第4章 第5节 三角函数的图象与性质(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第五节　三角函数的图象与性质 [课标要求]　1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质及正切函数在上的性质． 1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 续表 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递 增区间 [2kπ－π，2kπ] 单调递 减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称 中心 (kπ，0) 对称轴 方程 x＝kπ＋ x＝kπ 【常用结论】 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z). (2)若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z). (3)若y＝A tan (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z). 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五个关键点是零点和极值点．(　×　) (2)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z).(　×　) (3)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．(　×　) 2．(多选)已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间上单调递增 C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数 答案　ABC 解析　由题意得f(x)＝－cos x， 对于A，T＝＝2π，故A正确； 对于B，因为y＝cos x在上单调递减，所以函数f(x)在上单调递增，故B正确； 对于C，f(－x)＝－cos (－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，故C正确，D错误． 3．下列函数，最小正周期为2π的是(　　) A．y＝sin 　　　　B．y＝sin 2x C．y＝ D．y＝ 答案　C 解析　函数y＝sin 的最小正周期为T＝＝4π，故A不符合； 函数y＝sin 2x，其最小正周期为T＝＝π，故B不符合； 因为函数y＝sin 的最小正周期为T＝4π，所以函数y＝的最小正周期为2π，故C符合； 因为函数y＝sin 2x的最小正周期为T＝＝π，所以函数y＝的最小正周期为，故D不符合．故选C. 4．不等式cos x≥的解集为________． 答案　 解析　画出y＝cos x的图象，如图所示， 由图可知，不等式cos x≥的解集为. 题型一　三角函数的定义域和值域 [例1]　(1)函数y＝的定义域为(　　) A． B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．R 答案　C 解析　由cos x－≥0，得cos x≥， ∴2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z). (2)函数y＝2sin (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　) A．2－　　　　 　B．0 C．－1 D．－1－ 答案　A 解析　因为0≤x≤9， 则－≤－≤， 所以sin ∈. 即y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－. 三角函数值域的不同求法 (1)把所给的三角函数式变换成y＝A sin (ωx＋φ)的形式求值域． (2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域． (3)利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域．　 [即时训练] 　(1)(2025·昆明模拟)函数y＝的定义域为__________． 答案　 解析　因为函数y＝sin x与y＝cos x的定义域为R， 若要使函数y＝有意义，必须使tan x有意义，且tan x≠0， 所以有解得x≠，k∈Z， 所以函数y＝的定义域为.　 (2)(2025·四川泸州质检)函数y＝sin 2x－3cos x＋2的最大值为(　　) A．5 B． C．－1 D．1 答案　A 解析　因为－1≤cos x≤1，y＝sin 2x－3cos x＋2＝－cos 2x－3cos x＋3＝－2＋， 故当cos x＝－1时，函数y＝sin 2x－3cos x＋2取最大值，且ymax＝－1＋3＋3＝5.故选A. 题型二　三角函数的周期性、对称性与奇偶性 [例2]　(1)(多选)(2025·合肥模拟)已知函数f(x)＝sin x(sin x－cos x)，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为π B．点是y＝f(x)图象的对称中心 C．点是y＝f(x)图象的对称中心 D．直线x＝是y＝f(x)图象的对称轴 答案　AD 解析　f(x)＝sin x(sin x－cos x) ＝sin2x－sinx cos x ＝－sin 2x ＝－sin ＋， T＝＝π，故A正确； 当x＝－时，2x＋＝0， 此时sin ＝0， 则函数关于点对称，故B错误； 当x＝时，2x＋＝，此时sin ＝1， 则函数关于直线x＝对称，故C错误； 当x＝时，2x＋＝，此时sin ＝－1， 则函数关于直线x＝对称，故D正确． (2)已知函数f(x)＝cos 是奇函数，且φ∈，则φ的值为________． 答案　 解析　由已知，得＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 所以φ＝kπ＋(k∈Z)， 又因为φ∈， 所以当k＝0时，φ＝符合题意． (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx的形式． (2)周期的计算方法：利用函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解． (3)对称轴、对称中心的求法：对于可化为f(x)＝A sin (ωx＋φ)(或f(x)＝A cos (ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．对于可化为f(x)＝A tan (ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可．　 [即时训练] 　(1)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是(　　) A．y＝cos |2x| 　B．y＝|cos x| C．y＝cos 　D．y＝tan 答案　ABC 解析　A中，y＝cos |2x|＝cos 2x，最小正周期为π； B中，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π； C中，y＝cos 的最小正周期T＝＝π； D中，y＝tan 的最小正周期T＝. (2)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，则f＝________． 答案　 解析　函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称， 则 ∵|φ|<，∴ω＝2，φ＝， 故f(x)＝2sin ， 则f＝2sin ＝. 题型三　三角函数的单调性 命题点1　求三角函数的单调区间 [例3]　(1)(2025·河南质检)已知函数f＝2cos ，x∈，则f的单调递增区间是(　　) A． B． C．， D．， 答案　D 解析　f＝2cos 可化为f＝2cos ，故单调增区间： 2kπ－π≤3x－≤2kπ，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 令k＝0，－≤x≤，令k＝1，π≤x≤π. ∵x∈， 所以f的单调递增区间是，.故选D. (2)函数f(x)＝sin 的单调递减区间为________． 答案　，k∈Z 解析　f(x)＝sin 的单调递减区间是g(x)＝sin 的单调递增区间． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所给函数的单调递减区间为，k∈Z. 延伸探究　若例3(2)中的函数不变，求其在[0，π]上的单调递减区间． 解　令A＝，k∈Z，B＝[0，π]， ∴A∩B＝∪， ∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为∪. 命题点2　根据单调性求参数 [例4]　已知f(x)＝sin (2x－φ)在上单调递增，且f(x)在上有最小值，那么φ的取值范围是(　　) A. B． C． D． 答案　B 解析　由x∈，可得2x－φ∈， 又由0<φ<，且f(x)在上单调递增， 可得－φ≤，所以≤φ＜. 当x∈时，2x－φ∈， 由f(x)在上有最小值，可得－φ>， 所以φ<.综上，≤φ<. (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．　 　[即时训练] (1)(2025·四川眉山质检)令a＝sin ，b＝sin ，判断a与b的大小关系是(　　) A．a>b B．a<b C．a＝b D．无法判断 答案　B 解析　因为函数y＝sin x在上单调递增，且－<－<－<0， 所以a＝sin <sin ＝b.故选B. (2)(2025·云南大理质检)已知函数f＝sin 在x＝π时有最大值，且f在区间上单调递增，则ω的最大值是(　　) A．－ B． C． D． 答案　C 解析　f在x＝π时取得最大值，即sin ＝1，可得ωπ＋＝＋2kπ，k∈Z， 所以ω＝＋2k，k∈Z， 因为要求ω的最大值，所以这里可只考虑ω>0的情况， 又因为f在上单调递增，所以＋≤，解得0<ω≤3， 当k＝1时，ω＝，所以ω的最大值为.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$