精品解析：河北省邯郸市区县多校联考2024-2025学年高一下学期5月二调考试数学试题

2024～2025学年第二学期二调考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第九章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为400，则中卷录取人数为（ ） A. 40 B. 70 C. 110 D. 150 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，求出中卷录取的比率，再根据会试录取人数即可求得中卷录取人数. 【详解】依题意，中卷录取的比率为：， 故会试录取人数为400时，中卷录取人数为. 故选：A. 2. 若，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算及模的运算可得，利用共轭复数的概念求得，即可得解. 【详解】由题意，所以，所以. 故选：B 3. 在平行四边形中，点E满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形根据向量的加减法则即可求解. 【详解】 . 故选：C. 4. 在中，，且的面积为，则角B的大小为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用面积公式得，利用特殊角的函数值求解即可. 【详解】的面积，解得， 因为，所以角的大小为或. 故选：B. 5. 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中　　 A. B. 与相交 C. D. 与所成的角为 【答案】D 【解析】 【分析】还原成正方体，可推导出在原来的正方体中与所成的角为． 【详解】解：一个正方体的展开图如图所示， 为原正方体的顶点， 还原成正方体如下图， ，是与所成角， ，， 在原来的正方体中与所成的角为． 故选． 【点睛】本题考查了学生的空间想象力及作图能力、异面直线所成角的求法，属于基础题． 6. 已知由5个数据组成的一组数据的平均数为4，方差为1，现再加入一个数据10，组成一组新的数据，则这组新数据的方差为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平均数、方差的公式列式计算即得. 【详解】记原5个数据依次为，，则新数据的平均数为， 由原数据的方差为1，得，则， 所以这组新数据的方差为. 故选：A 7. 如图，在三棱锥中，平面平面，平面平面，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直性质可得平面，再利用线面垂直判定定理可得平面，即，根据等体积法计算可求得结果. 【详解】由平面平面，平面平面，且平面平面， 所以可得平面； 又平面，所以， 又，所以， 因为，平面，所以平面； 又平面，可得； 又因为，因此； 设点A到平面的距离为， 所以三棱锥的体积， 即，解得. 故选：D 8. 在斜三角形中，角的对边分别为，点满足，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过正余弦定理转化得，对变形得，两边同平方得，解出，再利用三角形面积公式和向量中线公式即可得到答案. 【详解】因为， 由余弦定理得， 又因为是斜三角形，所以，所以， 由正弦定理得，因为， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 因为， 化简得，解得或（舍去）， 所以， 设边的中点为，则， 因为，所以， 即为的中点，所以：. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正余弦定理进行转化得，再对向量式进行变形处理得，再两边同平方代入数据从而解出，最后再通过三角形面积公式得到答案. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 调查某市小学生每天的运动时间 B. 农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量 C. 某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查 D. 调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况 【答案】AB 【解析】 【分析】根据抽样调查的定义及其特点，结合调查对象以及调查目标对选项进行判断即可知AB适宜采用抽样调查，而CD选项中调查对象是全体，因此不适宜采用抽样调查. 【详解】对于A，调查某市小学生每天的运动时间只需抽取部分样本即可，适宜采用抽样调查，即A正确； 对于B，调查某块地今年麦穗的单穗平均质量只需抽取部分麦穗作为样本，适宜采用抽样调查，即B正确； 对于C，对此公司职员进行检查需检查全体员工才能确定患有甲肝的员工，不适宜采用抽样调查，即C错误； 对于D，因为需要调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况，所以不适宜采用抽样调查，即D错误. 故选：AB 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，，则的面积为 B. 已知向量，则 C. 在中，若，则是等腰三角形 D. 已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角形面积公式直接求解可判断A；根据向量坐标运算求解可判断B；记的中点为D，根据向量加法运算结合已知可得中线垂直于，然后可判断C；考虑与反向时不满足条件即可判断D. 【详解】，故A正确； ，故B错误； 记的中点为D，由于， 因此中线垂直于，所以是等腰三角形，故C正确； 与的夹角为钝角， 且，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的取值范围是 D. 二面角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，利用线线角的向量求法判断C，利用二面角的向量求法判断D即可. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，且设正方体边长为2， 故,,，，， 所以，， 对于A，，，故， ，因为，共线， 所以，故， 故，而， 所以，故A正确， 对于B，而，化简得， 故，， 而，， 设面的法向量为，可得， 所以，令，解得， 故，则， 可得平面，故B正确， 对于C，，， 设异面直线与所成的角为，， 所以， 当时，， 而时，令， 因为，可得， 故，得到，故C错误， 对于D，已知面的法向量为， 设面的法向量，所以， 故，令，解得， 故，设二面角为， ，故，而， 而，解得，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后表示出关键点的坐标，由线线角的向量求法表示出线线角． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 光明中学举办以“喜迎二十大、争做新青年、永远跟党走、奋进新征程”为主题的演讲比赛．其中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第50百分位数和第80百分位数的和为__________． 【答案】183.5 【解析】 【分析】利用百分位数的计算方法进行计算即可. 【详解】数据从小到大排列为：85，86，88，89，90，92，94，98， ，第50百分位数为， ，第80百分位数为94， 则这8人成绩的第50百分位数和第80百分位数的和为183.5 故答案为：183.5 13. 如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，作出直线与直线所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解. 【详解】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF， 显然是的中点，则，是与所成的角或其补角， 在中，，，， ，， 所以直线与直线所成角的正切值为. 故答案为： 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为的面积，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】应用正弦定理边角关系、和角正弦公式可得，根据三角形性质有，再应用余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式求目标式的最大值，注意取最大值的条件. 【详解】由题设及正弦定理边角关系，， 即，而，故， 又，则，故， 而，， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，为z的共轭复数，且． （1）求m的值； （2）若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数的概念，结合复数的加法运算即可求解参数的值； （2）首先将代入一元二次方程中求出参数，的值，然后再根据求根公式求解另外一个复数根即可. 【小问1详解】 已知，则， 由于，得，解得： 【小问2详解】 由（1）可知，，将代入方程可得：， 即：，得：，解得：，， 代入一元二次方程中得：， 解得：，， 即方程另外一个复数根为 16. 如图，在三棱锥中，，的外接圆的圆心在线段上，平面，为上一点，且. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，， 又，所以， 又，所以，所以， 所以，所以，即， 因为的外接圆的圆心在线段上，所以，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似证明，又，即可证明平面，从而得到，即可得证； （2）依题意可得，再求出，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 又， 所以. 17. 对某高校学生参加“走进敬老院送温暖”的活动次数进行统计，随机抽取N名学生，得到这N名学生参加此活动的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图. 分组 频数 频率 10 0.20 24 n 14 0.28 m p 合计 N 1 （1）求出表中N，p及图中a的值： （2）若该校有学生3000人，试估计该校学生参加此活动的次数在区间内的人数； （3）估计该校学生参加此活动次数的众数､中位数及平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，所有结果保留一位小数） 【答案】（1），， （2） （3）众数是，中位数的为18.1，平均数是18.3 【解析】 【分析】（1）根据频率、频数和样本容量之间的关系即可求解； （2）根据区间内频率，可估计该校学生参加“走进敬老院送温暖”活动的次数在区间内的人数； （3）众数即最高矩形的底边中点的横坐标，中位数利用左右两侧直方图的面积相等计算即可，平均数是每个小矩形的面积与小矩形底边中点横坐标乘积的和. 【小问1详解】 由分组对应的频数是10，频率是0.20，可知，所以， 所以，解得， 所以，； 【小问2详解】 估计该校学生参加此活动的次数在区间内的人数为人； 【小问3详解】 估计该校学生参加此活动次数的众数是. 因为， 所以估计该校学生参加此活动次数的中位数x满足， 解得，所以该校学生参加此活动次数的中位数的为18.1， 由， 所以估计该校学生参加此活动次数的平均数是18.3. 18. 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为菱形，，. （1）求锐二面角的大小； （2）求AP与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，利用二面角的定义求解即得. （2）取的中点，利用等体积法求出点到平面的距离，进而求出点到平面的距离，再利用公式法求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 在四棱锥中，取中点，连接， 在菱形中，，则是正三角形，，由，得， 由是正三角形，得，则是二面角的平面角， 而，则， 所以锐二面角的大小为. 【小问2详解】 由（1）知，平面，而平面，则平面平面， 取中点，连接，由为正三角形，得，， 而平面平面，平面，则平面， 三棱锥的体积， 显然，，又平面，即有， 于是， 又，底边上的高， 设点到平面的距离为，由，得， 即，于是，解得， 由平面，平面，得平面， 因此点到平面的距离等于点到平面的距离， 令AP与平面所成的角为，则， 所以AP与平面所成的角的正弦值. 【点睛】方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 19. 在中，设、、所对的边分别为、、，已知，且三角形外接圆半径为． （1）求的大小； （2）若的面积为，求的值； （3）设的外接圆圆心为，且满足，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式求得的值，可求得的值，利用两角和与差的余弦公式可得出，求出的值，即可得出结果； （3）推导出，，利用平面向量的数量积结合正弦定理以及三角恒等变换可求得的值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为、，则，，，故； （2），可得，则， ， ， ， 因为， 所以，， 因此，； （3）取的中点，则，如下图所示： ，同理可得， 设的外接圆半径为， 因为，故， 即，即， 则有， 整理可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第二学期二调考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第九章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为400，则中卷录取人数为（ ） A. 40 B. 70 C. 110 D. 150 2. 若，则（ ） A. B. 6 C. D. 3. 在平行四边形中，点E满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，且的面积为，则角B的大小为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 5. 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中　　 A. B. 与相交 C. D. 与所成的角为 6. 已知由5个数据组成的一组数据的平均数为4，方差为1，现再加入一个数据10，组成一组新的数据，则这组新数据的方差为（ ） A. B. C. D. 7 7. 如图，在三棱锥中，平面平面，平面平面，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在斜三角形中，角的对边分别为，点满足，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 调查某市小学生每天的运动时间 B. 农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量 C. 某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查 D. 调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，，则的面积为 B. 已知向量，则 C. 在中，若，则是等腰三角形 D. 已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 11. 如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的取值范围是 D. 二面角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 光明中学举办以“喜迎二十大、争做新青年、永远跟党走、奋进新征程”为主题的演讲比赛．其中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第50百分位数和第80百分位数的和为__________． 13. 如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为______． 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为的面积，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，为z的共轭复数，且． （1）求m的值； （2）若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 16. 如图，在三棱锥中，，的外接圆的圆心在线段上，平面，为上一点，且. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 17. 对某高校学生参加“走进敬老院送温暖”的活动次数进行统计，随机抽取N名学生，得到这N名学生参加此活动的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图. 分组 频数 频率 10 0.20 24 n 14 0.28 m p 合计 N 1 （1）求出表中N，p及图中a的值： （2）若该校有学生3000人，试估计该校学生参加此活动的次数在区间内的人数； （3）估计该校学生参加此活动次数的众数､中位数及平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，所有结果保留一位小数） 18. 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为菱形，，. （1）求锐二面角的大小； （2）求AP与平面所成的角的正弦值. 19. 在中，设、、所对的边分别为、、，已知，且三角形外接圆半径为． （1）求的大小； （2）若的面积为，求的值； （3）设的外接圆圆心为，且满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $