广东省中山市2024-2025学年人教版九年级中考数学复习模拟训练

中考模拟训练 一．选择题（共10小题） 1．（3分）实验室检测四个零件的质量（单位：克），按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”记录如下，其中最接近标准质量的是（　　） A．1.1 B．﹣1.2 C．﹣0.8 D．0.9 2．（3分）将0.000000843米用科学记数法表示为（　　） A．8.43×10﹣6 B．8.43×10﹣7 C．8.43×106 D．8.43×107 3．（3分）如图，该图案是一个轴对称图形，它有（　　）条对称轴． A．1 B．3 C．4 D．6 第3题图 第5题图 第6题图 4．（3分）下列各式中，计算结果等于a5的是（　　） A．a2+a3 B．（a2）3﹣a C．a2•a3 D．a5÷a 5．（3分）如图，已知a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，∠BAC＝90°，∠1＝30°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 6．（3分）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°航行，乙船向南偏东48°航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，则乙船的航速是（　　） A．15海里/时 B．30海里/时 C．16海里/时 D．32海里/时 7．（3分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）2023年2月，河南省将设立9所高校的消息备受关注．现有4张卡片，正面分别写有代表新建高校位置的汉字——“南阳”“濮阳”“商丘”“周口”，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面汉字均含汉字“阳”的概率是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A：∠C＝4：5，则∠C的度数是（　　） A．80° B．100° C．110° D．120° 第9题图 第10题图 10．如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间t（s）之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为（　　） A．5s B．6s C．15s D．16s 二．填空题（共5小题） 11．（3分）若m，m满足（m﹣1）20，则　 　 ． 12．（3分）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是 　 　 ． 13．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，则∠1的度数为 　 　 ． 第13题图 第14题图 第15题图 14．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E、F分别是AB和AC的中点，且3DF＝2EF，若AC＝8，则BC的长为 　 　 ． 15．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则图中阴影部分的周长为 　 　 （结果保留π）． 三．解答题（共3小题） 16．（7分）计算：． 17．（7分）先化简，再求值：，其中x＝﹣3． 18．（7分）水兴县某中学的同学们在学习了《图形的相似》之后，数学柳老师给出了下面的问题：如图，Rt△ABD与Rt△CDB中，斜边AD与BC相交于点M，过点M作MH⊥BD于点H．探究AB、MH、CD之间的数量关系，并证明． 下面是小许同学的探究过程，请根据题意补充完整探究过程． （1）请在答题卡上完成尺规作图：过点M作MH⊥BD垂足为点H．（保留作图痕迹，不用写作法） （2）请将①②③④⑤补充完整并填写在答题卡上． 解：∵AB⊥BD，MH⊥BD， ∴MH∥AB． ∴△DMH∽①　 　 ． ∴． ∵CD⊥BD，MH⊥BD， ∴MH∥CD． ∴△BMH∽②　 　 ． ∴③　 　 ． ∴④　 　 ． （注意：这里要求填写化简之后的数字结果） 小许进一步探究，如果把题设中的三个垂直关系改为：AB∥CD∥MH，请你帮她写出AB、MH、CD这三条线段之间的数量关系⑤　 　 ． 四．解答题（共3小题） 19．（9分）八（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 甲 175 a b 93.75 乙 175 175 180，175，170 c （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若八（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由； （3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优． 20．某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？ （2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？ （3）该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能．请说明理由． 21．如图，在△ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若BC＝8，，求AD的长． 五．解答题（共2小题） 22．（13分）在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的点，连接CE、CF并延长，分别交DA，BA的延长线于点H、G，连接AC． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形，∠ECF＝45°，求证：△ACG∽△AHC； （2）如图2，若四边形ABCD是菱形，BC＝6，∠ECF＝∠CAD＝60°，，求AG的长； （3）如图3，若四边形ABCD3是矩形，AB＝2AB＝6，CG＝CH，∠GCH＝45°，求GH2． 23．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A，C，抛物线过点A、C，且与x轴交于另一个点B． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是直线AC下方抛物线上的动点． ①连接OP与线段AC交于点D，则当D为线段OP中点时，求出点P坐标． ②过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，且以点P、C、Q为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出符合条件的点Q的坐标． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（3分）实验室检测四个零件的质量（单位：克），按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”记录如下，其中最接近标准质量的是（　　） A．1.1 B．﹣1.2 C．﹣0.8 D．0.9 【分析】根据题意，绝对值最小的最接近标准质量． 【解答】解：∵|﹣0.8|＜|0.9|＜|1.1|＜|﹣1.2|， ∴记录为﹣0.8的零件最接近标准质量． 故选：C． 【点评】本题考查了正数和负数，熟练掌握其表示的意义是解题的关键． 2．（3分）将0.000000843米用科学记数法表示为（　　） A．8.43×10﹣6 B．8.43×10﹣7 C．8.43×106 D．8.43×107 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.000000843＝8.43×10﹣7． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）如图，该图案是一个轴对称图形，它有（　　）条对称轴． A．1 B．3 C．4 D．6 【分析】根据轴对称的定义解答即可． 【解答】解：根据题意得：该图案的对称轴为直线d，有1条对称轴． 故选：A． 【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 4．（3分）下列各式中，计算结果等于a5的是（　　） A．a2+a3 B．（a2）3﹣a C．a2•a3 D．a5÷a 【分析】利用合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘（除）法法则逐个计算，根据计算结果得结论． 【解答】解：∵a2与a3不是同类项，不能加减； （a2）3﹣a＝a6﹣a≠a5； a2•a3＝a2+3＝a5； a5÷a＝a4≠a5． ∴计算结果等于a5的是C． 故选：C． 【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键． 5．（3分）如图，已知a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，∠BAC＝90°，∠1＝30°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据平行线的性质与三角形的内角和为180°进行解题即可． 【解答】解：由题可知：∠BAC＝90°，∠1＝30°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠ABC＝30°， 又知∠ABC+∠2＝90°， 故∠2＝90°﹣30°＝60°． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 6．（3分）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°航行，乙船向南偏东48°航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，则乙船的航速是（　　） A．15海里/时 B．30海里/时 C．16海里/时 D．32海里/时 【分析】由题意知，∠CAB＝90°，AC＝0.5×16＝8，BC＝17，由勾股定理得AB＝15，根据乙船的航速是15÷0.5，计算求解即可． 【解答】解：由题意知，∠CAB＝180°﹣42°﹣48°＝90°，AC＝0.5×16＝8，BC＝17， 由勾股定理得， ∴乙船的航速是15÷0.5＝30（海里/时）， 故选：B． 【点评】本题考查了方向角，勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理求直角三角形的线段长是解题的关键． 7．（3分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案． 【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为： ． 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键． 8．（3分）2023年2月，河南省将设立9所高校的消息备受关注．现有4张卡片，正面分别写有代表新建高校位置的汉字——“南阳”“濮阳”“商丘”“周口”，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面汉字均含汉字“阳”的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画出树状图，根据概率格式求解即可． 【解答】解：将“南阳”“濮阳”“商丘”“周口”分别标记为A，B，C，D， 列树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面汉字均含汉字“阳”的情况有2种， ∴这两张卡片正面汉字均含汉字“阳”的概率为． 故选：A． 【点评】本题考查了事件的分类和概率的求法．用到的知识点为：可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件；概率＝所求情况数与总情况数之比． 9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A：∠C＝4：5，则∠C的度数是（　　） A．80° B．100° C．110° D．120° 【分析】由圆内接四边形的性质得∠C+∠A＝180°，即可求解． 【解答】解：设∠A＝4x°，则∠C＝5x°． ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠C+∠A＝180°， ∴5x+4x＝180， ∴x＝20， ∴∠C＝5×20°＝100°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 10．如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间t（s）之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为（　　） A．5s B．6s C．15s D．16s 【分析】利用待定系数法求出y与t的关系式，当y＝10时求出对应t的值即可． 【解答】解：设y与t的关系式为y＝kt+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（10，0）和（12，4）代入y＝kt+b， 得， 解得， ∴y与t的关系式为y＝2t﹣20（t≥10）． 当注满水杯时，y＝10，得2t﹣20＝10， 解得t＝15． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（3分）若m，m满足（m﹣1）20，则　4　 ． 【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而可求出的值． 【解答】解：由题意知， m，n满足（m﹣1）20， ∴m＝1，n＝15， ∴4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 12．（3分）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是 　a≥0　 ． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x≤0， 解不等式②得：x＞a， ∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴a≥0， 故答案为：a≥0． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，则∠1的度数为 　36°　 ． 【分析】根据正五边形的性质得出AE＝DE和∠E的度数，再根据三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AE＝DE，∠E108°， ∴△AED是等腰三角形， ∴∠1＝∠ADE（180°﹣∠E）（180°﹣108°）＝36°． 故答案为：36°． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正五边形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 14．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E、F分别是AB和AC的中点，且3DF＝2EF，若AC＝8，则BC的长为 　12　 ． 【分析】由直角三角形斜边中线的性质得到FDAC8＝4，由3DF＝2EF，得到2EF＝12，由三角形中位线定理得到BC＝2EF＝12． 【解答】解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°，F是AC中点， ∴FDAC8＝4， ∵3DF＝2EF， ∴2EF＝12， ∵E、F分别是AB和AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴BC＝2EF＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质，求出FD的长，由三角形中位线定理即可求出BC的长． 15．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则图中阴影部分的周长为 　6+π　 （结果保留π）． 【分析】根据等腰三角形的性质得OD＝BD，所以BD+CD＝OD+CD＝OA＝6，再计算出弧BC的长，即可求出答案． 【解答】解：∵∠AOB＝120°，OA＝OB， ∴∠A＝∠B＝30°， ∵OC⊥AO， ∴∠AOC＝90°， ∴∠BOC＝30°， ∴∠B＝∠BOD， ∴OD＝BD， ∵OA＝OB＝6， ∴BD+CD＝OD+CD＝OA＝6， ∵弧BC的长为π， ∴图中阴影部分的周长为：6+π． 故答案为：6+π． 【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 三．解答题（共3小题） 16．（7分）计算：． 【分析】利用算术平方根，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质和立方根的意义解答即可． 【解答】解：原式＝5（﹣2） ＝1+1﹣2 ＝0． 【点评】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质和立方根的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键． 17．（7分）先化简，再求值：，其中x＝﹣3． 【分析】先把括号里的第一项约分，再通分相加，最后计算除法；然后把字母的值代入化简后的式子中计算出值即可． 【解答】解： ＝[]•（x+1） ＝（）•（x+1） •（x+1） ， 当x＝﹣3时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则与运算顺序是关键． 18．（7分）水兴县某中学的同学们在学习了《图形的相似》之后，数学柳老师给出了下面的问题：如图，Rt△ABD与Rt△CDB中，斜边AD与BC相交于点M，过点M作MH⊥BD于点H．探究AB、MH、CD之间的数量关系，并证明． 下面是小许同学的探究过程，请根据题意补充完整探究过程． （1）请在答题卡上完成尺规作图：过点M作MH⊥BD垂足为点H．（保留作图痕迹，不用写作法） （2）请将①②③④⑤补充完整并填写在答题卡上． 解：∵AB⊥BD，MH⊥BD， ∴MH∥AB． ∴△DMH∽①　△DAB　 ． ∴． ∵CD⊥BD，MH⊥BD， ∴MH∥CD． ∴△BMH∽②　△BCD　 ． ∴③　　 ． ∴④　1　 ． （注意：这里要求填写化简之后的数字结果） 小许进一步探究，如果把题设中的三个垂直关系改为：AB∥CD∥MH，请你帮她写出AB、MH、CD这三条线段之间的数量关系⑤　　 ． 【分析】（1）根据题意，过点M作MH⊥BD垂足为点H； （2）根据相似三角形的性质与判定，完成填空，即可求解． 【解答】解：（1）如图，MH即为所求； （2）∵AB⊥BD，MH⊥BD， ∴MH∥AB， ∴△DMH∽△DAB， ∴， ∵CD⊥BD，MH⊥BD， ∴MH∥CD， ∴△BMH∽△BCD， ∴， ∴， 如果把题设中的三个垂直关系改为：AB∥CD∥MH， ∴△DMH∽△DAB，△BMH∽△BCD， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：△DAB，△BCD，，1，． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，相似三角形的性质与判定，解决本题的关键是得到△DMH∽△DAB． 四．解答题（共3小题） 19．（9分）八（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 甲 175 a b 93.75 乙 175 175 180，175，170 c （1）a＝　177.5　 ，b＝　185　 ； （2）若八（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由； （3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a、b的值； （2）答案不唯一，可从平均数，方差，中位数等方面，写出理由； （3）根据平均数，方差，中位数，可得答案． 【解答】解：（1）甲的成绩从小到大排列为：160，165，165，175，180，185，185，185， ∴甲的中位数， ∵185出现了3次，出现的次数最多， ∴众数b是185， 故答案为：177.5，185； （2）（180﹣175）2+（185﹣175）2+（165﹣175）2+（175﹣175）2]＝37.5 ∵93.75＞37.5， ∴乙的成绩稳定； （3）①从平均数和方差相结合看，乙的成绩较稳定； ②从平均数和中位数相结合看，甲的成绩较好． 【点评】本题考查了折线统计图，方差，中位数，掌握方差的公式，众数的定义，中位数的定义是解题关键． 20．某超市销售一种衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？ （2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？ （3）该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能．请说明理由． 【分析】（1）利用日销售量＝20+2×每件衬衫降低的价格，可求出日销售量，再利用每天销售该种衬衫获得的利润＝每件盈利×日销售量，即可求出每天销售该种衬衫获得的利润； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（20+2x）件，利用每天销售该种衬衫获得的利润＝每件盈利×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （3）该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，设每件衬衫应降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，每天可售出（20+2y）件，利用每天销售该种衬衫获得的利润＝每件盈利×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出该方程无实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元． 【解答】解：（1）20+2×4＝28（件）， （40﹣4）×28＝1008（元）． 答：均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元． （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（20+2x）件， 依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20． 又∵每件盈利不少于25元， ∴x＝10． 答：每件衬衫应降价10元． （3）该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，理由如下： 设每件衬衫应降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，每天可售出（20+2y）件， 依题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1300， 整理得：y2﹣30y+250＝0． ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0， ∴该方程无实数根， 即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混用运算以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．如图，在△ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若BC＝8，，求AD的长． 【分析】（1）作OE⊥AB，先由∠AOD＝∠BAD求得∠ABD＝∠OAD，再由∠BCO＝∠D＝90°及∠BOC＝∠AOD求得∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE＝OC，依据切线的判定可得； （2）先求得∠EOA＝∠ABC，在Rt△ABC中求得AC＝24、AB＝26，由切线长定理知BE＝BC＝10，继而得BO，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：过点O作OE⊥AB于点E， ∵AD⊥BO于点D， ∴∠D＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°， ∵∠AOD＝∠BAD， ∴∠ABD＝∠OAD， 又∵BC为⊙O的切线， ∴AC⊥BC， ∴∠BCO＝∠D＝90°， ∵∠BOC＝∠AOD， ∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD， 在△BOC和△BOE中， ∵， ∴△BOC≌△BOE（AAS）， ∴OE＝OC， ∵OE⊥AB，OE是半径， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EOA+∠BAC＝90°， ∴∠EOA＝∠ABC， ∵BC＝8，tan∠ABC， ∴AC＝BC•tan∠ABC， 则AB， 由（1）知BE＝BC＝8， ∴AE8， ∵tan∠EOA＝tan∠ABC， ∴， ∴OE＝4，OB4， ∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°， ∴△ABD∽△OBC， ∴，即， ∴AD． 【点评】本题主要考查切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定、切线长定理、全等与相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用． 五．解答题（共2小题） 22．（13分）在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的点，连接CE、CF并延长，分别交DA，BA的延长线于点H、G，连接AC． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形，∠ECF＝45°，求证：△ACG∽△AHC； （2）如图2，若四边形ABCD是菱形，BC＝6，∠ECF＝∠CAD＝60°，，求AG的长； （3）如图3，若四边形ABCD3是矩形，AB＝2AB＝6，CG＝CH，∠GCH＝45°，求GH2． 【分析】（1）根据正方形的性质得到，求得∠DCF＝∠ACH，同理∠ACH＝∠BCE，根据平行线的性质得到∠G＝∠DCG，∠H＝∠BCH，等量代换得到∠G＝∠ACH，∠H＝∠ACG，根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠ACB＝∠CAD＝60°，等量代换得到∠DCF＝∠ACE，同理∠BCE＝∠ACF，根据相似三角形的性质得出，进而证明△EAH∽△EBC，根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据计算即可求解； （3）如图，取BC中点M，过点M作MN∥BG，交AD于点P，交CG于点N，连接CP，证明△CMN∽△CGB，得出，进而根据平行线分线段成比例得出，得出四边形CDPM是正方形，由（2）可得△CPN∽△HPC，进而求得PH，PN，进而求得AG，GH，勾股定 理，即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∵∠ECF＝45°， ∴∠ACD＝∠ACB＝∠ECF， ∴∠ACF+∠ACH＝∠ACF+∠DCG＝45°， ∴∠DCF＝∠ACH， 同理∠ACH＝∠BCE， ∵AD∥BC，CD∥AB， ∴∠G＝∠DCG，∠H＝∠BCH， ∴∠DCG＝∠ACH，∠BCE＝∠ACG， ∴∠G＝∠ACH，∠H＝∠ACG， ∴△ACG∽△AHC； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD＝60°， ∴∠ACD＝∠ACB＝60°， ∵∠ECF＝60°， ∴∠DCF+∠ACF＝∠ACF+∠ACE＝60°， ∴∠DCF＝∠ACE， 同理∠BCE＝∠ACF， ∵AD∥BC，CD∥AB， ∴∠DCF＝∠G，∠BCE＝∠H， ∴∠ACE＝∠G，∠ACF＝∠H， ∴△ACG∽△AHC， ∴， ∴AC2＝AH•AG， ∵BC＝AB＝6， ∴AC＝6， ∴， ∵BC∥AD， ∴△EAH∽△EBC， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）解：如图，取BC中点M，过点M作MN∥BG，交AD于点P，交CG于点N，连接CP， ∵MN∥BG， ∴△CMN∽△CGB， ∴，且M是BC中点， ∴， ∴BC＝2CM，CG＝2CN，BG＝2MN， ∵CG＝CH， ∴CG＝CH＝2CN，CD∥BA，MN∥BG，CD∥MN∥BG， ∴， ∴DP＝PA， ∵AD＝2AB＝6， ∴AB＝3＝CD，AD＝BC＝6， ∴CM＝DP＝3，且BC∥AD， ∵四边形CDPM是平行四边形，且CD＝DP＝3，∠D＝90°， ∴四边形CDPM是正方形， ∴， ∵四边形CDPM是正方形，且∠GCH＝45°， 由（2）可得△CPN∽△HPC， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在Rt△AHG中，． 【点评】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 23．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A，C，抛物线过点A、C，且与x轴交于另一个点B． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是直线AC下方抛物线上的动点． ①连接OP与线段AC交于点D，则当D为线段OP中点时，求出点P坐标． ②过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，且以点P、C、Q为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出符合条件的点Q的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①当D为线段OP中点时，则点D（m，m2m﹣1），将点D的坐标代入一次函数表达式得：m2m﹣1（m）﹣2，即可求解； ②当以点P、C、Q为顶点的三角形与△BOC相似时，则sin∠CPQ＝sin∠BAC或sin∠OCA，即可求解． 【解答】解：（1）直线与x轴、y轴分别交于点A，C，则点A、C的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣2）， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：yx2x﹣2； （2）过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P（m，m2m﹣2），则点H（m，m﹣2）， 则PHm2+2m， 由直线AC的表达式知，tan∠BACtan∠HPQ＝tanα，则sinα，cosα， ①当D为线段OP中点时，则点D（m，m2m﹣1）， 将点D的坐标代入一次函数表达式得：m2m﹣1（m）﹣2， 解得：m＝2，即点P（2，﹣3）； ②由点P、C的坐标得，CP2＝m2+（mm）2，PQ＝PHcosα（m2+2m）， 当以点P、C、Q为顶点的三角形与△BOC相似时，则sin∠CPQ＝sin∠BAC或sin∠OCA， 即sin∠CPQ或， 则（sin∠CPEQ）2＝（PQ：PC）2或， 即[（m2+2m）]2：[m2+（mm）2]或[（m2+2m）]2：[m2+（mm）2]， 解得：m或3（不合题意的值已舍去），则点P的坐标为：（，）或（3，﹣2）， 当点P（，）时， ∵PQ⊥AC，则直线PQ的表达式为：y＝﹣2（x）， 联立上式和AC表达式得：x﹣2＝﹣2（x）， 解得：x，则点Q（，）； 当点P（3，﹣2）时， 同理可得，点Q（，）， 综上，点Q（，）或（，）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$