单元检测(四) 因式分解-【名校课堂·名校真题卷】2024-2025学年八年级下册数学单元+期末卷（北师大版 陕西专版）

单元检测（四） 因式分解 (时间：120分钟总分：120分) 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是 A.6a2b=3ab·2ab B.(x+1)(x-1)=x2-1 C.x2-4.x+4=(x-2) ID.x2-x-4=x(x-1)-4 2.下列因式分解正确的是 弥 A.x2-4=(x+4)(x-4) B.x2+2x+1=x(x+2)+1 洲 C.3mx-6my=3m(x-6y) D.ry-y=y(x+y)(x-y) 3.下列各式：①-2-y:②1-6：③a+ab+:④2+2xy+:⑤r2-x+}可以用公式法分 解因式的有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.已知2x2一3x一m分解因式的结果为(2x十1)(x十n),则m十n= 0 A.-4 B.4 C.1 D.0 5.已知a-b=5,a-c=一1，则代数式a2一ac一b(a一c)的值为 A.-30 B.30 C.-5 D.-6 封 6.在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆.如：将x2一9因 式分解的结果为(x一3)(x+3),取个人年龄作为x的值，当x=13时，x一3=10，x十3=16，由此可 以得到数字密码1016.小旭按这种方式将x3一x因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码， 他设置的密码可能是 ( 条 A.151416 B.151515 C.141514 D.131415 7.如果一个数a=(2n十1)2一(2n一1)，那么我们称这个数a为“奇差数”.下列数中为“奇差数”的是 A.56 B.82 C.94 D.126 8.若a,b,c是三角形的三边长，则代数式a2一2ac+c2-b2的值 线 A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.以上三种情况均有可能 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 剂 9.因式分解：9x-3xy 10.多项式“3n一5n”十▲”分解因式的结果为n(3m2一5m一2)，则原多项式中“▲”处所缺的项为 11.计算：842-28×84+14 单元+期末卷·数学陕西1s八下照31 12.如图，长方形的长、宽分别为a,b,且a比b大3，面积为7，则ab一ab的值为 13.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m,n的平方差，且m一n=4,那么称这个正整数为“师 一优数”.例如，5一1=4,24=52一12,24就是一个“师一优数”.若将“师一优数”从小到大排列，则 第251个“师一优数”是 三、解答题（共8小题，计81分，解答应写出过程） 14.(8分)分解因式： (1)x2y-9y (2)(a+1)(a-1)-(a十1)2. 15.(8分)先分解因式，再求值：2x(a-2)一y(2-a),其中a=2,x=1.5,y=-2. 单元+期末卷·数学陕西1s八下照32 16.(10分)如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形，若a=3.6,b= 0.8,求剩余部分的面积. 17.(10分)仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x一4x十m有一个因式是(x十3)，求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为(x十n),得 x2一4.x+m=(x十3)(x十n), 则x2一4x+m=x2+(n+3)x+31. /m+3=-4. =-7, 解得 m=3n, m=-21. .另一个因式为(x一7)，m的值为一21. 仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2十3x一k有一个因式是(2x一5)，求另一个因式以及k的值. 单元+期末卷·数学陕西1s八下照33 18.(10分)阅读下列解题过程： 已知a,b,c为△ABC的三边，且满足a”c2一bc2=a一b,试判斯△ABC的形状 解：a2c2-bc2=a-b,① ∴.c2(a2-b2)=(a2-b)(a2+b).② ∴.c2=a2+b.③ .△ABC为直角三角形. (1)上述解题过程，从第 步开始出现错误：（填序号） (2)写出正确的解题过程. 19.(10分)【发现】一个两位数的十位上的数字为a,个位上的数字为b,a>b且a十b=10,若将其十位 上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是20的倍数 【解决问题】 (1)用含a的代数式表示：原来的两位数为 ,新的两位数为 (2)使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确. 单元+期末卷·数学陕西s八下高根34 20.(12分)阅读材料： 教科书中提到a”十2ab+b2和a”一2ab十b2这样的式子叫做“完全平方式”.有些多项式不是完全 平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也 可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题 例如：(1)分解因式：x2-2x一3. x”-2x-3 =x2-2x+1-1-3 =(x-1)2-4 =(x-1)2-2 =(x-1+2)(x-1-2) =(x十1)(x-3). (2)求代数式x2一2x一3的最小值. x22.x-3=x2-2x+1-4=(x-1)2-4. (x-1)2≥0， .当x=1时，代数式2一2x一3有最小值一4. 结合以上材料解决下面的问题： (1)若二次三项式x2一kx+9恰好是完全平方式，则k的值是 (2)分解因式：x2一8x+15: (3)当x为何值时，x2一8.x十15有最小值？最小值是多少？ 单元+期末卷·数学陕西s八下城35 21.(13分)数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的 思想.我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法. 弥 B b/b M D/o/7s 3 G 图 图2 图3 图4 封 (1)探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可 得一个多项式的因式分解： (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索： 弥 在大正方体一角截去一个棱长为b(b<)的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为 线 再将图3中的几何体分割成三个长方体①②③，如图4所示，则根据图中的数 据，长方体①的体积为ab(a一b).类似地，表示出长方体②的体积为 ,长方体③的 体积为 当用两种不同的方法表示图3中几何体的体积时，就可以得到的恒等式 (将一个多项式因式分解)为 内 (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a一b=6,ab=2,求a3一b2的值. 封 请 勿 线 答 题 单元+期末卷·数学陕西s八下高根36AB-CA. 10.-2m 【答案详解】'm(3m-5n-2)-3n-5-2m,而 和△CAP中. ABQ-CAP...△ABQ△CAP(SAS). 3n-5m+△=m(3n-5m-2),'△=-2m.故答案为: BQ-AP. -2n. (2)QMC的度数不发生变化..△ABQ△CAP...BAC 11.4900 【答案详解】原式=84 -2X14×84+14=(84-14) -乙ACP..乙QMC-QAC十ACP-QAC+BAQ- -70-4900.故答案为:4900. 60”. 12.21【答案详解】由题意可知,a-b-3,b-7,..a-ar- (3)设点P.Q运动xs时,△PBQ是直角三角形,则AP一BQ ab(a-b)-7×3-21.故答案为:21. =r cm,PB-(4-c)cm.当 PQB=90*时,:B-60 . 13.2024【答案详解】设满足“师一优数”的两个正整数分别为 $ $=2BQ,即4-r=2x,解得 -:当乙BPQ=90”时, 和a一4,则“师一优数”可表示为a一(a-4)-(a十a-4)(a 一+4)-8(a-2).又'a-40..,a4,且a为正整数, B=60 .BQ=2BP,即2(4-)--,解得 -.综上所 当a一5时,第1个“师一优数”为24;当a一6时,第2个“师一 述,当点P.Q运动s或号s时,△PBQ是直角三角形. 优数”为32;当a-7时,第3个“师一优数”为40.....由此可 得,第n个“师一优数”可表示为8n十16.当n-251时,8n+16 单元检测(四)因式分解 一8×251+16-2024..,第251个“师一优数”为2024.故答 ...选填题快速对答案。 案为:2024. 14.解:(1)原式-(-9)-y(r+3)(x-3). 1-4 CDBD 5-8 CAAA (2)原式-(a+1)[(a-1)-(a+1)]-(a+1)x(-2)- 9.3r(3-y) 10.-2m 11.4900 12.21 13.2024 -2(计1). ...........答案详解..........。 15.解;原式-(a-2)(2x+y).当x=1.5.y=-2.a-2时,原式 1.C 【答案详解】A.6a-3ab·2ab,等式的左边不是一个多项 -(2-2)×(2X1.5-2)-0. 式,不属于因式分解,故本选项不符合题意;B.(r十1)(x一1)一 16.解:剩余部分的面积是a-4话,当a-3.6,b-0.8时,剩余部 一1,从左边到右边的变形属于整式的乘法,不属干因式分 分的面积是a-4-(a+2b)(a-26)-(3.6+2x0.8)x 解,故本选项不符合题意;C.一4r+4一(.一2),从左边到右 (3.6-2×0.8)-10.4.答:剩余部分的面积为10.4 边的变形属于因式分解,故本选项符合题意;D.一1-4= 17.解:设另一个因式为(x+a),得2+3x-k-(2x-5)(x十 r(r-1)-4.不是把一个多项式化成几个整式的积的形式,不 a.则2r+3r-h-2+(2a-5)r-5.. 1-5--” 属于因式分解,故本选项不符合题意,故选:C 2.D【答案详解】A.r-4-(x十2)(x-2),因此选项A不符合 f-4: 得 1-20. 故另一个因式为(1+4),的值为20. 题意;B.+2r+1-(r+1),因此选项B不符合题意;C.3nr -6my-3n(x-2y),因此选项C不符合题意;D.ry-y= 18.解:(1)③【答案详解】上述解题过程,从第③步开始出现错 y( 一y)=y(r+y)(r一y).因此选项D符合题意,故选:D 误,故答案为:③. 3.B【答案详解】①不可以因式分解;②可以用平方差公式进行 ():--a-b.(-)-(a-)(+). 因式分解;③不可以因式分解;④可以用完全平方公式进行因 ,(-b)-(a-)(a+)-0.(-a-)(a 式分解;可以用完全平方公式进行因式分解,故选:B )-0..-a+或a-b..△ABC为直角三角形或等腰 4.D【答案详解】.多项式2一3x-n分解因式的结果为 三角形. (2+1D(+n).2 -3x-m=(2x+1D(r+n)-2+(2n 19.解:(1)9十10100一9【答案详解】一个两位数的十位 + r+n.2n+1-3.n-n-2.n=2..n+n? 上的数字为a,个位上的数字为b,ab且a十b-10,.,6-10 -2-0.故选:D. 一..原来的两位数为10a+10一a-9a十10.将其十位上的 5.C 【答案详解】.a-b-5,a-c=-1..-ac-b(a-c)= 数字与个位上的数字调换位置,得到一个新的两位数,..新的 aa-c)-b(a-c)-(a-c)(a-b-(-1)x5--5.故选:C 两位数为10(10-g)+a=100-9,故答案为:9+10:100 6.A【答案详解】-x=x(-1)=x(r-1)(x+1),当x-15 . 时,-1-14.-+1-16,故密码可能为151416.故选:A. (2)根据题意,得(9a+10)-(100-9a)-(9+10+100 7.A【答案详解】:a-(2n+1)-(2n-1)-(2n+1+2n 9a)(9a+10-100+9)-110(18-90)-1980(a-5)-99$ 1)(2n十1-2n+1)-8n..,“奇差数”是8的倍数,A.56-8-7, 20(a-5).>a是整数..(9a+10)-(100-9a)能被20整 56能够被8整除,因此56是“奇差数”;B.82-8-10....-2.82 除,即【发现】中的结论正确. 不能够被8整除,因此82不是“奇差数”;C.94一8-11.....-6. 20.解:(1)6或-6【答案详解】·a+2ab十和。-2ab+ 94不能够被8整除,因此94不是“奇差数”;D.126一8-15...16. 这样的式子叫做完全平方式,而了一&十9恰好是完全平方 126不能够被8整除,因此126不是“奇差数”,故选:A. 式,同时一十9可以整理为一x+3,.,^一6或-6 8.A 【答案详解】原式-(a-2ac+)-r-(a-c)--(a 故答案为:6或一6. 一c十b)(一-b).a,bc是三角形的三边长..a一c十6>0 (2)-8r+15-r-8r+4-1-(r-4)-1-(r-4)- a--b0..(a-c+b)(a-c-b)0.故选:A. 1r-(r-4+1(r-4-1)-(r-3)(r-5). 9.3r(3- 【答案详解】9x一3xy-3x(3-y).故答案为:3.c(3 (3-8x+15-(r-4-1.(r-4)0.当r-4时. 一. 代数式-8r+15有最小值-1. 单元十期末卷·数学映西B5八下·答案全解全析 32 21.解:(1)--(a+b)(a-b) 【答案详解】图1中阴影部分 1.故答案为: 的面积为a”一,图2中阴影部分的面积为(a十b)(a一b).。 【答案详解】原式-a(a-) 拼图前后图形的面积不变,'一一(a十)(a一b)&可得 afa-+) -一 一高+ = 一个多项式的分解因式为a一一(a十b)(a一b).故答案为; --(a+b)(a-b). ()-(a-b(a-b)a--(a-b)(a +ab+ )【答案详解】由题意,得到的儿何体的体积为a一。 ·EN-b,DE-b.DM-a-b..长方体②的体积为r(a-b). .GH-a,FG=a-b,HR-a..,长方体③的体积为a(a- b).'a--ab(a-b)+(a-b)+a(a-b),则可以得到的 【答案详解】设开通后火车的平 桓等式(将一个多项式因式分解)为a一一(a一b)(a+ab+ 均车速为xkm/h,则开通前火车的平均车速为-+150%kmh. ).故答案为;a-;h(a-b);a(a-b);a--(a-b)(a 士a十). 根据西安到延安的时间会缩短1.5h,可列方程为 300X(1+150%)-1.5-300故答案为。300×(1+150%) (3)a-b-6,ab-2(a-b)--2ab+,即36-a+ ) 1 1r -4a+-40.a--(a-b)(++ab)-6x (40+2)-252. 1.5200 - 单元检测(五) 分式与分式方程 13.3【答案详解】 1- ..选填题快速对答案。。。 (1)1)(4A /A十B=1. (r十1)(r-1) 1B-A--3. 解 1-4 CCDA 5-8 DDBA .300X(1+150%)-1.5-300 9.-110.11 [A-2. 得 12. 1B--1. .A-B-2-(-1)-3.故答案为:3. 13.3 ...........答案详 解..........。 (2)原式-(a-1)_(a-2)-a-1-a+2-1. -1 15.解:(1)方程两边都乘2(-十3),得4x+2(-十3)-7,解得 2.C 【答案详解】由题意,得一9-0且1-30,解得x--3. --.检验;当x-时,2(x十3)≠0.2.原分式方程的解为 故选:C. “n (2)方程两边都乘x-2.得1-x--1-2(x一2),解得x-2 一口 检验:当x2时,r-2=0..r三2是原分式方程的增根. D符合题意.故选:D. 原分式方程无解. 4.A【答案详解】由题意可知3x3x-2×3y9x-6y 2X 6r。 3X2r △-})-)()---(a) 7 5.D【答案详解】方程两边同时乘(x一7),得-1一8十1一8( 7).去括号,得x一8士1-8x一56.移项,合并回类项,得-7r 2(3-2)+42v③ 一49.系数化为1,得x=7.检验;当x-7时,r-7=0...x-7 是原方程的增根,.,原分式方程无解,故选:D. 17.解:(1)①A 分式的基本性质 ②等式的基本性质 (2)小荫的解题步骤不完整,补充缺少的步骤如下. 选;D. 检验:当r=-6时,r(x-3)0..1=-6是原分式方程的解 7.B 【答案详解】去分母,得x-2-一n,解得x-2-n.·分式 18.解:设小红每消耗1千卡能量需要行走r步,则小明每清耗1 方程有增根...x-4-0..x-4.把x-4代入x-2-n,得4 千卡能量需要行走(r+10)步,根据题意,得12009000. -2-m.解得m--2.故选:B. 1十10 8.A【答案详解】.每行驶1千米,纯燃油的费用比纯用电的费 解得x一30.经检验,r一30是原方程的解,且符合题意,答:小 用多0.6元,.r表示每行驶1千米纯用电的费用,1+0.6表 红每消耗1千卡能量需要行走30步. 示每行驶1千来纯燃油的费用,故选:A 19.解:(1)设甲公司单独完成此项工程需;天,则乙公司单独完 7 -1.故答案为:-1. -20.经检验,1-20是分式方程的解,且符合题意,则1.5x- 10._ 【答案详解】-1-1-1. 30.答:甲公司单独完成此项工程需20天,乙公司单独完成此 Gr-1)(r+1” 7r 项工程需30天. 单元十期末卷·数学陕西B5八下·答案全解全析 33