10.1 二元一次方程组的概念 突破重难点讲义2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

10.1 二元一次方程组的概念 重难点目录 【重难点1】二元一次方程的定义 1 【重难点2】二元一次方程组的定义 3 【重难点3】二元一次方程（组）的解 5 【重难点4】根据实际问题列二元一次方程（组） 7 【重难点5】参数问题 9 【小试牛刀】 12 重难点概览 内容索引·常考题型 内容 常考题型 重点01 二元一次方程的定义 选择题、填空题 重点02 二元一次方程组的定义 选择题、填空题 重点03 二元一次方程（组）的解 选择题、填空题 难点 根据实际问题列二元一次方程（组） 选择题、填空题 易错点 参数问题 选择题、填空题、解答题 重难点1 重难点 【重难点1】二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程 典型例题 例1： 【典例1】　（2025春•高邮市期中）下列各式是二元一次方程的是（　　） A． B．2x＝3y+1 C． D．3xy﹣2x＝y 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是二元一次方程的选项即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 【解答】解：A．方程是一元一次方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即A选项不符合题意； B．方程2x＝3y+1，符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，即B选项符合题意； C．不是整式方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即C选项不符合题意； D．方程3xy﹣2x＝y不是一次方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即D选项不符合题意； 故选：B． 【典例2】　（2025春•宿城区校级期中）下列方程中：①x+y＝1；②；③x2+2x＝﹣1；④3xy＝1；⑤，是二元一次方程的是（　　） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【答案】A 【分析】含有两个未知数，且两个未知数的次数都为1的整式方程叫二元一次方程，据此逐一判断即可求解． 【解答】解：二元一次方程的定义可知： 是二元一次方程的是①x+y＝1；⑤． 故选：A． 【典例3】　（2025春•确山县期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．x﹣xy＝8 B．x2﹣2x+1＝0 C． D．y＝x+1 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可． 【解答】解：根据二元一次方程的定义：方程中含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1．可得：方程y＝x+1是二元一次方程． 故选：D． 方法点拨 1．在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数． 2．一个方程是二元一次方程必须满足： （1）等号两边的式子都是整式； （2）有且只有两个未知数； （3）含有未知数的项的次数都是1． 重难点2 重难点 【重难点2】二元一次方程组的定义 方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组 典型例题 例1： 【典例4】　（2025春•仁寿县期中）下列是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解答】解：A、第一个方程是分式方程，该方程组不上二元一次方程组，故本选项错误； B、该方程组是三元一次方程组，故本选项错误； C、该方程组是二元二次方程组，故本选项错误； D、是二元一次方程组，故本选项正确； 故选：D． 【典例5】　（2024秋•丹巴县期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的方程叫二元一次方程． 二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组． 【解答】解：根据定义可以判断 A、满足要求； B、有a，b，c，是三元方程； C、有x2，是二次方程； D、有x2，是二次方程． 故选：A． 【典例6】　（2025春•邯郸期中）方程组中，不属于二元一次方程组的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据由两个一次方程组成，共含有2个未知数的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可． 【解答】解：根据二元一次方程组的定义逐项分析判断如下： 不是整式方程组，不是二元一次方程组， 是二元一次方程组， 是二元二次方程组，不是二元一次方程组， 故选：C． 方法点拨 （1）组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组． （2）在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立． （3）二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． （4）二元一次方程组有时也由两个以上的二元一次方程组成 重难点3 重难点 【重难点3】二元一次方程（组）的解 一般地，使二元一次方程两边的值两个的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 典型例题 例1： 【典例7】　（2024秋•永安市期末）下列4组数值中，不是二元一次方程3x﹣y＝6的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的解的定义逐项计算判断即可． 【解答】解：A、把代入方程的左边，左边＝3×0﹣6＝﹣6，右边＝6，左边≠右边，所以不是方程3x﹣y＝6的解，故此选项符合题意； B、把代入方程的左边，左边＝3×2﹣0＝6，右边＝6，左边＝右边，所以是方程3x﹣y＝6的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程的左边，左边＝3×4﹣6＝6，右边＝6，左边＝右边，所以是方程3x﹣y＝6的解，故此选项不符合题意； D、把代入方程的左边，左边＝3×（﹣3）﹣（﹣15）＝6，右边＝6，左边＝右边，所以是方程3x﹣y＝6的解，故此选项不符合题意； 故选：A． 【典例8】　（2024秋•新田县期末）若是二元一次方程ax+by＝﹣2的一个解，则3a﹣2b+2026的值为　　 ． 【答案】2024． 【分析】把x＝3，y＝﹣2代入方程ax+by＝﹣2中得3a﹣2b＝﹣2，再整体代入代数式求值即可． 【解答】解：根据题意可得3a﹣2b＝﹣2， ∴3a﹣2b+2026＝﹣2+2026＝2024． 故答案为：2024． 【典例9】　（2025•武汉三模）若是关于x，y的二元一次方程组的解，则2m+6n的值是 　　 ． 【答案】12． 【分析】先解二元一次方程组，再代入2m+6代入求解． 【解答】解：由题意得， ∴m＝3，n＝1． ∴2m+6n＝6+6＝12． 故答案为：12． 方法点拨 （1）检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解，常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程．只有当这对数值同时满足所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；如果这对数值不满足其中的某个方程，那么它就不是此方程组的解． （2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，但并不是说任何一对数值就是它的解． 重难点4 重难点 【重难点4】根据实际问题列二元一次方程（组） ①审：审清题意； ②找：找出题中的两个相等关系； ③设：设两个未知数（一般求什么，就设什么）； ④列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组． 典型例题 例1： 【典例10】　（2025•滑县二模）某校九（1）班级部分学生参加社会实践活动，实践基地有宿舍若干间．如果每间宿舍住4人，那么有2人没有宿舍住；如果每间宿舍住6人，那么会空出一间宿舍．设宿舍有x间，学生有y人，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两种住宿安排的描述，分别找出宿舍间数、学生人数的等量关系，从而列出方程组． 【解答】解：根据题意，得： ， 故选：C． 【典例11】　（2025•蒙阴县三模）在某款游戏的周边制作中，某工厂安排工人制作手办和徽章．已知一共有60名工人参与制作，每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖，设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章，能恰好全部配成套装，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖，列出二元一次方程组即可． 【解答】解：由题意得：， 故选：C． 【典例12】　（2025•拱墅区校级三模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”和“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多”为等量关系，列出方程组即可． 【解答】解：由题意得： ， 故选：B． 方法点拨 解题关键是找相等关系 重难点5 重难点 【重难点5】参数问题 将方程（组）的解代入适合它的方程，得到关于字母参数的新方程，通过解方程或整体代入求值． 典型例题 例1： 【典例13】　（2025春•九龙坡区校级月考）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝2，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【答案】B 【分析】方程②×2得③，再把①﹣③，选取x，a，求出y，再把y值代入x﹣y＝2，求出x，最后把x，y的值代入②求出a即可． 【解答】解：， ②×2得：2x﹣8y＝4a+6③， ①﹣③得：， 把代入x﹣y＝2得：， 把，代入②得： ， 2a+3＝7， 2a＝4， a＝2， 故选：B． 【典例14】　（2025春•重庆月考）如果二元一次方程组的解是二元一次方程2x﹣3y+14＝0的一个解，那么a的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据加减消元法解二元一次方程组，得到方程组的解（用含a的代数式表示），然后根据二元一次方程的解定义，将x，y的值代入方程2x﹣3y+14＝0中，得到关于a的方程，解方程即可求出a的值． 【解答】解：， ①+②得：2x＝12a，即x＝6a， ①﹣②得：2y＝﹣6a，即y＝﹣3a， ∵二元一次方程组的解是二元一次方程2x﹣3y+14＝0的一个解， ∴把x＝6a，y＝﹣3a代入方程2x﹣3y+14＝0得：12a+9a+14＝0， 解得：． 故选：D． 【典例15】　（2025春•莘县期中）已知关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则m的值为（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】利用方程组中的方程①加方程②可得3x+3y＝6﹣3m，进而得到x+y＝2﹣m，再根据相反数的定义进行计算即可． 【解答】解：关于x，y的方程组， ①+②得， 3x+3y＝6﹣3m， 即x+y＝2﹣m， 又∵x与y互为相反数，即x+y＝0， ∴2﹣m＝0， 解得m＝2． 故选：B． 方法点拨 注意不要忽略隐含条件 小试牛刀 10.1 二元一次方程组的概念 一、选择题（共10小题） 1．（2025春•南开区校级月考）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•奉节县期末）已知是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（　　） A．14 B．11 C．7 D．4 3．（2025春•广东期末）已知是关于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一个解，则m的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 4．（2025春•沙坪坝区期中）已知是二元一次方程y+kx＝7的解，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 5．（2025春•郸城县期中）方程4x+3y＝19在正整数范围内的解有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 6．（2025春•迁安市期中）若是二元一次方程mx﹣3y＝4（m为常数）的一组解，则m的值为（　　） A．10 B．5 C．2 D．﹣1 7．（2025春•江都区期中）下列方程是二元一次方程的是（　　） A．x2﹣1＝0 B．x C．xy+2＝0 D．x0 8．（2025春•曹妃甸区期中）下列方程组中，哪个是二元一次方程组（　　） A． B． C． D． 9．（2025春•封丘县期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可能是（　　） A．x﹣3y B．2x﹣y C．x﹣2y D．3x﹣y 10．（2025•舟山三模）动画电影《哪吒2》以打破中国影史记录的票房引起国内外关注，某商家相应推出了联名款的玩偶和人物卡片．已知购买3个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买1个玩偶和5包人物卡片需花费65元，问联名款的玩偶和人物卡片的单价分别为多少？设玩偶单价为x元/个，人物卡片单价为y元/包，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2025•拱墅区校级二模）已知是方程ax﹣6y＝4的一组解，则a的值为 　 　 ． 12．（2025春•闵行区校级期末）已知是二元一次方程mx﹣3y＝1的一个解，则m的值为　 　 ． 13．（2025春•钱塘区校级期末）若是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝　 　 ． 14．（2025春•徐州期末）若关于x，y的方程组的解满足2x+y＝1，则m的值为 　 　 ． 15．（2025春•新沂市月考）二元一次方程x+3y＝4有一组解互为相反数，则y的值为 　 　 ． 16．（2025春•长乐区校级月考）已知是关于x、y的方程6x+my＝30的解，则m＝　 　 ． 17．（2025春•宿城区校级期中）已知是关于x，y的二元一次方程组，则x+y＝　 　 ． 18．（2024秋•长寿区校级月考）若方程组是二元一次方程组，则a的值为 　 　 ． 19．（2025春•南阳期中）已知二元一次方程2x+y＝7，请写出该方程的一组整数解：　 　 ． 20．（2025春•新市区校级期中）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k﹣1|+y+1＝0是二元一次方程，则k＝　 　 ． 三、解答题（共4小题） 21．（2025春•阳谷县期中）若关于x，y二元一次方程组的解是，求关于a，b的二元一次方程组的解． 22．（2025春•祁东县期中）已知方程组与方程组的解相同，求（2a+b）2025的值． 23．（2025春•沛县月考）若关于x、y的方程组的解x与y相等，求k的值． 24．（2025春•平昌县期中）已知是关于x、y的方程组的解． （1）求：a、b的值； （2）求2ab﹣a的值． 参考答案 一、选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C B D B D C D 一、选择题（共10小题） 1．【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义对选项逐一判断：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 【解答】解：A．选项方程组有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意； B．选项方程组是二元一次方程组，故符合题意； C．选项方程组方程组中的次数是2，不是二元一次方程组，故不符合题意； D．选项方程组不是二元一次方程组，故不符合题意． 故选：B． 2．【答案】B 【分析】把代入mx+ny＝7，求出2m+3n的值，再把所求代数式化成含有2m+3n的形式，最后整体代入进行计算即可． 【解答】解：把代入mx+ny＝7得：2m+3n＝7， ∴4m+6n﹣3 ＝2（2m+3n）﹣3 ＝2×7﹣3 ＝14﹣3 ＝11， 故选：B． 3．【答案】D 【分析】把代入方程2x﹣my＝10得出2﹣2m＝10，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一个解， ∴2×1﹣2m＝10， ∴2﹣2m＝10， ∴﹣2m＝10﹣2， ∴﹣2m＝8， ∴m＝﹣4． 故选：D． 4．【答案】C 【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入二元一次方程y+kx＝7中即可求出k的值． 【解答】解：把代入二元一次方程y+kx＝7中，﹣1+2k＝7， 解得k＝4， 故选：C． 5．【答案】B 【分析】由4x+3y＝19，可得出y，结合x，y均为正整数，即可得出方程4x+3y＝19在正整数范围内的解有2组． 【解答】解：∵4x+3y＝19， ∴y， 又∵x，y均为正整数， ∴或， ∴方程4x+3y＝19在正整数范围内的解有2组． 故选：B． 6．【答案】D 【分析】将代入原方程，可得出2m﹣3×（﹣2）＝4，解之即可得出m的值． 【解答】解：将代入原方程得：2m﹣3×（﹣2）＝4， 解得：m＝﹣1， ∴m的值为﹣1． 故选：D． 7．【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义进行判断即可． 【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； B、符合二元一次方程的定义，故是二元一次方程，所以此选项正确，符合题意； C、有两个未知数，但含未知数的项的次数是二次的，不是二元一次方程，故此选项错误，不符合题意； D、方程左边不是整式，不是二元一次方程，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 8．【答案】D 【分析】根据二元一次方程组的特点判断即可．主要从3个方面来判断：①两个方程都是整式方程；②含有2个未知数；③含未知数的项的次数是1次． 【解答】解：A、有两个未知数，第一个方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； B、有四个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； C、有两个未知数，第一个方程的次数是2次，故不是二元一次方程组，不合题意； D、符合二元一次方程组的定义，故是二元一次方程组，符合题意； 故选：D． 9．【答案】C 【分析】将分别代入各选项中的多项式，如果计算结果为0，则多项式A可能是该多项式，否则，多项式A不可能是该多项式． 【解答】解：将代入x﹣3y， 得x﹣3y＝2﹣3＝﹣1≠0， ∴多项式A不可能是x﹣3y， ∴A不符合题意； 将代入2x﹣y， 得2x﹣y＝4﹣1＝3≠0， ∴多项式A不可能是2x﹣y， ∴B不符合题意； 将代入x﹣2y， 得x﹣2y＝2﹣2＝0， ∴多项式A可能是x﹣2y， ∴C符合题意； 将代入3x﹣y， 得3x﹣y＝6﹣1＝5， ∴多项式A不可能是3x﹣y， ∴D不符合题意． 故选：C． 10．【答案】D 【分析】根据“购买3个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买1个玩偶和5包人物卡片需花费65元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 【解答】解：依题意得： ， 故选：D． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】16． 【分析】直接把代入方程ax﹣6y＝4中求出a的值即可． 【解答】解：由题意可知：a﹣6×2＝4， ∴a＝16， 故答案为：16． 12．【答案】7． 【分析】把代入方程计算即可求出m的值． 【解答】解：将代入方程mx﹣3y＝1，得：m﹣6＝1， 解得：m＝7， 故答案为：7． 13．【答案】7． 【分析】把x与y的值分别代入已知两个方程中计算求出m与n的值，代入计算即可求出m+n的值． 【解答】解：把分别代入方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n得：6+2＝2m，10﹣1＝3n， 解得：m＝4，n＝3， 则m+n＝4+3＝7． 故答案为：7． 14．【答案】﹣1． 【分析】将方程组中的两方程相加可得2x+y＝3m+4，再整体代入可求得此题结果． 【解答】解：将方程组中的两方程相加可得2x+y＝3m+4， 由题意得，3m+4＝1， 解得m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 15．【答案】2． 【分析】根据二元一次方程有一组解互为相反数得出x＝﹣y，代入方程即可求出y的值． 【解答】解：由题意得x＝﹣y， ∴﹣y+3y＝4， ∴y＝2， 故答案为：2． 16．【答案】﹣6． 【分析】将x、y的值代入方程，然后解一个关于m的方程即可． 【解答】解：将x、y的值代入6x+my＝30， 6×3﹣2m＝30， 得：m＝﹣6， 故答案为：﹣6． 17．【答案】3． 【分析】把方程组的两个方程相加得到x+y＝3． 【解答】解：方程组两个方程相加得3（x+y）＝9， 解得，x+y＝3． 故答案为：3． 18．【答案】0． 【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可． 【解答】解：两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组， 则a＝0， 故答案为：0． 19．【答案】见试题解答内容 【分析】由2x+y＝7，可得出y＝7﹣2x，代入x＝1求出y值即可． 【解答】解：∵2x+y＝7， ∴y＝7﹣2x． 当x＝1时，y＝7﹣2×1＝5， ∴是该方程的一组整数解． 故答案为：（答案不唯一）． 20．【答案】0． 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可． 【解答】解：依题意，k﹣2≠0，|k﹣1|＝1， 解得：k＝0， 故答案为：0． 三、解答题（共4小题） 21．【答案】． 【分析】对比两个方程组，可得a+b就是第一个方程组中的x，即a+b＝﹣1，同理：a﹣b＝﹣2，可得方程组解出即可． 【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴关于a、b的二元一次方程组满足， 解得． 故关于a、b的二元一次方程组的解是． 22．【答案】﹣1． 【分析】根据题意得到方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，然后代入（2a+b）2025求解即可． 【解答】解：由题意可得：， 解二元一次方程组得， 把代入，得， 解得， ∴原式＝（2﹣3）2025＝﹣1． 23．【答案】k＝1． 【分析】根据解二元一次方程组的步骤进行解答． 【解答】解：， ①+②得：x+3x﹣3y﹣y＝k﹣2+k， 4x﹣4y＝2k﹣2， ∵x＝y， ∴4x﹣4y＝2k﹣2＝0． 解得：k＝1． 24．【答案】（1）a＝5，b＝4； （2）35． 【分析】（1）根据题意，把方程组的解代入原方程，得到a，b的值； （2）把a，b的值代入2ab﹣a，得到结果． 【解答】解：（1）∵是关于x、y的方程组的解， ∴， 解得； （2）2ab﹣a＝2×5×4﹣5＝35 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1 二元一次方程组的概念 重难点目录 【重难点1】二元一次方程的定义 1 【重难点2】二元一次方程组的定义 2 【重难点3】二元一次方程（组）的解 3 【重难点4】根据实际问题列二元一次方程（组） 4 【重难点5】参数问题 6 【小试牛刀】 7 重难点概览 内容索引·常考题型 内容 常考题型 重点01 二元一次方程的定义 选择题、填空题 重点02 二元一次方程组的定义 选择题、填空题 重点03 二元一次方程（组）的解 选择题、填空题 难点 根据实际问题列二元一次方程（组） 选择题、填空题 易错点 参数问题 选择题、填空题、解答题 重难点1 重难点 【重难点1】二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程 典型例题 例1： 【典例1】　（2025春•高邮市期中）下列各式是二元一次方程的是（　　） A． B．2x＝3y+1 C． D．3xy﹣2x＝y 【典例2】　（2025春•宿城区校级期中）下列方程中：①x+y＝1；②；③x2+2x＝﹣1；④3xy＝1；⑤，是二元一次方程的是（　　） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【典例3】　（2025春•确山县期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．x﹣xy＝8 B．x2﹣2x+1＝0 C． D．y＝x+1 方法点拨 1．在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数． 2．一个方程是二元一次方程必须满足： （1）等号两边的式子都是整式； （2）有且只有两个未知数； （3）含有未知数的项的次数都是1． 重难点2 重难点 【重难点2】二元一次方程组的定义 方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组 典型例题 例1： 【典例4】　（2025春•仁寿县期中）下列是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【典例5】　（2024秋•丹巴县期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【典例6】　（2025春•邯郸期中）方程组中，不属于二元一次方程组的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 方法点拨 （1）组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组． （2）在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立． （3）二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． （4）二元一次方程组有时也由两个以上的二元一次方程组成 重难点3 重难点 【重难点3】二元一次方程（组）的解 一般地，使二元一次方程两边的值两个的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 典型例题 例1： 【典例7】　（2024秋•永安市期末）下列4组数值中，不是二元一次方程3x﹣y＝6的解的是（　　） A． B． C． D． 【典例8】　（2024秋•新田县期末）若是二元一次方程ax+by＝﹣2的一个解，则3a﹣2b+2026的值为　　 ． 【典例9】　（2025•武汉三模）若是关于x，y的二元一次方程组的解，则2m+6n的值是 　　 ． 方法点拨 （1）检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解，常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程．只有当这对数值同时满足所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；如果这对数值不满足其中的某个方程，那么它就不是此方程组的解． （2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，但并不是说任何一对数值就是它的解． 重难点4 重难点 【重难点4】根据实际问题列二元一次方程（组） ①审：审清题意； ②找：找出题中的两个相等关系； ③设：设两个未知数（一般求什么，就设什么）； ④列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组． 典型例题 例1： 【典例10】　（2025•滑县二模）某校九（1）班级部分学生参加社会实践活动，实践基地有宿舍若干间．如果每间宿舍住4人，那么有2人没有宿舍住；如果每间宿舍住6人，那么会空出一间宿舍．设宿舍有x间，学生有y人，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【典例11】　（2025•蒙阴县三模）在某款游戏的周边制作中，某工厂安排工人制作手办和徽章．已知一共有60名工人参与制作，每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖，设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章，能恰好全部配成套装，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例12】　（2025•拱墅区校级三模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 方法点拨 解题关键是找相等关系 重难点5 重难点 【重难点5】参数问题 将方程（组）的解代入适合它的方程，得到关于字母参数的新方程，通过解方程或整体代入求值． 典型例题 例1： 【典例13】　（2025春•九龙坡区校级月考）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝2，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【典例14】　（2025春•重庆月考）如果二元一次方程组的解是二元一次方程2x﹣3y+14＝0的一个解，那么a的值是（　　） A． B． C． D． 【典例15】　（2025春•莘县期中）已知关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则m的值为（　　） A． B．2 C．3 D． 方法点拨 注意不要忽略隐含条件 小试牛刀 10.1 二元一次方程组的概念 一、选择题（共10小题） 1．（2025春•南开区校级月考）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•奉节县期末）已知是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（　　） A．14 B．11 C．7 D．4 3．（2025春•广东期末）已知是关于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一个解，则m的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 4．（2025春•沙坪坝区期中）已知是二元一次方程y+kx＝7的解，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 5．（2025春•郸城县期中）方程4x+3y＝19在正整数范围内的解有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 6．（2025春•迁安市期中）若是二元一次方程mx﹣3y＝4（m为常数）的一组解，则m的值为（　　） A．10 B．5 C．2 D．﹣1 7．（2025春•江都区期中）下列方程是二元一次方程的是（　　） A．x2﹣1＝0 B．x C．xy+2＝0 D．x0 8．（2025春•曹妃甸区期中）下列方程组中，哪个是二元一次方程组（　　） A． B． C． D． 9．（2025春•封丘县期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可能是（　　） A．x﹣3y B．2x﹣y C．x﹣2y D．3x﹣y 10．（2025•舟山三模）动画电影《哪吒2》以打破中国影史记录的票房引起国内外关注，某商家相应推出了联名款的玩偶和人物卡片．已知购买3个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买1个玩偶和5包人物卡片需花费65元，问联名款的玩偶和人物卡片的单价分别为多少？设玩偶单价为x元/个，人物卡片单价为y元/包，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2025•拱墅区校级二模）已知是方程ax﹣6y＝4的一组解，则a的值为 　 　 ． 12．（2025春•闵行区校级期末）已知是二元一次方程mx﹣3y＝1的一个解，则m的值为　 　 ． 13．（2025春•钱塘区校级期末）若是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝　 　 ． 14．（2025春•徐州期末）若关于x，y的方程组的解满足2x+y＝1，则m的值为 　 　 ． 15．（2025春•新沂市月考）二元一次方程x+3y＝4有一组解互为相反数，则y的值为 　 　 ． 16．（2025春•长乐区校级月考）已知是关于x、y的方程6x+my＝30的解，则m＝　 　 ． 17．（2025春•宿城区校级期中）已知是关于x，y的二元一次方程组，则x+y＝　 　 ． 18．（2024秋•长寿区校级月考）若方程组是二元一次方程组，则a的值为 　 　 ． 19．（2025春•南阳期中）已知二元一次方程2x+y＝7，请写出该方程的一组整数解：　 　 ． 20．（2025春•新市区校级期中）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k﹣1|+y+1＝0是二元一次方程，则k＝　 　 ． 三、解答题（共4小题） 21．（2025春•阳谷县期中）若关于x，y二元一次方程组的解是，求关于a，b的二元一次方程组的解． 22．（2025春•祁东县期中）已知方程组与方程组的解相同，求（2a+b）2025的值． 23．（2025春•沛县月考）若关于x、y的方程组的解x与y相等，求k的值． 24．（2025春•平昌县期中）已知是关于x、y的方程组的解． （1）求：a、b的值； （2）求2ab﹣a的值． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$