第07讲 函数的基本性质（知识清单+2易错+8必考题型）-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考通用）

第07讲 函数的基本性质 题型梳理 易错分析 易错点一 复合函数单调区间判断错误 易错点二 忽略定义域的影响直接应用性质 题型方法 题型一 判断函数的单调性（区间） 题型二 已知函数的单调性求参数 题型三 利用函数的单调性解不等式 题型四 求函数的最值 题型五 比较大小 题型六 判断函数的奇偶性 题型七 函数奇偶性的应用 题型八 函数的周期性与对称性 知识清单 一．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 二．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有 ； (2)∃x0∈D，使得 (1)∀x∈D，都有 ； (2)∃x0∈D，使得 结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值 常用结论 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 三．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称 四.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期． 常用结论 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． 五．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于 对称，偶函数关于 对称． (2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 ；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为 ． 六．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 对称． 七．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于 对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于 对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于 对称． 易错分析 【易错点一】复合函数单调区间判断错误 【例1】（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2020·全国·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2021·内蒙古包头·一模）设函数，则（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【变式3】（2021·上海浦东新·三模）函数的单调递减区间为 . 【易错点二】忽略定义域的影响直接应用性质 【例2】（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2023·内蒙古·模拟预测）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·全国·模拟预测）定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023·山东枣庄·模拟预测）已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是 ． 题型方法 【题型一】判断函数的单调性（区间） 【例1】（2023·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 解题技巧 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法． 【举一反三】【变式1】（2022·江西·二模）已知函数若，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·海南海口·二模）已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ． 【变式3】（2022·全国·三模）函数的单调递减区间为 ． 【题型二】已知函数的单调性求参数 【例2】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 【举一反三】【变式1】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·山东·模拟预测）若函数的图像经过点，且在上是减函数，则 ． 【变式3】（2024·湖南邵阳·二模）已知，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【题型三】利用函数的单调性解不等式 【例3】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． 【举一反三】【变式1】（2025·甘肃·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ． 【变式3】（2023·山东·模拟预测）若函数在上是增函数，且，求的取值范围． 【题型四】求函数的最值 【例4】（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【举一反三】【变式1】（2025·湖南·模拟预测）已知函数，则“，”是“在上的最小值为2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2】（2025·甘肃·二模）已知实数，满足，则的最小值为 ． 【变式3】（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值. 【题型五】比较大小 【例5】（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 解题技巧 比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 【举一反三】【变式1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，，则，，的大小关系为 .（均用“>”连接） 【题型六】判断函数的奇偶性 【例6】（2025·江西·模拟预测）函数是（   ） A．奇函数，且最大值为5 B．奇函数，且最小值为 C．偶函数，且最大值为5 D．偶函数，且最小值为 解题技巧 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 【举一反三】【变式1】（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（2022·福建宁德·模拟预测）下列既是奇函数，又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型七】函数奇偶性的应用 【例7】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 解题技巧 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题． 【举一反三】【变式1】（2025·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，则实数的取值范围为 ． 【变式3】（2023·陕西咸阳·模拟预测）求下列情况下的值 (1)若函数是偶函数, 求的值． (2)已知 是奇函数, 且当时,,若, 求的值． 【题型八】函数的周期性与对称性 【例8】（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 解题技巧 周期性 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． 函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称． 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． 【举一反三】【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）已知是定义在上的函数，则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2025·江苏·三模）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ． 【变式3】（2025·陕西西安·二模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数． （ⅰ）求的值； （ⅱ）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称． 好题必刷 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 3．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·云南·一模）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数的图象的对称中心在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025·青海海东·三模）定义在上的函数满足，，则（    ） A． B． C． D．2为的一个周期 7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数（   ） A．是偶函数 B．最大值为 C．最小值为 D．在有两个零点 8．（2025·重庆·三模）已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．关于x的不等式的解集是 D． 三、填空题 9．（2025·江西宜春·一模）已知函数在上的最小值是1，则 . 10．（2025·江西·二模）已知函数，则不等式的解集是 . 11．（2025·湖南·三模）已知函数的定义域为R，且，当时，，则的值为 ． 四、解答题 12．（2025·辽宁·一模）已知函数，曲线在处的切线斜率为2. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 13．（2021·陕西安康·一模）已知函数是定义在上的偶函数，满足． (1)证明：函数是周期函数． (2)当时，．若恰有14个零点，求实数的取值范围． 14．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 15．（2022·上海松江·二模）对于定义在R上的函数，若存在正数m与集合A，使得对任意的，当，且时，都有，则称函数具有性质． (1)若，判断是否具有性质，并说明理由； (2)若，且具有性质，求m的最大值； (3)若函数的图像是连续曲线，且当集合（a为正常数）时，具有性质，证明：是R上的单调函数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 函数的基本性质 题型梳理 易错分析 易错点一 复合函数单调区间判断错误 易错点二 忽略定义域的影响直接应用性质 题型方法 题型一 判断函数的单调性（区间） 题型二 已知函数的单调性求参数 题型三 利用函数的单调性解不等式 题型四 求函数的最值 题型五 比较大小 题型六 判断函数的奇偶性 题型七 函数奇偶性的应用 题型八 函数的周期性与对称性 知识清单 一．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 二．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值 常用结论 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 三．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 四.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 常用结论 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． 五．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． (2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)． 六．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称． 七．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 易错分析 【易错点一】复合函数单调区间判断错误 【例1】（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由且，得，即或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 【举一反三】【变式1】（2020·全国·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据真数大于零，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间. 【详解】由得， 所以函数的定义域为 令，则是单调递减函数 又，在上单调递增，在上单调递减 由复合函数的单调性可得函数的单调递减区间为. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的性质，属于中档题. 【变式2】（2021·内蒙古包头·一模）设函数，则（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】首先确定定义域关于原点对称，又有，可知为偶函数；利用复合函数单调性的判定方法可确定时，单调递减，由对称性可知时，单调递增，由此得到结果. 【详解】由得：，定义域为； 又， 为定义域内的偶函数，可排除BD； 当时，， 在上单调递减，单调递增，在上单调递减，可排除A； 为偶函数且在上单调递减，在上单调递增，C正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题对于函数单调性的判断的关键是能够根据的范围得到的解析式，利用复合函数单调性的判断，即“同增异减”的方法确定函数在区间内的单调性. 【变式3】（2021·上海浦东新·三模）函数的单调递减区间为 . 【答案】(或都对) 【解析】利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案； 【详解】令，则， 在单调递减，在单调递增， 根据复合函数的单调性可得：在单调递减， 故答案为：. 【易错点二】忽略定义域的影响直接应用性质 【例2】（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质得在上单调递减，再根据奇函数性质将化为，结合定义域利用单调性得，解不等式组即可解答. 【详解】因为是奇函数，则可化为． 又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减． 则，解得或， 即实数a的取值范围是． 故选：C 【举一反三】【变式1】（2023·内蒙古·模拟预测）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求不等式化为，可令，根据奇函数定义和单调性性质可确定为奇函数且在上单调递增，由定义域、奇偶性和单调性可构造不等式组求得结果. 【详解】由得：， 令，则； 关于对称，， ，为定义在上的奇函数； 又为上的增函数，为增函数，在上单调递增， 则由得：， ，解得：，即的解集为. 故选：D. 【变式2】（2023·全国·模拟预测）定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，则，由奇偶函数的定义得出在上是奇函数，由得出在上是增函数，再将转化为，由为增函数，定义域为，列出不等式，求解即可． 【详解】设，，则， 因为 所以在上是奇函数， 因为， 所以在上是增函数， 因为， 所以，即， 由在上是增函数得，， 解得， 故选：D． 【变式3】（2023·山东枣庄·模拟预测）已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域，结合函数的单调性求解即可. 【详解】函数是定义在上的减函数，且， ∴，解得． 故答案为： 题型方法 【题型一】判断函数的单调性（区间） 【例1】（2023·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【详解】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B 解题技巧 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法． 【举一反三】【变式1】（2022·江西·二模）已知函数若，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题目条件求出 的值，再根据二次函数的性质求出 的单调递增区间 【详解】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增 故选：D 【变式2】（2023·海南海口·二模）已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】根据偶函数的对称性结合图象平移分析求解. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增， 又因为，则函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度得到， 所以函数的单调增区间是． 故答案为：. 【点睛】本题考查函数的性质，要求学生了解函数图象的平移与单调性和奇偶性的综合关系． 【变式3】（2022·全国·三模）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】利用导数求出的单调区间，从而可求出函数的减区间 【详解】当时，，则其在上递减， 当时，，则， 当时，，所以在上递减， 综上，的单调递减区间为， 故答案为： 【题型二】已知函数的单调性求参数 【例2】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 解题技巧 利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 【举一反三】【变式1】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数和对数函数性质即可得到不等式组，解出即可. 【详解】当时，，其在上单调递增， 若在单调递增，，所以. 故选：D． 【变式2】（2023·山东·模拟预测）若函数的图像经过点，且在上是减函数，则 ． 【答案】 【分析】因函数图像过，且在上是减函数，根据一次函数的性质，，可得. 【详解】因为函数的图像经过点，且在上是减函数， 所以，且， 得或（舍去）． 故答案为：． 【变式3】（2024·湖南邵阳·二模）已知，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，将原不等式分离参数，然后换元，由函数的单调性可得最值，即可得到结果. 【详解】原不等式等价于， 令. 令，且， 则在上单调递减， . 故的范围是. 故答案为： 【题型三】利用函数的单调性解不等式 【例3】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的解析式，结合函数的单调性可得：等价于且，从而可知不等式在,上恒成立，然后根据基本不等式求最值，算出的最小值为，进而可得实数的取值范围． 【详解】对于，函数在上为常数1， 在处连续，且在上为增函数， 因此等价于，对任意恒成立， 由①可知，，结合②可得， 而， 当时，即时，等号成立， 结合，可知在,上为增函数，可得， 所以，即实数的取值范围是． 故选：C． 【点睛】思路点睛：本题是含参数的不等式恒成立问题；解决此类问题的思路是转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min. 解题技巧 求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． 【举一反三】【变式1】（2025·甘肃·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，两种情况，结合函数性质求解即可. 【详解】当时，即有，， 因为，在区间上均为单调递增函数， 所以在区间上也为单调递增函数， 因为时，， 所以的解为， 当时，即有，， 因为，在区间上均为单调递减函数， 所以在区间上也为单调递减函数， 因为时，， 所以的解为， 综上，不等式的解集为. 故选：D 【变式2】（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据得到函数是上的奇函数，继而求出时，的解析式并判断在上的单调性，利用奇函数和单调性结合分段函数可得两个不等式组，求解即得. 【详解】因为对都有，所以是上的奇函数， 又时，，显然在上单调递增， 故函数在上单调递增， 当时，，则，即； 由，可得， 故得， 则有或， 即或，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3】（2023·山东·模拟预测）若函数在上是增函数，且，求的取值范围． 【答案】 【分析】利用函数的单调性，直接列出不等式方程组，然后计算求解. 【详解】函数在上是增函数，且， ，解得或， 的取值范围是． 【题型四】求函数的最值 【例4】（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解. 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 【举一反三】【变式1】（2025·湖南·模拟预测）已知函数，则“，”是“在上的最小值为2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的判断方法，结合函数最小值的概念进行判断. 【详解】先判断充分性：若函数在的最小值为3， 则“，”成立，但“在上的最小值为2”不成立， 所以“，”不是“在上的最小值为2”的充分条件. 再判断必要性：“在上的最小值为2”时，可得“，”成立， 所以“，”是“在上的最小值为2”的必要条件. 综上：“，”是“在上的最小值为2”的必要不充分条件. 故选：B 【变式2】（2025·甘肃·二模）已知实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】# 【分析】考虑每个选项和圆的关系，考虑每个选项的几何意义即可求解 【详解】因为，所以，所以，所以， 因为 ，所以， 当时取等号， 所以，则的最小值为. 故答案为： 【变式3】（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先求出导函数，利用导数的几何意义知即为在处的切线方程的斜率，再利用直线的点斜式即可写出切线方程； （2）求出导函数的零点，得到在区间上的单调性，可知最大值只能是或，利用作差法比较二者的大小即可得出答案. 【详解】（1）由题意可得，所以，又， 由直线的点斜式方程可得在处的切线方程为，即； （2）因为的定义域为， 令，得或， 所以当时，；当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以在区间的最大值为. 【题型五】比较大小 【例5】（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 解题技巧 比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 【举一反三】【变式1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由导数得出单调性即可得出，构造，由导数得出单调性，即可得出． 【详解】构造函数， 当时，，故在上单调递增， 所以， 构造函数， 则， 当在单调递增， 所以，即， 所以. 故选：B． 【变式2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，根据导函数可得为R上的增函数，利用单调性比较大小即可. 【详解】由，得， ，当且仅当，即时等号成立， 而，，即在R上单调递增， ，，即. 故选：A. 【变式3】（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，，则，，的大小关系为 .（均用“>”连接） 【答案】 【分析】根据的奇偶性以及周期性，结合函数的单调性可判断，进而根据单调性进一步判断，，即可求解. 【详解】易知为偶函数，周期为4， 当，，此时在上单调递减，且， 当，，此时在上单调递减，且， ，，，所以； 又，所以， 又，所以，故. 故答案为： 【题型六】判断函数的奇偶性 【例6】（2025·江西·模拟预测）函数是（   ） A．奇函数，且最大值为5 B．奇函数，且最小值为 C．偶函数，且最大值为5 D．偶函数，且最小值为 【答案】C 【分析】根据奇偶性的定义先判断奇偶性，利用二倍角的余弦公式得，利用换元法即可求解. 【详解】因为，所以是偶函数，故AB错误； 又因为， 令（），， 则在上单调递减，， 故选：C. 解题技巧 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 【举一反三】【变式1】（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义，判断各函数的奇偶性，再判断值域即可. 【详解】对于函数，定义域为，而，∴该函数不是奇函数.故A错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是偶函数，不是奇函数.故B错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为，不是.故C错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；并且函数在定义域内是连续的，值域为.故D正确. 故选:D. 【变式2】（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求得定义域，由定义域不关于原点对称，可判断AC；BD定义域关于原点对称，进而令，利用奇函数的定义计算可判断B，令，利用奇函数的定义计算可判断D. 【详解】因为， 对于A，，定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故A错误； 对于B，所以，则， 令，定义域关于原点对称， ，所以B正确； 对于C，，定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故C错误； 对于D，所以，则， 令，定义域关于原点对称， ， 所以不是奇函数，所以D不正确； 故选：B. 【变式3】（多选）（2022·福建宁德·模拟预测）下列既是奇函数，又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数的奇偶性可排除BC，利用观察法分析AD两个函数的单调性可得答案. 【详解】对A：因为，所以函数为奇函数.且当时，单调递增； 根据奇函数的性质，在上也是单调递增，所以在上为增函数，故A正确. 对B：因为函数的定义域为，所以函数非奇非偶，故B错误； 对C：因为，所以函数一定不是奇函数，故C错误； 对D：应为，所以，所以为奇函数， 且随的增大而增大，随的增大而减小， 所以随着的增大，的值在增大，即在上为增函数，故D正确. 故选：AD 【题型七】函数奇偶性的应用 【例7】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 解题技巧 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题． 【举一反三】【变式1】（2025·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解. 【详解】令，则， 因为是定义在上的奇函数， 所以，则. 故选：C. 【变式2】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和讨论，当时，分的取值化简，利用奇偶性画出函数图象，数形结合解不等式可得. 【详解】时，显然符合； 时， 当时，， 当时，， 当时，． 画出其图象，由于函数是定义在上的奇函数，即可画出时的图象，与时的图象关于原点对称． ，由图象可知．解得， 实数的取值范围为． 故答案为：． 【变式3】（2023·陕西咸阳·模拟预测）求下列情况下的值 (1)若函数是偶函数, 求的值． (2)已知 是奇函数, 且当时,,若, 求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据偶函数定义,代入化简即可得的值; (2)根据奇函数定义,先求出的解析式,再将代入,即可得的值. 【详解】（1）因为 , 故 , 因为为偶函数, 故, 所以, 整理得到, 故; （2）因为是奇函数, 且当时, , 因为, , 所以, 化简可得, 解得: . 【题型八】函数的周期性与对称性 【例8】（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 解题技巧 周期性 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． 函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称． 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． 【举一反三】【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）已知是定义在上的函数，则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用函数对称性的定义、奇偶性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若函数的图象关于点成中心对称图形，且函数的定义域为， 则，即， 设，则函数的定义域为， 则，即函数为奇函数， 因此，“的图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的充要条件. 故选：C. 【变式2】（2025·江苏·三模）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ． 【答案】 【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 【变式3】（2025·陕西西安·二模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数． （ⅰ）求的值； （ⅱ）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求出，求导，，分和两种情况讨论函数的单调性，即可求解； （2）（ⅰ）求出，直接计算，即可得结果；（ⅱ）根据的定义域，推断函数的对称轴为，验证即可. 【详解】（1）由题意可知，则的定义域为， ， 当时，在区间上恒成立，则在上单调递增， 当时，令，即，解得， 若，， 若，， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）（i）函数， 则，，故． （ii）函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称， 则关于直线对称，所以， 又 ． 可知曲线关于直线对称 好题必刷 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义及对数运算即可求解． 【详解】函数的定义域为， 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以， 故选：A． 3．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用导数值恒大于或等于0，再利用分离参变量思想即可求解. 【详解】求导得， 要满足函数在区间上单调递增， 则，即， 因为，所以，即， 故选：B. 4．（2025·云南·一模）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相切时，即可根据图象求解. 【详解】当时，对任意的恒成立， 令所以，令，则, 故当时，直线与相切，此时对任意的恒成立， 结合图象以及是偶函数，可知的图象往右平移即可满足对任意的恒成立，所以， 故选：C 5．（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数的图象的对称中心在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，令，可证函数是奇函数，进而可得关于点对称，然后结合二次函数的性质可求的最小值. 【详解】由， 可得，令， 函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数，所以函数图象关于原点对称， 所以关于点对称， 因为的对称中心在直线上，所以， 所以, 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 二、多选题 6．（2025·青海海东·三模）定义在上的函数满足，，则（    ） A． B． C． D．2为的一个周期 【答案】ACD 【分析】根据给定条件求得函数的周期，再逐项分析判断. 【详解】对于D，由，得，则2为的一个周期，D正确； 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确. 故选：ACD 7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数（   ） A．是偶函数 B．最大值为 C．最小值为 D．在有两个零点 【答案】ABC 【分析】利用奇偶性的定义，即可判断A选项；分，，三种情况论可求得函数的值域判断CD，结合前面分类讨论和作出示意图可判断D． 【详解】对于A，，是偶函数，故A正确； 当时，， 因为，所以，所以， 所以， 当时，， 因为，所以，所以， 所以，， 又时，， 因为，所以，所以， 所以， 又时，， 所以当时，是以为周期的周期函数，又是偶函数， 所以函数的值域为，故BC正确； 当时，， 因为，所以，所以， 所以， 当时，， 因为，所以，得， 所以时，， 作出函数在的图象的示意如图所示， 故函数在有没有零点，故D错误. 故选：ABC. 8．（2025·重庆·三模）已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．关于x的不等式的解集是 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，结合，利用赋值法依次求出即可判断；对于B，通过选项A中的函数值的规律即可判断；对于C，运用定义法证明函数在上的单调性，将代入后，运用函数单调性将其化成一元二次不等式求解即得；对于D，令，代入已知式，根据递推性质即可证明结论. 【详解】对于A，在中，， 取，可得，解得， 再取，可得， 再取，可得，故A正确； 对于B，由A项可知，，故B错误； 对于C， 不妨设，则， 设，则，因当时，，则有， 由可得，即函数在上是增函数. 取易得，则， 故等价于，故得，解得或， 故不等式的解集是，故C正确； 对于D，将都取为，则得， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．（2025·江西宜春·一模）已知函数在上的最小值是1，则 . 【答案】/ 【分析】分三类，，，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出最小值. 【详解】若，则，在上单调递增，最小值为，不符合题意； 若，则的定义域为， 且由复合函数的单调性可知在上单调递增， 则最小值为，解得，不符合题意； 若，则的定义域为， 由题意可得，则， 此时由复合函数的单调性可知在上单调递增， 则最小值为，解得，符合题意； 综上， . 故答案为： 10．（2025·江西·二模）已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据解析式判断函数的单调性和奇偶性，再应用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】由，在R上都单调递减，且都是奇函数， 所以是单调递减的奇函数， 故，则，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 11．（2025·湖南·三模）已知函数的定义域为R，且，当时，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据函数性质将问题转换为，代入求值即可. 【详解】因为， 所以， 又，所以． 故答案为：. 四、解答题 12．（2025·辽宁·一模）已知函数，曲线在处的切线斜率为2. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义由可计算，由可计算； （2）利用导数求出的单调性，判断的奇偶性，利用奇偶性、单调性解不等式即可. 【详解】（1）， 所以， 由题意可得，所以， 所以，所以. 所以. （2）由（1）知，所以， 所以在上单调递增， ， 所以为奇函数， ，即， 即， 所以，即， 即，解得， 所以不等式的解集为. 13．（2021·陕西安康·一模）已知函数是定义在上的偶函数，满足． (1)证明：函数是周期函数． (2)当时，．若恰有14个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质及周期性的定义证明即可； （2）画出的图象，则问题转化为函数的图象与函数的图象交点的个数，数形结合即可得解. 【详解】（1）证明：因为是上的偶函数，所以． 因为，所以， 则． 因为，所以， 故函数是周期函数，且周期为4． （2）解：当时，，则， 由（1）知，所以， 即当时，． 因为函数的零点个数就是函数的图象与函数的图象交点的个数， 且函数与函数均为偶函数，所以当时，恰有7个零点， 即当时，函数的图象与函数的图象有7个交点． 结合图象可知， 当时，，解得； 当时，，解得． 综上可知，实数的取值范围是． 14．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由偶函数的性质得方程到恒成立，即可求； （2）根据对称性有在上恒成立，利用导数及分类讨论研究左侧的单调性，判断不等式能否恒成立，即可得范围. 【详解】（1）由题设，则， 所以，即，亦即恒成立， 所以，所以，所以； （2）由题设恒成立，而时恒成立，此时， 由对称性只需在上恒成立， 令且，则， 令，则， 当时，，此时，即在上单调递增， 所以，故在上单调递增，则，满足； 当时，由，则在上恒成立， 即在上单调递增，故在上单调递增， 而，时，，使， 故有，，此时，即在上单调递减，则有， 所以在上单调递减，故存在，不满足； 综上，. 15．（2022·上海松江·二模）对于定义在R上的函数，若存在正数m与集合A，使得对任意的，当，且时，都有，则称函数具有性质． (1)若，判断是否具有性质，并说明理由； (2)若，且具有性质，求m的最大值； (3)若函数的图像是连续曲线，且当集合（a为正常数）时，具有性质，证明：是R上的单调函数． 【答案】(1)具有性质，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）对一切，，且 由于 具有性质. （2）令， 则 ∵具有性质， ∴当时，恒有，即 ，. （3）∵函数具有性质， ∴对任意的区间，当时，都有成立. 下面证明此时，恒有或恒有 若存在，使得①， 不妨设② 当①或②式中有等号成立时，与矛盾 当①②两式中等号均不成立时， 的函数值从连续增大到时，必在存使得，也与矛盾， 同理可证也不可能. ∴对任意的区间，当时， 恒有或恒有， ∵对任意的，总存在，使得：， ∴当时，， 此时在单调递增， 当时， 成立， 此时在上单调递减， 综上可知是上的单调函数. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，关键在于理解所给定义，一般就是需要具体化新定义的内容，研究所给特例问题，一般需要化抽象为具体，具有很强的类比性，对类比推理要求较高. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$