1.1.1空间向量及其线性运算（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.1.1空间向量及其线性运算 题型一：空间向量相关概念辨析 1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）零向量没有方向( ) （2）两个有公共终点的向量，一定是共线向量( ) （3）空间向量的数乘运算中，只决定向量的大小， 不决定向量的方向( ) （4）若， 则( ) （5）若两个向量的起点重合， 则这两个向量的方向相同( ) 2．下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 3．给出下列命题： ①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量，满足，则；③若空间向量，，满足，，则；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向. 其中假命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 4．下面关于空间向量的说法正确的是（    ） A．若向量平行，则所在直线平行 B．若向量所在直线是异面直线，则不共面 C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面 D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面 题型二：空间向量的线性运算 1．（多选）已知正方体，则下列各式运算结果是的为（    ） A． B． C． D． 2．已知、、、为空间中任意四点，化简 . 3．化简 . 4．如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 6．已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 题型三：空间向量共线求参 1．若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 2．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知是空间的一个基底，若，，若，则（    ） A． B． C．3 D． 题型四：空间向量共面定理及推论求参 1．已知点在平面内，并且对空间任一点，，则 ． 2．若空间四点､､､共面且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知三点不共线，为平面外一点，若由确定的点与共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 题型一：线性运算的线性表示 1．如图，在平行六面体中，M为与的交点．记，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知空间四边形，M，N分别是边OA，BC的中点，点满足，设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．在平行六面体中，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图所示,在平行六面体中,,,,是的中点,点是上的点,且,用表示向量的结果是(    ) A． B． C． D． 题型二：判断空间向量共面 1．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型三：共面定理证明四点共面 1．对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 2．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 3．图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 1．如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）给出下列命题，其中正确的命题为（　　） A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若，则可知 C．若Q为的重心，则 D．非零向量，，满足与，与，与都是共面向量，则，，必共面 3．已知空间5个点A，B，C，D，P，且A，B，C，D共面，若且，，则的最小值为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1空间向量及其线性运算 题型一：空间向量相关概念辨析 1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）零向量没有方向( ) （2）两个有公共终点的向量，一定是共线向量( ) （3）空间向量的数乘运算中，只决定向量的大小， 不决定向量的方向( ) （4）若， 则( ) （5）若两个向量的起点重合， 则这两个向量的方向相同( ) 【答案】 错误 错误 错误 正确 错误 【分析】依据空间向量的有关概念辨析即可. 【详解】（1）错误.零向量与任意向量平行，方向是任意的. （2）错误.方向相同或相反的向量称为共线向量，只终点，不能确定向量的方向. （3）错误.当时，与向量的方向相同；当时，与向量的方向相反. （4）正确.由相反向量的概念可知正确. （5）错误.若两个向量的起点重合，终点不确定，则其方向的关系不能确定. 故答案为：（1）错误；（2）错误；（3）错误；（4）正确；（5）错误. 2．下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C. 【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 3．给出下列命题： ①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量，满足，则；③若空间向量，，满足，，则；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向. 其中假命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据单位向量的模长为可判断①的真假；根据空间向量的相等的定义，可判断②③；由单位向量的定义可判断④的真假；根据零向量的规定可判断⑤的真假，即可得出结论. 【详解】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点， 则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆. ②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等， 而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同. ③真命题.向量的相等具有传递性. ④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1， 但方向不一定相同，以不一定相等. ⑤假命题.零向量的方向是任意的. 故选：D. 4．下面关于空间向量的说法正确的是（    ） A．若向量平行，则所在直线平行 B．若向量所在直线是异面直线，则不共面 C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面 D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面 【答案】D 【分析】利用平行向量的意义判断A；利用空间共面向量的意义判断BCD作答. 【详解】向量平行，所在直线可以重合，也可以平行，A错误； 可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，BC错误； 显然AB，AC，AD是空间中有公共端点A，但不共面的三条线段，所以向量，，不共面，D正确. 故选：D 题型二：空间向量的线性运算 1．（多选）已知正方体，则下列各式运算结果是的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用向量加法的线性运算对四个选项逐一验证即可. 【详解】 选项A中，； 选项B中， ； 选项C中，； 选项D中，. 故选：ABC. 2．已知、、、为空间中任意四点，化简 . 【答案】 【分析】利用空间向量的加法法则可求得结果. 【详解】 故答案为：. 【点睛】本题考查利用空间向量的加法法则化简计算，属于基础题. 3．化简 . 【答案】 【分析】利用空间向量的数乘运算法则即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 4．如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性运算求得正确结论. 【详解】因为，， 所以． 故选：C 5．在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案. 【详解】延长交边于点，则， 则有，， 故．    故答案为：. 6．已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减运算法则和相反向量的概念判断即可 【详解】 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 题型三：空间向量共线求参 1．若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【答案】－ 【分析】根据空间共线向量可得，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，存在实数λ使得， 即，解得. 故答案为： 2．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 3．已知是空间的一个基底，若，，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由，得到关于x，y的方程，即可求得结果 【详解】，， 因为，所以，解得， 所以. 故选：C 题型四：空间向量共面定理及推论求参 1．已知点在平面内，并且对空间任一点，，则 ． 【答案】 【分析】根据四点共面的知识列方程，由此求得. 【详解】由于平面， 所以，解得. 故答案为： 2．若空间四点､､､共面且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】化简可得，由四点共面可知系数和，计算即可得解. 【详解】依题意， 由四点共面,则系数和，则. 故选：D 3．已知三点不共线，为平面外一点，若由确定的点与共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量共面定理可知，进而可得解. 【详解】由点与共面，且， 可得，解得：， 故选：B. 4．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决. 【详解】，即 整理得 由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得 ，解之得 故选：B 题型一：线性运算的线性表示 1．如图，在平行六面体中，M为与的交点．记，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行六面体的性质以及空间向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意可知：在平行六面体中，M为与的交点， 所以为的中点，则， 所以 ， 故选：. 2．如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，根据题意，将利用线性运算表示成的关系，然后利用待定系数法即可求解出. 【详解】由已知，在平行六面体中，与的交点为， 所以 所以. 故选：C. 3．如图，已知空间四边形，M，N分别是边OA，BC的中点，点满足，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算一步步将向量化为关于，，，即可整理得出答案. 【详解】， ， ， ， . 故选：B. 4．在平行六面体中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据空间向量的线性运算，得出，结合题意，即可求出，从而得出的值. 【详解】解：由空间向量的线性运算，得， 由题可知，， 则，所以， . 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量的基本定理的应用，以及空间向量的线性运算，属于基础题. 5．如图所示,在平行六面体中,,,,是的中点,点是上的点,且,用表示向量的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平行六面体中根据空间向量的加法合成法则,对向量进行线性表示,即可求得答案. 【详解】连接 可得: 又 故选: D. 题型二：判断空间向量共面 1．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用向量共面的判定方法可得答案. 【详解】因为构成空间的一组基底，所以不共面； 由于，所以，，共面，A不正确； 由于，所以，，共面，B不正确； 由于，所以，，共面，D不正确； 对于C，不存在实数，使得成立，所以，，不共面. 故选：C 2．若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据共面向量定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，，三个向量共面，所以A错误， 对于B，因为，所以，，三个向量共面，所以B错误， 对于C，假设，，三个向量共面，则存在实数，使， 所以三个向量共面， 因为是空间的一个基底，所以三个向量不共面， 所以假设错误，所以，，三个向量不共面，所以C正确， 对于D，因为，所以，，三个向量共面，所以D错误， 故选：C 3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据共面向量定理，逐项考查每个选项中三个向量是否共面即可. 【详解】对于因为，故三个向量共面； 对于    假设，，共面， 则，使得， 故有，方程组无解，故假设不成立， 即，，不共面； 对于,，故三个向量共面； 对于 ，故三个向量共面， 故选： 4．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】若向量共面，利用空间向量基本定理建立方程组，方程组有解.若无解则不共面. 【详解】已知构成空间的一个基底，不共面，则，不共线. 选项A，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对， 使， 则 ， 则由空间向量基本定理得， ，方程组无解. 所以不共面． 选项B，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对， 使， 则 ， 则由空间向量基本定理得， ，方程组无解. 所以不共面． 选项C，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对， 使， 则 ， 则由空间向量基本定理得， 解得，， 即：， 所以共面． 选项D，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对， 使 ， 则 ， 则由空间向量基本定理得， ，方程组无解. 所以不共面． 故选：C. 题型三：共面定理证明四点共面 1．对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【详解】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 2．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】取，，，由向量的线性运算得与、共面可得答案. 【详解】取，，， 则 所以与共面，又，， 所以与、共面， 所以四点共面． 3．图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可； （2）根据空间向量的基本运算，证明即可. 【详解】（1）因为分别为的中点， 所以，． （2）因为， ， 所以，故四点共面． 1．如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果. 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 2．（多选）给出下列命题，其中正确的命题为（　　） A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若，则可知 C．若Q为的重心，则 D．非零向量，，满足与，与，与都是共面向量，则，，必共面 【答案】BC 【分析】根据向量相等不能得出线段相等判断A选项，根据向量减法得出判断B选项，根据重心性质得出向量关系判断C选项，应用特殊向量判断共面判断D选项. 【详解】在平行四边形ABDC中，满足，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD不为同一线段，A不正确. 因为，所以，所以，所以，所以，即，B正确. 若Q为的重心，则，所以，所以，即，C正确. 在三棱柱中，令，，，满足与，与，与都是共面向量，但，，不共面，D不正确. 故选：BC. 3．已知空间5个点A，B，C，D，P，且A，B，C，D共面，若且，，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】首先根据空间共面向量定理的推论得到与的关系式，然后根据均值不等式“1”的代换求解的最小值即可. 【详解】已知，，，四点共面， 若满足，且，， 则根据空间共面向量定理推论可知：，即：. 由于，，则， 当且仅当，即，时等号成立. 因此的最小值为. 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$