第07讲 中位线 位似图形 图形与坐标-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第07讲 中位线 位似图形 图形与坐标思维导图 知识点1 中位线 一、三角形的中位线定义 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 二、三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。这个定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系，可以用来证明两直线平行；二是数量关系，可以用来证明线段的倍分关系。 三、三角形的中位线的应用 1.利用中位线的位置关系，可以证明相关线段平行。 2.利用中位线的数量关系，可以证明相关线段之间的倍分关系。 3.中位线具有平移角、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线。 四、三角形中位线与中线的区别 三角形的中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连结两边中点的线段。 五、三角形的重心 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。重心与一边中点的连线的长是对应中线长的三分之一。经过三角形顶点和重心的直线必然平分这个顶点的对边。 知识点2 位似图形 一、位似图形的概念 如果两个相似图形的对应顶点的连线相交于一点，那么这样的相似叫做位似，这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。 二、位似图形的性质 1.位似图形一定相似，位似比等于相似比。 2.位似图形对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 3.位似图形对应线段平行或者在一条直线上，对应角相等，对应边的比相等。 三、位似图形的画法 画位似图形的一般步骤： 1.确定位似中心。 2.分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点。 3.根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点。 4.顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形。 四、位似与相似的联系和区别 1.联系：位似图形是特殊的相似图形，位似图形一定相似。 2.区别：相似图形不一定是位似图形，只有当相似图形的对应点连线交于同一点（该点是位似中心）时，才是位似图形。 知识点3 图形与坐标 一、用坐标确定位置 1.平面直角坐标系：选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系。根据具体问题确定单位长度，在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和对应地点的名称。建立平面直角坐标系的方法不是唯一的，应本着方便、简单、美观的原则。 2.方位角及距离表示法：确定平面内一个点的位置，可以选择一个参照点，然后用方位角和距离来表示点的位置。这种表示物体位置的方法称为方位角距离定位法。用方位角和距离表示平面内点的位置时，必须有两个数据，缺一不可，即该点相对于参照点的方位角，以及该点与参照点之间的实际距离。 二、图形的变换与坐标 1.平移变换与坐标变化：在同一平面直角坐标系中，图形的平移一般都沿着x轴方向或y轴方向进行。平移前后图形对应顶点的坐标的变化规律为：若沿x轴向右（或向左）平移，则对应顶点的纵坐标不变，而横坐标平移几个单位就增加（或减少）几个单位；若沿y轴向上（或向下）平移，则对应顶点的横坐标不变，而纵坐标平移几个单位就增加（或减少）几个单位。 2.轴对称变换与坐标变化：在同一平面直角坐标系中，图形一般以x轴或y轴为对称轴进行轴对称变换。变换前后图形对应顶点的坐标的变化规律为：关于x轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。 教材习题01 已知：如图，D、E、F分别是各边的中点，相交于点O．求证：与互相平分． 教材习题02 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连接． 分别是边、的中点， ， ， ， ． 性质应用： 如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； 教材习题03 如图，在平面直角坐标系中，已知的为格点三角形，即三角形三个顶点都在小方格格点上． (1)以为位似中心，将在第二象限内放大2倍得到； (2)将绕点顺时针旋转得到，请画出； (3)用无刻度的直尺作出的高（保留作图痕迹）． 教材习题04 戏曲小组成员利用周末时间去剧团进行实践学习活动，出发前欣欣将各个剧团的位置标注在如图所示的平面直角坐标系中，其中点表示“对子戏剧团”的位置，坐标为，点表示“咳咳腔剧团”的位置，坐标为． (1)根据以上信息，请在示意图中画出欣欣建立的平面直角坐标系． (2)若“弦子腔剧团”的坐标为，请在平面直角坐标系中标出“弦子腔剧团”的位置，并标注点． (3)若欣欣在标点（图中已标注）“壶关秧歌剧团”的位置时，横、纵坐标看反了，则正确的点应在第______象限． 教材习题05 在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将沿轴正方向平移个单位，再沿轴正方向平移个单位得到，画出，并写出点、、坐标； (2)将关于原点对称得到，请画出． 教材习题06 如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，然后再把绕原点O逆时针旋转得到．画出，画出，并直接写出点的坐标； 考点一、位似图形 1．方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 考点二、位似中心 1．如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 3．如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心，（保留作图痕迹） (2)若，位似比是，求的长． 考点三、用坐标确定位置 1．如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为，则学校的位置坐标为（    ） A． B． C． D． 2．下图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为，北海北站的坐标为，则东四站的坐标为 ． 　 3．如图1是路桥区地图的一部分，其示意图如图2，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，已知黄石公园的坐标为． (1)分别写出路桥区政府，街心公园的坐标； (2)连接，平移线段，使点和点重合，在图2中画出平移后的线段，并写出点的坐标． 考点四、三角形中位线求解 1．如图，在中，，分别为，上的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别为，的中点，连接，，，则菱形的面积为 ． 3．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 考点五、画位似图形 1．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)以为位似中心，在第四象限内将放大2倍得到； (3)在轴上选一点，使，并写出点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点都在网格线的格点上，点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在O点同侧将放大为原来的2倍，得到，画出；（点A的对应点为D，点B的对应点为E） (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________； (3)请仅用无刻度的直尺，在线段上找一点． 3．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)先将向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到，画出； (2)若内有一点，经过（1）的平移后的对应点记为，则点的坐标为______； (3)以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使与的相似比为． 考点六、三角形中位线的证明 1．在数学实践课中，老师给每位同学发了一张直角三角形纸板，如图1中，其中，要求同学用剪刀剪一次，把它剪拼成一个矩形． 小明的剪法是：找到边，的中点D，E，连结DE，沿剪一刀，再把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．请利用所学的数学知识，完成下列问题： (1)老师说小明的剪拼是正确的，请你证明老师的说法； (2)把图2的三角形剪两刀，剪拼成一个矩形，并在答题纸相应位置画出剪拼示意图． 2．【知识回顾】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 如图① ，在中，点，分别是边，的中点．则，． 【问题解决】(1)如图② ，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形为平行四边形． (2)连接，，加上条件 后能使得四边形为矩形．请从① ；② ；③ 这三个条件中选择一个进行填空(写序号)． 3．在中，，在直线上有一点D，连接，绕点D逆时针转动得到，连接，其中 (1)如图1，与交于点Q，平分，若，求的度数（用的代数式表示）； (2)如图2，点G为中点，点F为中点，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点F为中点，，当最小时，在直线上有一点M，沿翻折至，当面积最大时，请直接写出的值． 知识导图记忆 1．如图，以点O为位似中心的与的周长比为，则的值是（  ） A． B． C． D． 2．如图，两地相距60km，用方向和距离描述处相对于处的位置，正确的是（   ） A．南偏东，60km B．南偏东，60km C．北偏西，60km D．北偏东，60km 3．如图，为的中位线，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．如图，已知与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，平分交于点，点在边上，且，连接，点为的中点，连接，则的长为（    ） A．1.5 B．2.5 C．3 D．4 6．如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为．则四边形的周长为 ． 7．《哪吒之魔童闹海》作为“唯一非好莱坞制作电影”荣膺（）全球动画电影票房榜冠军，“魔童”哪吒正以惊艳之姿进入全球视野．如图是“魔童”哪吒的概念手稿图，将其放在适当的平面直角坐标系中．若概念手稿图中点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 8．如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，那么它们的对应中线之比为 ． 9．如图，为测量假山两端A，B之间的距离，小明在地面上取一点C（C均可直接到达点A，B），D，E分别是和的中点，测得米，则假山两端A，B之间的距离为 米． 10．如图，在矩形中，对角线交于点O，，，连接交于M，交于N，，则线段的长为 ． 11．如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 12．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均为格点（网格线的交点）． (1)以O为旋转中心，将顺时针旋转90°得到，画出； (2)以O为位似中心，在的另一侧画出的位似（即和位于点O不同侧），且与的位似比为1∶2． 13．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)以O为位似中心，在轴右侧作，使与位似，且与的相似比为，点A、B、C的对应点分别为、、； (2)在（1）的条件下，分别写出点、、的坐标． 14．如图1，在中，，，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现：当时，_______；当时，_______； (2)拓展探究：试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决：当旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段的长． 15．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，且实数、满足． (1)求、两点的坐标； (2)如图1，已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒．是否存在这样的，使得的面积等于面积的2倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且轴平分，点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 中位线 位似图形 图形与坐标思维导图 知识点1 中位线 一、三角形的中位线定义 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 二、三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。这个定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系，可以用来证明两直线平行；二是数量关系，可以用来证明线段的倍分关系。 三、三角形的中位线的应用 1.利用中位线的位置关系，可以证明相关线段平行。 2.利用中位线的数量关系，可以证明相关线段之间的倍分关系。 3.中位线具有平移角、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线。 四、三角形中位线与中线的区别 三角形的中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连结两边中点的线段。 五、三角形的重心 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。重心与一边中点的连线的长是对应中线长的三分之一。经过三角形顶点和重心的直线必然平分这个顶点的对边。 知识点2 位似图形 一、位似图形的概念 如果两个相似图形的对应顶点的连线相交于一点，那么这样的相似叫做位似，这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。 二、位似图形的性质 1.位似图形一定相似，位似比等于相似比。 2.位似图形对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 3.位似图形对应线段平行或者在一条直线上，对应角相等，对应边的比相等。 三、位似图形的画法 画位似图形的一般步骤： 1.确定位似中心。 2.分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点。 3.根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点。 4.顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形。 四、位似与相似的联系和区别 1.联系：位似图形是特殊的相似图形，位似图形一定相似。 2.区别：相似图形不一定是位似图形，只有当相似图形的对应点连线交于同一点（该点是位似中心）时，才是位似图形。 知识点3 图形与坐标 一、用坐标确定位置 1.平面直角坐标系：选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系。根据具体问题确定单位长度，在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和对应地点的名称。建立平面直角坐标系的方法不是唯一的，应本着方便、简单、美观的原则。 2.方位角及距离表示法：确定平面内一个点的位置，可以选择一个参照点，然后用方位角和距离来表示点的位置。这种表示物体位置的方法称为方位角距离定位法。用方位角和距离表示平面内点的位置时，必须有两个数据，缺一不可，即该点相对于参照点的方位角，以及该点与参照点之间的实际距离。 二、图形的变换与坐标 1.平移变换与坐标变化：在同一平面直角坐标系中，图形的平移一般都沿着x轴方向或y轴方向进行。平移前后图形对应顶点的坐标的变化规律为：若沿x轴向右（或向左）平移，则对应顶点的纵坐标不变，而横坐标平移几个单位就增加（或减少）几个单位；若沿y轴向上（或向下）平移，则对应顶点的横坐标不变，而纵坐标平移几个单位就增加（或减少）几个单位。 2.轴对称变换与坐标变化：在同一平面直角坐标系中，图形一般以x轴或y轴为对称轴进行轴对称变换。变换前后图形对应顶点的坐标的变化规律为：关于x轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。 教材习题01 已知：如图，D、E、F分别是各边的中点，相交于点O．求证：与互相平分． 证明：如图，连接， ∵D、E、F分别是各边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 教材习题02 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连接． 分别是边、的中点， ， ， ， ． 性质应用： 如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； 解：在中，点G是的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 教材习题03 如图，在平面直角坐标系中，已知的为格点三角形，即三角形三个顶点都在小方格格点上． (1)以为位似中心，将在第二象限内放大2倍得到； (2)将绕点顺时针旋转得到，请画出； (3)用无刻度的直尺作出的高（保留作图痕迹）． （1）解：如图，即为所求 （2）解：如图，即为所求 （3）解：如图，即为所求， 教材习题04 戏曲小组成员利用周末时间去剧团进行实践学习活动，出发前欣欣将各个剧团的位置标注在如图所示的平面直角坐标系中，其中点表示“对子戏剧团”的位置，坐标为，点表示“咳咳腔剧团”的位置，坐标为． (1)根据以上信息，请在示意图中画出欣欣建立的平面直角坐标系． (2)若“弦子腔剧团”的坐标为，请在平面直角坐标系中标出“弦子腔剧团”的位置，并标注点． (3)若欣欣在标点（图中已标注）“壶关秧歌剧团”的位置时，横、纵坐标看反了，则正确的点应在第______象限． （1） 解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：的坐标为， 横、纵坐标看反了， 故正确的点为，应在第四象限， 故答案为：四． 教材习题05 在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将沿轴正方向平移个单位，再沿轴正方向平移个单位得到，画出，并写出点、、坐标； (2)将关于原点对称得到，请画出． （1）解：如图，即为所求， 由图知，，，． （2）解：如图，即为所求． 教材习题06 如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，然后再把绕原点O逆时针旋转得到．画出，画出，并直接写出点的坐标； 解：如图， 、为所求作， ． 考点一、位似图形 1．方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点． 【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 2．下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．根据位似与相似的关系得出相似比，再由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 故选：． 考点二、位似中心 1．如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【详解】解：如图：连接、并延长，则交点即为它们的位似中心， ， ∴它们的位似中心为， 故选：B． 2．如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 【答案】或 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点. 【详解】∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为， ∴ （1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点. 设AG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 当时，，所以EC与AG的交点为 （2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点 设AE所在的直线的解析式为 解得 ∴AE所在的直线的解析式为 设CG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 联立解得 ∴AE与CG的交点为 综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或 故答案为或 【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键. 3．如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心，（保留作图痕迹） (2)若，位似比是，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． （1）根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心，则连接，，交于点即为所求； （2）利用位似比得出对应边的比，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，位似中心即为所求． ． （2）解：∵与是位似图形，位似比是， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点三、用坐标确定位置 1．如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为，则学校的位置坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系．依题意，从原点出发，向南走即沿轴负半轴平移了1500，向东走，即沿轴正方向平移了，据此可求得小敏家的位置． 【详解】解：根据小刚家的位置坐标建立平面直角坐标系， 根据图形得学校的位置坐标为． 故选：C． 2．下图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为，北海北站的坐标为，则东四站的坐标为 ． 　 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据崇文门站和北海北站的坐标可确定原点位置和坐标轴位置，据此建立坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，则东四站的坐标为， 故答案为：． 3．如图1是路桥区地图的一部分，其示意图如图2，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，已知黄石公园的坐标为． (1)分别写出路桥区政府，街心公园的坐标； (2)连接，平移线段，使点和点重合，在图2中画出平移后的线段，并写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)画图见解析， 【分析】本题考查了坐标与图形，平移等知识，解题的关键是. （1）直接利用点A坐标得出原点位置，进而得出各点的坐标． （2）利用平移的性质描出点D，然后连接即可． 【详解】（1）解：根据题意，得路桥区政府B的坐标为，街心公园C的坐标为； （2）解：如图，点D即为所求， 由图知D的坐标为． 考点四、三角形中位线求解 1．如图，在中，，分别为，上的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，首先证明出，得到，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵、分别为、上的中点 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别为，的中点，连接，，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查中位线的性质，菱形的性质，根据中位线的性质可得，根据菱形的性质可得，，根据菱形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴， ∵在菱形中，对角线，相交于点，， ∴，， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 3．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，三角形中位线定理，勾股定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据中位线的判定和性质得出，结合平行四边形的判定和性质即可证明； （2）结合中位线的判定和性质得出，，则可得到，再由题意确定，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 又， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由（1）得是的中位线， ∴，， ∴，， ∴ 由（1）可得， ∴。 考点五、画位似图形 1．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)以为位似中心，在第四象限内将放大2倍得到； (3)在轴上选一点，使，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)画图见解析， 【分析】本题考查作图-轴对称变换、位似变换等知识，解题的关键是： （1）分别作出关于x轴对称的对应点，，，再顺次连接得到即可； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再顺次连接各对应点即可； （3）取格点M、N，连接交于H，取格点G，连接交y轴于点P即可，设，然后根据两点间距离关键关于p的方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：如图，点P即为所求， 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，点都在网格线的格点上，点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在O点同侧将放大为原来的2倍，得到，画出；（点A的对应点为D，点B的对应点为E） (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________； (3)请仅用无刻度的直尺，在线段上找一点． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析 【分析】本题主要考查了作位似图形，旋转中心的确定，相似三角形的性质和判定， 对于（1），连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接并延长至F，使，再连接，则就是所求作的三角形； 对于（2），连接，并作的垂线，交于点H，写出点P的坐标即可； 对于（3），取，连接交于点，可知，可得. 【详解】（1）解：如图所示，就是所求作的三角形； （2）解：如图，点； 故答案为：； （3）解：如图所示，取，连接交于P，点P即为所求作． 3．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)先将向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到，画出； (2)若内有一点，经过（1）的平移后的对应点记为，则点的坐标为______； (3)以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使与的相似比为． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查平移作图、由平移方式确定点的坐标、在坐标系中画位似图形，正确作出图形是解答的关键． （1）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接即可得到平移后的图形； （2）根据点的平移方式“左减右加，上加下减”确定点的坐标即可； （3）根据位似图形的性质得到对应点的位置，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵将向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到， ∴内有一点，经过（1）的平移后的对应点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图所示，即为所求． 考点六、三角形中位线的证明 1．在数学实践课中，老师给每位同学发了一张直角三角形纸板，如图1中，其中，要求同学用剪刀剪一次，把它剪拼成一个矩形． 小明的剪法是：找到边，的中点D，E，连结DE，沿剪一刀，再把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．请利用所学的数学知识，完成下列问题： (1)老师说小明的剪拼是正确的，请你证明老师的说法； (2)把图2的三角形剪两刀，剪拼成一个矩形，并在答题纸相应位置画出剪拼示意图． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，旋转的性质，矩形的判定的知识，关键是得出． （1）由三角形中位线定理可得，，由旋转可得，，所以四边形是矩形． （2）取边，的中点F，G，连接，作，沿剪一刀，再沿剪一刀，把绕点逆时针旋转得到，此时点与点重合，把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，可证明，则四边形就是矩形． 【详解】（1）证明：∵点D，E为，的中点， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得，， ∴四边形是矩形． （2） 取边，的中点F，G，连接，作，沿剪一刀，再沿剪一刀，把绕点逆时针旋转得到，此时点与点重合，把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．理由如下： ∵点，分别为，的中点 ∴ ∵ ∴ 由题意：， ∴， ∵ ∴ ∴四边形为矩形． 2．【知识回顾】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 如图① ，在中，点，分别是边，的中点．则，． 【问题解决】(1)如图② ，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形为平行四边形． (2)连接，，加上条件 后能使得四边形为矩形．请从① ；② ；③ 这三个条件中选择一个进行填空(写序号)． 【答案】（1）见解析；②见解析 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定是解题的关键． （1）连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定证明； （2）根据三角形中位线定理得到，得到，根据矩形的判定定理证明． 【详解】（1）证明：如图②，连接、， ，，，分别是，，，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：时，四边形为矩形， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ，，， ， 平行四边形为矩形， 故答案为：②． 3．在中，，在直线上有一点D，连接，绕点D逆时针转动得到，连接，其中 (1)如图1，与交于点Q，平分，若，求的度数（用的代数式表示）； (2)如图2，点G为中点，点F为中点，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点F为中点，，当最小时，在直线上有一点M，沿翻折至，当面积最大时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）如图：由旋转可得，，，证明，，可得，证明，再进一步可得结论． （2）连接，并延长至点，使得，连接，证明可得，证明，与（1）同理得，即，可得，证明，进一步可得结论； （3）如图，连接，过作于，连接并延长交于，证明，再证明，可得，可得在过点且垂直于的直线上运动，当时，即重合时，最小，此时重合，如图，结合沿翻折至，当面积最大时，可得为等腰直角三角形，，设，过作于，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵由旋转可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 连接，并延长至点，使得，连接，， ∵旋转 ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， 与（1）同理得， 即， ∴， 故， ∵ ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴． （3）解：如图，连接，过作于，连接并延长交于， ∵，， ∴，，， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在过点且垂直于的直线上运动， ∴当时，即重合时，最小，此时重合，如图， ∵沿翻折至，当面积最大时， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 知识导图记忆 1．如图，以点O为位似中心的与的周长比为，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可．掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，与的周长比为， ，，且相似比为， ， ， ， 故选：C． 2．如图，两地相距60km，用方向和距离描述处相对于处的位置，正确的是（   ） A．南偏东，60km B．南偏东，60km C．北偏西，60km D．北偏东，60km 【答案】A 【分析】本题考查了用方向与距离描述物体的位置，位置表示是先说方向再说距离，以南或北的方向作为方向角的始边；据此即可表示出处相对于处的位置． 【详解】解：如图，方向是南偏东，角度为，距离是60km， 即处相对于处的位置为南偏东，60km； 故选：A． 3．如图，为的中位线，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线，熟知三角形的中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线等于第三边的一半解答即可． 【详解】解：∵为的中位线，， ∴． 故选：B． 4．如图，已知与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在中，，平分交于点，点在边上，且，连接，点为的中点，连接，则的长为（    ） A．1.5 B．2.5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质得到，得到是的中位线，利用三角形中位线定理解答即可． 本题考查了等腰三角形的三线合一性质，三角形中位线定理，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，平分交于点，， ∴，， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴； 故选：B． 6．如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为．则四边形的周长为 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似图形的周长比等于相似比（位似比）可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵四边形的周长为， ∴四边形的周长为； 故答案为． 7．《哪吒之魔童闹海》作为“唯一非好莱坞制作电影”荣膺（）全球动画电影票房榜冠军，“魔童”哪吒正以惊艳之姿进入全球视野．如图是“魔童”哪吒的概念手稿图，将其放在适当的平面直角坐标系中．若概念手稿图中点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了在实际问题中用坐标表示位置，根据点A和点B的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，则， 故答案为：． 8．如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，那么它们的对应中线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质． 根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：根据相似三角形的性质可得：两个相似三角形的对应边上的高之比它们的对应中线之比， 它们的对应中线之比是． 故答案为：． 9．如图，为测量假山两端A，B之间的距离，小明在地面上取一点C（C均可直接到达点A，B），D，E分别是和的中点，测得米，则假山两端A，B之间的距离为 米． 【答案】30 【分析】本题考查的是三角形中位线定理．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点D、E分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵米， ∴米， 故答案为：30． 10．如图，在矩形中，对角线交于点O，，，连接交于M，交于N，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理．连接，交于点．证明四边形为菱形，可得，，，再证明，可得，从而得到，再由勾股定理可得，再证明，可得，即可求解． 【详解】解：连接，交于点． ，， 四边形为平行四边形． 四边形为矩形， ，，，． 为菱形． ，，． ． ． ， 四边形为平行四边形． ． ． ，， ． ． ， ． ． ， ． ． ， ． 故答案为： 11．如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 12．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均为格点（网格线的交点）． (1)以O为旋转中心，将顺时针旋转90°得到，画出； (2)以O为位似中心，在的另一侧画出的位似（即和位于点O不同侧），且与的位似比为1∶2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据位似的性质作图，即可得出答案． 本题考查作图-位似变换、作图-旋转变换，熟练掌握位似的性质、旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，即为所求． 13．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)以O为位似中心，在轴右侧作，使与位似，且与的相似比为，点A、B、C的对应点分别为、、； (2)在（1）的条件下，分别写出点、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查作图——位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质画图即可； （2）由图可得答案． 【详解】（1）解： 如图所示． （2）解：由图可得：，，． 14．如图1，在中，，，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现：当时，_______；当时，_______； (2)拓展探究：试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决：当旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)当时，的大小没有变化，，证明见解析 (3)或 【分析】此题主要考查几何变换综合应用，涉及相似三角形的判定和性质，三角形中位线，勾股定理和旋转的性质等知识，解题的关键是分类讨论思想，数形结合思想的应用． （1）根据三角形的中位线定理，结合勾股定理和旋转的性质即可得到答案； （2）根据旋转的性质、中位线以及相似三角形的知识，可以得到仍然成立，结合两边与夹角，可以得到，由此可以得到的值； （3）根据题目可知要分：在的上方和在的下方两种情况进行分析，进而结合前面得到的的值，便可以解答本题． 【详解】（1）解：①当时， ∵中，，，， ∴． ∵点、分别是边、的中点， ∴， ∴； 故答案为：； ②当， ∴，， ； 故答案为：； （2）解：当时，的大小没有变化，，证明如下： 如图2，由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， ， 在图1中，∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ； ∴在图3中，； 由（2），可得：， ； ②如图4，连接， 同理可得， ； 综上所述，的长为或． 15．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，且实数、满足． (1)求、两点的坐标； (2)如图1，已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒．是否存在这样的，使得的面积等于面积的2倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且轴平分，点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)存在， (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行线的性质与判定，非负性的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． （1）利用非负性即可求出a，b即可得出结论； （2）先表示出，利用三角形面积，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出，进而判断出，即可判断出，同理，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ∴， ， 解得， ，； （2）解：由（1）知，， ∴， 由运动知，， ∴， ∵， ∴，， ∵的面积是的面积2倍， ∴， ∴， ∴存在时，使得的面积是的面积2倍； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵y轴平分， ∴， ∴， ∴， 如图，过点H作交x轴于F， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴． 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$