期末易错题型巩固练习（勾股定理）2024-2025学年人教版数学八年级下册

期末易错题型巩固练习 （勾股定理） 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．一个圆柱形杯子的底面半径为，高为，则杯内所能容下的最长木棒为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 4．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，在等边中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，小明为了测量河宽，先在延长线上取一点，再在同岸取一点，使，测得，，，那么河宽为（    ） A． B． C． D． 9．如图，中，，，，分别以三边为直径画半圆，则阴影部分的面积之和为（   ） A． B． C． D． 10．如图，将一根长的筷子置于圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，且的取值范围是为，则圆柱形水杯的底面直径为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 12．如图，中，，，，点D在边上，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的长为 ． 13．如图，在中，，，是平分线上的任意一点，连接．把绕点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为 ，的最小值为 ． 14．是直角三角形，，，则的长为 ． 15．如图，在等边三角形中，，点D在上，，E是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角三角形，当的长为整数时，的面积为 ． 三、解答题 16．如图，在网格中，已知格点网格线的交点线段． (1)线段的长为 ； (2)画格点，使是等腰三角形，且是钝角； (3)画格点，使． 17．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 18．如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3）在直角三角形中，，，.求的长. 19．在和中，的顶点在直线上，连接、． (1)_____(直接填写度数)； (2)(i)如图1，当点在线段上时，若，求的值； (ii)如图2，当点在射线上时，若，求的面积． 20．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末易错题型巩固练习 （勾股定理）2024-2025学年人教版数学八年级下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B D C D B B C 1．B 【分析】本题考查勾股数，熟知勾股数的定义是正确解答此题的关键．根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故是勾股数，符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．当桶内所能容下的木棒最长时，即为木棒为斜边，桶的底面直径及桶高构成一个直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据勾股定理得， 故选：C． 3．C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积 ， ∴学校要投入资金为：（元）， 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ∴， 即从仓库到社区配送点的最短路径为， 故选：B． 5．D 【分析】根据网格的特点以及等腰直角三角形的性质，分类讨论，找出符合题意的点，即可求解． 【详解】解：如图， 格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有个 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形，由等边三角形性质得到，，根据含角的直角三角形求出，求出，再根据含角的直角三角形求出，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余的性质及勾股定理，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题关键．根据直角三角形两锐角互余的性质可判定A、B选项错误，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理可判定C选项错误，D选项正确，即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：，，故A、B选项错误， ∴，，故C选项错误，D选项正确． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，等角对等边，正确作出辅助线，构建直角三角形是解题的关键． 过点作的延长线于点，根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据直角三角形中角是对的边是斜边的一半得出，结合勾股定理求出，故，根据三角形的外角性质得出，根据等角对等边即可求解． 【详解】解：过点作的延长线于点， 在中，，， ∴， ∴， 故， 解得：， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即， ∴． 故选：B． 9．B 【分析】本题考查的是勾股定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据含30度角直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，然后根据阴影部分的面积之和等于以为直径的半圆面积加上以为直径的半圆的半径加上的面积，然后再减去以为直径的半圆面积求解即可． 【详解】∵，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴以为直径的半圆的半径为，以为直径的半圆的半径为1，以为直径的半圆的半径为2， ∴阴影部分的面积之和． 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，h的最大值是筷子的长度减去杯子的高度，h的最小值是筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，筷子的长度减去该直角三角形的斜边的长度，据此求出杯子的高度以及筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，该直角三角形的斜边长，再利用勾股定理求出底面直径即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，h的最大值是筷子的长度减去杯子的高度，则杯子的高度为 h的最小值是筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，筷子的长度减去该直角三角形的斜边的长度，则筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，该直角三角形的斜边长为， ∴圆柱形水杯的底面直径为， 故选：C． 11． 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 12．1.5 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的不变性是解题的关键． 先由勾股定理求出，由折叠得到，，然后设，在中，由勾股定理建立方程求解． 【详解】解：中，，，， ∴， 由翻折变换的性质可知，， ∴，， 设，则有， ∴， ∴． 故答案为：1.5． 13． 【分析】①由等腰直角三角形和勾股定理分析出，即当时，最小，延长，交于点，证出，再利用勾股定理解答即可； ②分析出点的位置，在结合勾股定理解答即可． 【详解】解：①由题意可得：为等腰直角三角形，则，， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小，延长，交于点，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； ②∵在中，， ∴当，，三点共线时，，此时最小，过作于点，延长，交于点，如图所示： 由①同理可得：，， ∴在中，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 14．2或 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键根据直角三角形的性质，我们需要分情况讨论哪个角是直角，从而求出的长度． 【详解】解：在中，当，如图 ， ． ，， ， 解得或（舍去）； 在中，当， ，， ． 故答案为∶2或． 15．1或或4 【分析】本题考查了等边三角形和直角三角形的性质，动点问题．解题的关键是添加辅助线和确定的取值范围．过点D作于点G，连接，利用“直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半”求出的长度，再利用勾股定理求出、的长度，然后确定的取值范围，继而确定的整数值，最后求出的面积． 【详解】解：如图，过点D作于点G，连接， 在等边三角形中，，， ， ，， ， ，， ， ， 由题意知，当点E在点G处时，的长最小，当点E在点B处时，的长最大， ， ，，的长为整数， 的长为2或3或4， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， 的面积为1或或4． 故答案为：1或或4． 16．(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）因为是等腰三角形，且是钝角，进行作图即可； （3）结合网格特征，运用证明，得出，，因为，故，则，故是等腰直角三角形，即． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：等腰三角形如图所示： （3）解：如图所示． 17．． 【分析】把圆柱侧面展开成平面矩形，利用轴对称性质将蚂蚁爬行的路径转化为平面上两点间的线段，再借助勾股定理计算最短路径长度．本题主要考查了圆柱侧面展开图、轴对称性质及勾股定理的应用，熟练掌握“将立体图形中的最短路径问题转化为平面图形中两点间线段问题，借助轴对称和勾股定理求解”是解题的关键． 【详解】解：如图： 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点处， 底部周长的一半为，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 18．（1），；（2），在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的结果，即可得出答案； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）代数式1：，代数式2：， 故答案为：，； （2）由（1）知， 用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方， 故答案为：；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方； （3）在直角三角形ABC中，，，， ． 19．(1)45° (2)； 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，割补法求面积等知识，证明从而得到是直角三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得到； （2）由得，从而得到是直角三角形，得到即，再根据等腰直角三角形的性质得到结合即可得到与的比例关系； （3）先求出，根据等腰直角三角形的性质得到，同理证明，从而得到，，从而利用求解即可． 【详解】（1）和都是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， （2）(i)由（1）得： ， ， 是直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即 ， (舍去负值) (ii)如图，过点作，垂足为 ， ， ， ，即， 又， ∴， ， ， ， ， ∴． 20．（1）的长为24；（2）的长为6；（3）的长为5或20 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定 （1）由折叠得到，然后对运用勾股定理即可求解； （2）先证明，设，则，在中，由勾股定理建立方程，即可求解； （3）设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：①如图，当点在长方形内部时，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时，由折叠的性质得：，同①得，此时，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为20． 【详解】解：（1）， ， 由折叠的性质得：， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 即的长为24； （2）四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为6； （3）四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，同①得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即的长为20； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$