10.2 事件的相互独立性 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章 概率 10.2 事件的相互独立性 复习回顾 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 相等 并事件(和事件) 交事件(积事件) 互斥(互不相容) 互为对立 互为对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定互为对立. 发生导致发生 A与B至少一个发生 A与B同时发生 A⋃B或A+B A⊆B A=B A⋂B=AB A与B不能同时发生 A与B有且仅有一个发生 A⋂B=ϕ A⋂B=ϕ，A⋃B=Ω A⊆B且B⊆A 复习回顾 性 质 1 性 质 2 性 质 3 性 质 4 性 质 5 性 质 6 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P()=0. 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B). 若事件A与事件B互为对立事件，则P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). (概率的单调性)若A⊆B，则P(A)≤P(B). 设A、B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B). 概率的性质 1.理解相互独立事件的概念及意义 2.能记住相互独立事件概率的乘法公式； 3.能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题 4.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念. 5.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． 学习目标 导入 前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法。对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？ 我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生．因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关．那么，这种关系会是怎样的呢？ 下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题． 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 互斥事件概率加法公式 性质6 设A、B是一个随机试验中的两个事件，则有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么 P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 即P(A)+P(B)=1. 新知讲解 探究1：下面两个随机试验各定义了一对随机事件和，你觉得事件发生与否会影响发生的概率吗？分别计算，你有何发现？ 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币， 设“第一枚硬币正面朝上”，“第二枚硬币反面朝上”. 试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差 异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设“第一次摸到球的标号小于3”，“第二次摸到球的标号小于3”. ● 对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件发生与否不影响事件发生的概率. ● 对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件发生与否也不影响事件发生的概率. 新知讲解 解：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上”， 则样本空间为，包含4个等可能的样本点. 而，，所以. 由古典概型概率计算公式，得，. 于是，积事件的概率恰好等于与的乘积. 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币， 设“第一枚硬币正面朝上”，“第二枚硬币反面朝上”. 新知讲解 试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差 异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设“第一次摸到球的标号小于3”， “第二次摸到球的标号小于3”. 解：样本空间为， 而， ， ， 所以，. 于是也有，积事件的概率恰好等于与的乘积. 新知讲解 一、事件的相互独立性 1、定义：对任意两个事件与，如果成立，则称事件与相互独立，简称为独立. 通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件． 独立事件概率乘法公式 ● 公式变形：， 新知讲解 探究2：必然事件Ω、不可能事件与任意事件相互独立吗？ 必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响 不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响 它们也都不影响其他事件的发生 一方面： 另一方面： 由两个事件相互独立的定义，易知： P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω) P(A)=P()=P(A)P()成立 必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立. 结论 新知讲解 探究3：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立? 即需验证①A与B、②A与B、③A与B是否也相互独立？ 例如证 ① 若事件A,B相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立. 结论 新知讲解 探究4：我们知道，如果三个事件A, B, C两两互斥，那么概率加法公式 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立； 但当三个事件A, B, C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立? 课本P252-2.设样本空间Ω={a, b, c, d}含有等可能的样本点，且A={a, b}, B={a, c}, C={a, d}. 请验证A, B, C三个事件两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C). 但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C). 解: A={a, b}, B={a, c}, C={a, d}, AB={a}, AC={a}, BC={a}, ABC={a}. ∴P(A)=P(B)=P(C)=1/2, P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4. P(A)P(B)P(C)=1/8, P(ABC)=1/4. ∴P(AB)= P(A)P(B), P(AC)= P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 即A,B,C三个事件两两独立, 一般不成立 新知讲解 探究5：互斥事件与相互独立的事件有什么区别？ 互斥事件 相互独立事件 概念 符号 计算 公式 不可能同时发生的两个事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 P(A∪B)=P(A)+P(B) P(A·B)=P(A)·P(B) 互斥事件A、B中至少有一个发生,记作:A∪B 相互独立事件A、B同时发生记作:AB 典例分析 例1： 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？ B={(1,2), (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}， 解：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}, 且m≠n}，共12个样本点. A={(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4)}， AB={(1,2), (2,1)}. 因此，事件A与事件B不独立. 归纳总结 判断两个事件是否相互独立的方法 (1)定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事件. (2)定量法：通过计算是否成立可以准确判断两个事件是否相互独立. (3)转化法：事件与事件是否相互独立，与事件与,与，与是否具有独立性可互相转化. 巩固练习 P252 T1 1. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬币朝上的面相同”，A、B、C中哪两个相互独立？ 巩固练习 【2021年·新高考Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”， 乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”， 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”， 则下列正确的是( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 B 典例分析 例2： 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： (1) 两人都中靶；(2) 恰好有一人中靶；(3) 两人都脱靶；(4)至少有一人中靶． 解： 由于两个人射击的结果互不影响， ∴A与B相互独立， (2)“恰有1人中靶”= AB∪AB，且AB与AB互斥， 典例分析 例2： 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： (1) 两人都中靶；(2) 恰好有一人中靶；(3) 两人都脱靶；(4)至少有一人中靶． 解： 由于两个人射击的结果互不影响， ∴A与B相互独立， 典例分析 例2： 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： (1) 两人都中靶；(2) 恰好有一人中靶；(3) 两人都脱靶；(4)至少有一人中靶． 解： 由于两个人射击的结果互不影响， ∴A与B相互独立， （4） 典例分析 例2： 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： (1) 两人都中靶；(2) 恰好有一人中靶；(3) 两人都脱靶；(4)至少有一人中靶． 解： 由于两个人射击的结果互不影响， ∴A与B相互独立， （4）方法二： 归纳总结 1. 对事件进行分解：一方面分解为互斥的几类简单事件求概率； 另一方面分解为独立的事件，利用事件同时发生(乘法)求出概率. 已知两个事件A, B, 那么: (1) A,B中至少有一个发生为事件A∪B 2. 对事件分解时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生” “恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义. (2) A,B中至多有一个发生为事件 (3) A,B恰好有一个发生为事件 (5)A,B都不发生为事件 (4)A,B都发生为事件AB 求较为复杂事件的概率的方法 (6)A,B不都发生为事件 巩固练习 P253 T3 3、天气预报报道：元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3. 假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： (1)甲、乙两地都降雨的概率； (2)甲、乙两地都不降雨的概率； (3)至少一个地方降雨的概率 解：设事件A=“甲地降雨”，事件B=“乙地降雨”， 且，，事件彼此相互独立. (1) (2) (3) 典例分析 例3： 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动, 每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 . 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 即两轮活动中“甲对1个,乙对2个”或“甲对2个,乙对1个” 解： 典例分析 例12： 为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料。若从一箱中随机抽出2罐,能够中奖的概率为多少？ 设不中奖的4罐记为1, 2, 3, 4, 中奖的2罐记为a, b，随机抽2罐中有一罐中奖，就表示能中奖，其样本空间为： (1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, a)，(1, b)， (2, 3)，(2, 4)，(2, a)，(2, b)， (3, 4)，(3, a)，(3, b)， (4, a)，(4, b)， (a, b). 共15个样本点. 而中奖的样本点有9个，所以 追问 还有另外方法求解此题吗？ 能中奖的概率为 上述解法没有考虑顺序，其结果是一样的. 巩固练习 1、下列事件，是相互独立事件的是（　A　） A.一枚硬币抛掷两次，事件为“第一次为正面”，事件为“第二次为反面” B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，事件为“第一次摸到白球”， 事件为“第二次摸到白球” C.掷一枚骰子，事件为“出现点数为奇数”，事件为“出现点数为偶数” D.事件为“人能活到20岁”，事件为“人能活到50岁” 解析：把一枚硬币抛掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故选项A中的两个事件是相互独立事件；选项B中不放回地摸球，显然事件A与事件B不相互独立；对于选项C，其结果具有唯一性，A，B应为对立事件；选项D中事件B受事件A的影响. A 巩固练习 2.甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛.比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛.每场比赛实行三局两胜制，即最先赢得两局的选手获得胜利，本场比赛随即结束.假定每场比赛、每局比赛结果互不影响. 若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为，求甲获得本场比赛胜利的概率； 解：设甲在第i局获胜为事件Ai（i＝1，2，3），事件B＝“甲获得本场比赛胜利”， 则B＝A1A2∪（A2A3）∪（A1A3）， 所以P（B）＝×＋××＋××＝. 巩固练习 3. 我们都知道生男孩和生女孩是等可能的，记事件 “一个家庭中既有男孩 又有女孩”，事件 “一个家庭中最多有一个女孩”. 对下述两种情形，讨论事件 与 的独立性. (1)一个家庭中有两个小孩； [解析] 由题意知， 试验的样本空间 ，共4个样本点， 由等可能性知每个样本点发生的概率均为 ， 易知 , , ， 于是 ， ， . 因为 ， 所以事件 ， 不独立. 巩固练习 3. 我们都知道生男孩和生女孩是等可能的，记事件 “一个家庭中既有男孩 又有女孩”，事件 “一个家庭中最多有一个女孩”. 对下述两种情形，讨论事件 与 的独立性. (2)一个家庭中有三个小孩. [解析] 由题意知，试验的样本空间 ，共8个样本点， 由等可能性知每个样本点发生的概率均为 ， 易知 ， ， ， 于是 ， ， . 因为 ，所以事件 ， 相互独立. 课堂总结 1.事件的相互独立性 定义：对任意两个事件与，如果成立，则称事件与相互独立，简称为独立. 2.公式变形：， 必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立；互斥不独立. 若与独立，则与，与，与也独立 3.特征 课后习题 C 0.56 0.94 课后习题 课后习题 课后习题 1 2 5 6 $$