2025年中考数学专题复习训练：方程（组）与不等式（组）

2025年中考数学专题复习训练：方程（组）与不等式（组） 1．近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了153亿，某商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知每个种娃娃进价65元，每个种娃娃进价40元．根据网上预约的情况，该商家计划用不超过2000元的资金购进A、B两种娃娃共40个，那么最多购买种娃娃多少？ 2．某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件．A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 (1)该文具店购进A、B两种文具各多少件？ (2)该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 3．某商店经销一种产品，4月份的销售额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种产品打9折销售，结果销售量增加20件，销售额增加700元． (1)求该产品4月份的销售价格； (2)若5月份每件产品盈利，6月份以5月份的售价继续销售这种产品，且在这3个月的销售利润不低于2450元，求6月份至少销售该产品多少件． 4．和兴食品加工厂接到一批600袋食品的订单，决定由甲、乙两组共同完成，甲组每天加工的袋数是乙组每天加工的袋数的2倍，乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天． (1)求甲、乙两组每天各能加工多少袋食品； (2)两组人员同时开工3天后，临时又增加了90袋的任务，为了整个工期不超过7天，两组人员从第4天起各自提高了工作效率，甲组的效率仍是乙组效率的2倍，求乙组提高效率后每天至少加工多少袋食品？ 5．某超市计划购进，两种品牌的运动套装（两种品牌的运动套装均购进），其进价和售价如表所示： 进价（元/件） 120 150 售价（元/件） 135 180 (1)若超市计划购进，两种品牌的运动套装共30件，正好用去3900元，，两种品牌的运动套装分别购进多少件？ (2)在（1）的条件下，若超市销售完所有品牌的运动套装后获利不低于785元，求品牌的运动套装最多能购进多少件？并求出全部售完后的总利润．（利润售价进价） 6．初四学年为了鼓励学生的文体生活，组织了一次文体活动，准备一次性购买若干支钢笔和签字笔作为奖品，已知每支签字笔的价格是每支钢笔价格的，且用80元购买签字笔的数量比用80元购买钢笔的数量多3支． (1)购买一支钢笔和一支签字笔各需多少元？ (2)学校准备购买钢笔和签字笔共80支，根据规定，购买的总费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔？ 7．为推动新能源汽车的发展，某城市计划建设一批新能源汽车充电桩．有两种类型的充电桩可供选择，快充充电桩和慢充充电桩，据了解建设一个快充充电桩的费用比建设一个慢充充电桩的费用高2万元．如果建设个快充充电桩和个慢充充电桩，总费用为万元． (1)求建设一个快充充电桩和一个慢充充电桩的费用各是多少万元？ (2)该市准备用不超过万元的资金建设快、慢两种型号的充电桩共个，其中慢充电桩的数量不超过快充电桩数的，该市共有几种建设方案？ 8．某校计划租用两种型号的客车送300名师生去劳动实践基地开展综合实践活动．已知租用1辆A型客车和1辆B型客车共需550元，租用2辆A型客车所需的费用比租用3辆B型客车所需的费用多100元．已知每辆A型客车允许载客35人，每辆B型客车允许载客18人． (1)分别求租用一辆型客车和一辆型客车需要多少元． (2)若学校计划租用12辆客车，至少需要租用A型客车多少辆？ 9．随着人们环保观念的不断加深，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，选择自行车出行已是如今社会的一种潮流形式．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1700元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利1000元，该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ 10．随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，小王所在公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，已知购进A型净水器20台，B型净水器30台共需花费9.4万元，购进A，B型净水器各20台共需花费7.6万元． (1)每台A型和B型净水器的进价各是多少元？ (2)该公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，且购买资金不超过9.8万元．试销时每台A型净水器售价2500元，每台B型净水器售价2180元，该公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献元作为公司帮扶贫困村饮水改造的资金．要使公司售完这50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润最大，应该如何安排进货？ 11．2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 12．如图，学校利用的墙角修建一个梯形的生物乐园，供学生种植花草，进行学习和研究．其中，且．如果新建的两道墙总长15m．设生物乐园面积为m2，的长为m． (1)求与的函数关系式． (2)生物乐园的面积能达到吗？说明理由； (3)当取何值时，才能使生物乐园的面积最大？ 13．踢毽子，又叫“打鸡”，起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐时期，不仅是一项娱乐活动，也是一种体育锻炼方式．某校为进一步推进传统体育项目进校园，计划组织七年级全体学生开展踢毽子比赛，并购买一批毽子作为比赛用品．现有A，B两种品牌的毽子可供选择．已知A品牌毽子的单价比B品牌的贵1元，且用130元购买B品牌毽子的数量是用70元购买A品牌毽子数量的两倍． (1)A，B两种品牌毽子的单价各是多少？ (2)已知该校需购买A，B两种品牌的毽子共300个，且购买的A品牌毽子的数量不低于B品牌的一半，怎样购买才能使购买费用最低？最低费用是多少元？ 14．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出y与x的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元？ (3)在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的40%的前提下，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 15．我校为进一步激发学生劳动热情，在校园开辟了蔬菜种植基地“空翠圃”：种植基地一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为 米)，另三面用长为米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为平方米(中间篱笆忽略不计)，求此时边的长； (2)若每平方米可收获千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学专题复习训练：方程（组）与不等式（组）》参考答案 1．最多购买A种娃娃个 【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题目中的数量关系建立不等式，并通过解不等式找到符合实际意义的整数解．设购买A种娃娃个，则购买B种娃娃为个，列不等式，解得：，再取其中的最大整数值，即可求解． 【详解】解：设购买A种娃娃个，则购买B种娃娃为个， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为， 答：最多购买A种娃娃个． 2．(1)该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件 (2)该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件，根据文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件，列出一元一次方程，即可解答． （2）分别求出A、B两种文具的利润，再相加，即可解答． 【详解】（1）解：设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件，根据题意得：， 解得：， （件）； 答：该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件． （2）（元）； 答：该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润． 3．(1)该产品4月份的销售价格为每件50元 (2)6月份至少销售该产品50件 【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该产品4月份的销售价格为每件元，分别表示出销售量，根据“结果销售量增加20件”建立方程求解； （2）设6月份销售该产品件．先求该产品的进价为元，5、6月份的售价为元，4月份销售产品的件数为件，则5月份销售60件，由题意得，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设该产品4月份的销售价格为每件元． 由题意，得． 解得． 经检验是分式方程的解，且符合题意． 答：该产品4月份的销售价格为每件50元． （2）解：设6月份销售该产品件． 该产品的进价为（元）， 5、6月份的售价为（元）， 4月份销售产品的件数为（件）， 则5月份销售60件， 由题意，得． 解得． 答：6月份至少销售该产品50件． 4．(1)甲组每天能加工60袋食品，乙组每天能加工30袋食品 (2)乙组提高效率后每天至少加工35袋食品 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙组每天能加工袋食品，则甲组每天能加工袋食品，根据“乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天”建立分式方程求解； （2）设乙组提高效率后每天加工袋食品，根据题意得到，再解不等式求解． 【详解】（1）解：设乙组每天能加工袋食品，则甲组每天能加工袋食品． 由题意，得． 解得． 经检验是分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲组每天能加工60袋食品，乙组每天能加工30袋食品． （2）解：设乙组提高效率后每天加工袋食品． 由题意，得， 解得， 答：乙组提高效率后每天至少加工35袋食品． 5．(1)甲、乙两种运动套装分别购进20件，10件 (2)甲运动套装最多能购进7件，全部售完后总利润为795元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设甲、乙两种品牌的运动套装分别购进件，件，根据商店计划购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元得出方程组解答即可； （2）根据商店计划购进甲、乙两种运动套装共30件，且销售完所有运动套装后获利不低于785元，得出不等式解答即可，最后根据利润公式求得获得的利润． 【详解】（1）解：设甲、乙两种品牌的运动套装分别购进件，件，根据题意可得： ， 解得：， 答：甲、乙两种运动套装分别购进20件，10件； （2）解：设甲运动套装购进件，根据题意可得： ， 解得：， 因为取整数， 所以甲运动套装最多能购进7件， 全部售完后总利润：（元)， 答：甲运动套装最多能购进7件，全部售完后总利润为795元． 6．(1)购买一支钢笔需16元，一支签字笔需10元 (2)学校最多可以购买50支钢笔 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出不等式与分式方程是解此题的关键． （1）设购买一支钢笔需元，则购买一支签字笔需元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解； （2）设学校购买支钢笔，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：设购买一支钢笔需元，则购买一支签字笔需元． 由题意得， 解得． 经检验是原方程的解． ． 答：购买一支钢笔需16元，一支签字笔需10元． （2）解：设学校购买支钢笔． 由题意，得． 解得． 答：学校最多可以购买50支钢笔． 7．(1)建设一个慢充充电桩的费用为万元，则建设一个快充充电桩为万元 (2)该市共有3种建设方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式组是解题关键． （1）设建设一个慢充充电桩的费用为万元，则建设一个快充充电桩为万元，根据“建设个快充充电桩和个慢充充电桩，总费用为万元”列出一元一次方程，求解即可； （2）设建设快充充电桩个，建设慢充充电桩为个，根据题意列不等式组，解之即可． 【详解】（1）解：设建设一个慢充充电桩的费用为万元，则建设一个快充充电桩为万元， 根据题意得， 解得， ， 答：建设一个慢充充电桩的费用为万元，则建设一个快充充电桩为万元； （2）解：设建设快充充电桩个，建设慢充充电桩为个， 根据题意得， 解得，即， ∵取整数， ∴取值为，，， 答：该市共有3种建设方案． 8．(1)租用一辆A型客车的费用为350元，租用一辆B型客车的费用为200元 (2)至少需要租用型客车5辆 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式解决实际问题，分析题意，找到数量关系是解题的关键． （1）设租用一辆型客车的费用为元，租用一辆型客车的费用为元．根据“租用1辆A型客车和1辆B型客车共需550元，租用2辆A型客车所需的费用比租用3辆B型客车所需的费用多100元”列出方程组，求解即可； （2）设租用型客车辆，型客车辆，根据租用的两种客车能提供的座位数不少于师生总数300即可列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设租用一辆型客车的费用为元，租用一辆型客车的费用为元． 根据题意得 解得 答：租用一辆A型客车的费用为350元，租用一辆B型客车的费用为200元． （2）解：设租用型客车辆，型客车辆， 根据题意得， 解得． 取整数， 的最小值为5． 答：至少需要租用型客车5辆． 9．销售一台甲型自行车的利润是300元，一台乙型自行车的利润是400元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，根据“销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1700元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利1000元”列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元， 由题意得 解得 答：该公司销售一台甲型自行车的利润是300元，一台乙型自行车的利润是400元． 10．(1)台A型净水器的进价为2000元，每台B型净水器的进价为1800元； (2)当购进A型净水器40台，B型净水器10台时，取最大值，即获得的利润最大． 【分析】此题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组和一次函数解析式是关键． （1）设每台A型净水器的进价为元，每台B型净水器的进价为元．购进A型净水器20台，B型净水器30台共需花费9.4万元，购进A，B型净水器各20台共需花费7.6万元．据此列出方程组，并解方程组即可； （2）设售完这50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为．列出函数解析式，求出自变量的取值范围，根据一次函数的的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设每台A型净水器的进价为元，每台B型净水器的进价为元． 根据题意，得 解得 每台A型净水器的进价为2000元，每台B型净水器的进价为1800元． （2）解：设售完这50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为． 根据题意，得． 当时，， 的值随值的增大而增大． 根据题意，得， 解得． 当购进A型净水器40台，B型净水器10台时，取最大值，即获得的利润最大． 11．(1)每个A种挂件的价格为25元 (2)该游客最多购买11个A种挂件 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； （2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得， 解得， 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种挂件． 12．(1) (2)生物乐园面积的面积能不能达到，见解析 (3)当时，生物乐园的面积最大． 【分析】本题考查求函数解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）由题意可得：的长为，过作于，证明四边形是矩形，得到．证明，得到，根据梯形的面积公式即可列出函数解析式； （2）令，根据一元二次方程根的判别式判断即可； （3）根据二次函数的图象及性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：的长为，过作于． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． （2）解：， 整理得：． ，所以方程没有实数解． 即生物乐园面积的面积能不能达到； （3）解：由（1）可知：． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， 当时，生物乐园的面积最大，最大值为． 13．(1)品牌毽子的单价为14元，品牌毽子的单价为13元 (2)购买品牌毽子100个、品牌毽子200个才能使购买费用最低，最低费用是4000元 【分析】本题考查分式方程与一次函数解决实际问题，理清题意的数量关系是解题的关键． （1）设品牌毽子的单价为元，则品牌毽子的单价为元．根据“用130元购买B品牌毽子的数量是用70元购买A品牌毽子数量的两倍”列出方程，求解即可； （2）设购买品牌毽子个，则购买品牌毽子个．根据“购买的A品牌毽子的数量不低于B品牌的一半”列出不等式，求出a的取值范围．列出购买费用（元）关于购买品牌毽子数量（个）的函数，根据该函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设品牌毽子的单价为元，则品牌毽子的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列分式方程的解． ∴品牌毽子的单价为（元）． 答：品牌毽子的单价为14元，品牌毽子的单价为13元． （2）解：设购买品牌毽子个，则购买品牌毽子个． 根据题意，得，解得． 设购买费用为元，则 ． ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，的值最小，． 此时品牌毽子的个数为个． 答：购买品牌毽子100个、品牌毽子200个才能使购买费用最低，最低费用是4000元． 14．(1)； (2)每双运动鞋的售价应该定为87元； (3)在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得9000元的利润，定价为90元． 【分析】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题． （1）由题意，设y与x的函数关系式为，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 由图可知，函数图象经过点和， ∴， 解得：， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， 答：每双运动鞋的售价应该定为87元； （3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： ∵保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的， ∴， 解得：， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（符合题意）， ∴， 答：在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得9000元的利润，定价为90元． 15．(1)菜地的面积能达到时的长为． (2)该片菜地最多可收获千克的菜． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． （1）设，则，依题意列方程计算即可． （2）设菜地的面积为，依题意构造二次函数计算即可． 【详解】（1）设，则，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：菜地的面积能达到时的长为． （2）设菜地的面积为，依题意，得： ， ∴当时，y有最大值为． 即菜地的最大面积是． ∴（千克）， 答：该片菜地最多可收获千克的菜． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$