＝5﹣1＝4， ∴方程组的解为； （2）， ①×2，得4x+6y＝8③， ③﹣②，得15y＝5， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：（1）把②代入①得：2x+5x＝14， 解得：x＝2， 把x＝2代入②，得：y＝﹣2， 则原方程组的解是； （2）①×3得：6x+9y＝27③， ②×2得：6x+10y＝32④， ④﹣③得：y＝5， 把y＝5代入①得：2x+15＝9， 解得：x＝﹣3， 则原方程组的解是． 23．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把原方程组变形为，然后再利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：， ①﹣②，得0.4x＝﹣0.8， 解得：x＝﹣2， 把x＝﹣2代入①，得0.6×（﹣2）﹣0.4y＝1.5， 解得：， ∴方程组的解为； （2）， 整理，得， ①×2，得8x﹣2y＝4③， ②+③，得11x＝22， 解得：x＝2， 把x＝2代入①，得4×2﹣y＝2， 解得：y＝6， ∴方程组的解为． 24．【答案】（1）√，×； （2）． 【分析】（1）根据解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法计算即可； （2）选择解法一，利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）利用解法一的同学的解题过程正确，利用解法二的同学解题过程错误． 故答案为：√，×； （2）选择解法一： ， ①+②，得4x＝4， 解得：x＝1， 把x＝1代入①，得1+5y＝3， 解得：， ∴方程组的解为． 25．【答案】（1）一； （2）． 【分析】（1）根据加减消元法的步骤逐步分析即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）由①×2，得6x﹣2y＝6， 故第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）由①×2，得6x﹣2y＝6，③ ③﹣②，得x＝4， 将x＝4代入①，得 3×4﹣y＝3 y＝9， 所以方程组的解为． 26．【答案】7． 【分析】根据题意可得x、y是方程组的解，解方程组求出x、y的值，进而得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知，x、y是方程组的解， 解方程组得， ∴， 解得：， ∴b﹣a＝5﹣（﹣2）＝7 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2 消元 重难点目录 【重难点1】代入消元法解二元一次方程组 1 【重难点2】加减消元法解二元一次方程组 3 【重难点3】二元一次方程组的特殊解法 4 【重难点4】二元一次方程组的同解问题 5 【重难点5】二元一次方程组的错解问题 6 【小试牛刀】 8 重难点概览 内容索引·常考题型 内容 常考题型 重点01 代入消元法解二元一次方程组 选择题、填空题、解答题 重点02 加减消元法解二元一次方程组 选择题、填空题、解答题 难点01 二元一次方程组的特殊解法 选择题、填空题 难点02 二元一次方程组的同解问题 选择题、填空题、解答题 易错点 二元一次方程组的错解问题 选择题、填空题、解答题 重难点1 重难点 【重难点1】代入消元法解二元一次方程组 （1）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （2）代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来． ②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程． ③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 典型例题 例1： 【典例1】　（2025春•思明区校级期中）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（　　） A．x﹣2x﹣1＝7 B．x﹣2x﹣2＝7 C．x﹣2x+2＝7 D．x+2x+2＝7 【典例2】　（2024秋•沙坡头区校级期末）二元一次方程组用代入消元法消去未知数x，得到关于y的一元一次方程可以是　　 ． 【典例3】　（2025春•陆丰市校级期中）用代入消元法解方程组． 方法点拨 代入消元法 （1）用代入法消元时，由方程组里的一个方程得出的关系式须代入到另一个方程中去，如果代入原方程，就不可能求出原方程组的解了． （2）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化分数系数为整数系数． （3）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程y=ax+b（或x=ay+b），求出另一个未知数的值比较简单． （4）要想检验所求得的一对数值是否为原方程组的解，可以将这对数值代入原方程组的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，否则说明解题有误． 重难点2 重难点 【重难点2】加减消元法解二元一次方程组 （1）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数． ②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程． ③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 典型例题 例1： 【典例4】　（2025春•迁安市期中）用加减消元法解方程组时，如果想消掉x，操作正确的是（　　） A．②×3﹣① B．②×3+① C．①×2﹣② D．①×2+② 【典例5】　（2023秋•郓城县期末）解二元一次方程组时，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用①﹣②得到的方程是 　　 ． 【典例6】　（2025春•周至县期中）用加减消元法解方程组：． 方法点拨 加减消元法 （1）当两个方程中某一个未知数的系数互为相反数时，可将两个方程相加消元；当两个方程中某一个未知数 的系数相等时，可将两个方程相减消元． （2）当方程组中相同未知数的系数的绝对值既不相等，也没有倍数关系时，则消去系数绝对值较小的未知数较简单，确定要消去这个未知数后，先要找出两方程中该未知数系数的最小公倍数，再把这两个方程中准备消去的未知数的系数化成绝对值相等的数． 重难点3 重难点 【重难点3】二元一次方程组的特殊解法 利用换元法解二元一次方程组的基本步骤： （1）找准整体：利用方程组中式子的结构找到相同的“整体”（须每一个方程都含有且与未知数相关）． （2）设新元：根据方程组的特点，将相同的“整体”设为新元． （3）换元：用新元代替原方程组中的“整体”，得到新的方程组． （4）求新元：解新方程组，得到新元的值． （5）求原方程组的解：将解出的新元代回“整体”中，解方程或方程组，求出原问题中的未知数． 典型例题 例1： 【典例7】　（2025春•宁海县期中）方程组有正整数解，则k的正整数值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．不存在 【典例8】　（2025春•海州区校级期中）方程组有正整数解，则正整数a＝　　 ． 【典例9】　（2023春•蓬安县校级期末）若k≥﹣5，则方程组的解中，正整数x的解为　　 ． 方法点拨 根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解． 重难点4 重难点 【重难点4】二元一次方程组的同解问题 1．已知方程组的解满足另外一个方程求字母的值的方法 方法一：把方程组中的字母看成已知数，先用含字母的式子把方程组的解表示出来，再代入另一个二元一次方程，得到关于字母的一元一次方程，解方程即可求出字母的值． 方法二：由方程组中的两个方程消去字母，得到一个关于x，y的二元一次方程，与另一个二元一次方程组成新的方程组，解新方程组求出x，y的值，进而求得字母的值． 2．已知两个方程组同解，求字母的值的方法 第一步：将不含字母的两个方程联立组成新的方程组，求出新方程组的解． 第二步：将新方程组的解代入含字母的方程，得到关于字母的方程（组），即可求出字母的值． 典型例题 例1： 【典例10】　（2025春•高新区校级月考）如果方程组和解的相同，则nm＝　　 ． 【典例11】　（2024秋•定兴县月考）已知方程组和方程组的解相同． （1）求这两个方程组的相同解； （2）求a，b的值． 【典例12】　（2023春•东城区校级期末）当y＝﹣3时，二元一次方程3x+5y＝﹣3和3y﹣2ax＝a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值． 方法点拨 将不含字母系数的两个方程组合成新方程组→解新方程组→将新方程组的解代入其他两个含字母系数的方程组成的方程组→求解． 重难点5 重难点 【重难点5】二元一次方程组的错解问题 挖掘错解问题中的隐含条件 方程组的解满足方程组中的每个方程．因看错一个方程而求得的原方程组的错解，应是另一个没有看错的方程的解． 典型例题 例1： 【典例13】　（2025•桑植县三模）在解关于x，y的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么a+b+c＝　　 ． 【典例14】　（2025春•宜昌期中）解方程组时，将a看错后得到，正确结果应为，则a+b+c的值为 　　 ． 【典例15】　（2025春•吕梁期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而解得乙看错了方程组中的b，而解得根据上面的信息解答： （1）求出正确的a，b的值． （2）求出原方程组的正确解． 方法点拨 处理策略：避开看错的式子，把解代入对应的正确式子中． 小试牛刀 10.2 消元-解二元一次方程组 一、选择题（共10小题） 1．（2025•红桥区三模）二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•仁寿县期中）已知|x﹣2y﹣1|+（2x+y﹣7）2＝0，则3x﹣y的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣6 D．8 3．（2025•淄川区二模）已知方程组，则2a+6b的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 4．（2025春•沙坪坝区期中）已知（2x﹣y﹣5）2+|x+y﹣1|＝0，则yx的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 5．（2025春•赛罕区期中）利用加减消元法解方程组时，下列说法正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去x，可以将①×5+②×（﹣3） C．要消去y，可以将①×2﹣②×5 D．要消去x，可以将①×5+②×3 6．（2025春•滦南县期中）下列是关于方程组的两种解法： 方法一：由①×2﹣②×3可消去x． 方法二：由①×3+②×5可消去y． 下列判断正确的是（　　） A．方法一对，方法二不对 B．方法一不对，方法二对 C．方法一对，方法二也对 D．方法一不对，方法二也不对 7．（2024秋•金沙县期末）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025春•渝北区期中）数学课堂上，老师让大家用加减消元法解方程组，下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×4﹣②×5 B．要消去x，可以将①×4﹣②×3 C．要消去y，可以将①×4+②×5 D．要消去x，可以将①×5﹣②×3 9．（2025春•万州区期中）用加减法解方程组时，消去y应为（　　） A．①×2﹣② B．①×3+②×2 C．①×2+② D．①×3﹣②×2 10．（2025春•番禺区校级期中）解方程组：，较简便的方法是（　　） A．②×2﹣①，消x B．②×2+①，消x C．②×2﹣①，消y D．②×2+①，消y 二、填空题（共10小题） 11．（2025春•肇源县月考）已知|x﹣y﹣6|+（x+y+8）2＝0，则x2﹣y2＝　 　 ． 12．（2025•临平区二模）已知二元一次方程组，则2a﹣b的值为 　 　 ． 13．（2025春•仁寿县期中）若方程组有无数解，则k﹣m的值是　 　 ． 14．（2025•郸城县二模）关于x，y的方程组的解为　 　 ． 15．（2025•三门峡二模）已知方程组，则x﹣y的值为　 　 ． 16．（2025•永春县模拟）方程组的解是 　 　 ． 17．（2025春•西峡县期中）已知|2x﹣3y+4|与（x﹣2y+5）2互为相反数，则（x﹣y）2025＝　 　 ． 18．（2025春•盐都区月考）已知x、y满足方程组，则代数式x+y＝ 　 　 ． 19．（2025春•台江区校级期中）已知x、y满足方程组，则y﹣x的值是　 　 ． 20．（2025春•东山县期中）已知|2x+y+3|+（x﹣y+3）2＝0，则（x+y）2025等于　 　 ． 三、解答题（共6小题） 21．（2025春•巴彦县月考）按要求解下列方程组： （1）用代入法解方程组：； （2）用加减法解方程组． 22．（2025春•确山县期中）用指定的方法解下列方程组： （1）（代入法）； （2）（加减法）． 23．（2025•武汉三模）解方程组： （1）； （2）． 24．（2025春•安次区期中）解方程组． 解法一： ①+②，解得4x＝4． （ 　 　 ） 解法二： 由②，得5y＝﹣3x+1．③ 把③代入①中，得x﹣3x﹣1＝3． （ 　 　 ） （1）检查两位同学的解题过程是否正确？若解法正确，请在后面括号内打上“√”，若有错误，请在后面括号内打上“×”； （2）请选择一种你喜欢的方法完成解答． 25．（2025春•盐城期中）小明在解方程组时的过程如下： 解：由①×2，得6x﹣2y＝3，③…第一步 ③﹣②，得x＝1，…第二步 将x＝1代入①，得3×1﹣y＝3…第三步 y＝0，…第四步 所以原方程组的解为． （1）小明的解题过程从第 　 　 步开始出现错误： （2）请你写出正确的解方程组的过程． 26．（2025春•广陵区期中）已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式b﹣a的值． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$