期末核心考点复习讲义 指数与对数的同构问题-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

专题2  指数与对数的同构问题【讲*人教A版】 知识点1 六大超越函数的图像和性质 （1）函数的图像和性质 分析：，当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增， 在处取得极小值，即. 图像： （2）函数的图像和性质 分析：，当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增. 图像： （3）函数的图像和性质 分析：，当或时，；当时，， 所以函数在和单调递减，在单调递增. 图像： （4）函数的图像和性质 分析：，当时，；当时，， 所以函数在单调递增，在单调递增. 图像： （5）函数的图像和性质 分析：，当时，；当时，， 所以函数在单调递增，在单调递减. 图像：. （6）函数的图像和性质 分析：，当和时，；当时，， 所以函数在和单调递增，在单调递减. 图像：. 知识点2 常见的同构形式 指对同构的基本运算：. 积型： 商型： 和差型： 知识点3    添项同构乘法同构：，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数 加法同构：，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围. 知识点4    常见结构 ①； ②； ③ ④； 考向一 构造型 【典例解读】 例1.关于的不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先不等式同构为，再构造函数，结合函数的单调性，转化为，，再参变分离，转化为函数的最值问题. 不等式，得， 即， 设函数，，故在上单调递增， 而，即， 则，， 即存在，使，即， 设，，得 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，即 故答案为： 【题后反思】 本题解题关键在于对不等式变形构造函数，利用其单调性化简，在面对含指数、对数不等式，同构变形是重要思路.要熟练掌握函数构造与导数应用判断单调性，通过参变分离求解最值，提升处理这类问题的能力. 【再练一个】 1．已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为，根据的单调性得，再用常数分离法求出的取值范围. 【详解】由得， 即 ， 令，，则， 所以在上单调递增， 而等价于， ∴，即， 令，，则， 所以在时，，递增； 在时，，递减， 所以最大值为，∴． 故选：C 【点睛】方法点睛：同构法解不等式恒成立求参数范围问题时先将原不等式化成 后再利用函数单调性得到与的大小关系，由此得到参数范围. 考向二 构造型 【典例解读】 例2.已知对恒成立，则的最大值为（ ） A．0    B．     C．e    D．1 【答案】D 【分析】由题意得对恒成立，令，利用导数求得，即，再令，利用导数求出的最小值，可求出的取值范围，从而可求出的最大值. 由，得， 所以对恒成立， 令，则在上单调递增， 由，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，即 令， 则在上单调递增， 由，得， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，所以， 所以的最大值为1. 故选：D 【题后反思】 此题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是通过对原不等式变形，将问题转化为对恒成立，然后构造函数，利用导数求出最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 【再练一个】 2．已知若存在，使得成立，则的最大值为 . 【答案】## 【分析】根据两函数的同构特征，不难发现，考查利用函数的单调性推得，从而将转化为，最后通过的最大值求得的最大值. 【详解】因则， 由知时，，即函数在上单调递增. 由可得：且,故得：， 则，不妨设，则， 故当时，，递增，当时，，递减， 即，故的最大值为. 故答案为：. 考向三 构造型 【典例解读】 例3.已知实数x，y满足，则满足条件的y的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】方程化为，，，构造函数，，求出函数的导数，判断函数的单调性，推出，从而，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最值即可． 由实数，满足，可化为，，， 即， 构造函数，，， 当时，，单调递增， 即，可以得到， 从而，构造函数， ，令可以得到， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 从而当时，取最小值，即有最小值． 故选：C． 【题后反思】 本题借助对等式变形，构造和函数求解，关键在于利用函数单调性建立联系，遇到此类含指对混合等式求最值问题，要强化同构变形意识，熟练运用导数研究函数性质，提升转化与化归及运算求解能力. 【再练一个】 3．关于 的不等式恒成立，则实数 的最大值为 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数研究其单调性及最值，分离参数计算即可. 【详解】设， 易知， 则当时，，即此时两函数均单调递增， 当时，，即此时两函数均单调递减， 故， 对于不等式， 由上可知，故， 又单调递增，故. 所以实数a的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：观察不等式结构可发现是指对同构式即原式等价于，构造函数判定其单调性与最值分参计算即可. 考向四 构造型 【典例解读】 例4.若对任意的正实数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可将不等式等价转化为，进而构造函数，从而将恒成立问题等价转化成函数单调性问题，故通过函数单调性即可求解. 由题意， 令，则， 所以当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 由题意当且时，即恒成立， 所以在上单调递减，故，， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【题后反思】 本题的关键点为将条件变形为，从而，通过函数的性质来研究问题. 【再练一个】 4．设函数，若，恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，符合题意；当，构造函数，可得，再构造，利用，可得答案. 【详解】当时，若，则，恒成立，符合题意； 当，，所以， 构造函数，，时，， 所以在上单调递增， 因为，所以，则时，， 所以， ，令， 所以在上递增，上递减， 所以， 所以，又，所以， 综上可得， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两点：（1）分类讨论思想的应用；（2）两次构造函数，利用导数研究函数的单调性、最值，并加以应用. 考向五 构造型 【典例解读】 例5.【多选】若不等式在时恒成立，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】BCD 【分析】构造函数，将恒成立问题转化为恒成立问题，求导，研究单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可. 由得， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，，当时，恒成立， 所以的图象如下： ， ，即，， 对于A：当时，，根据图象可得不恒成立，A错误； 对于B：当时，，根据图象可得恒成立，B正确； 对于C：当时，，根据图象可得恒成立，C正确； 对于D：当时，，又， 因为，且，即， 所以，即， 根据图象可得恒成立，D正确； 故选：BCD. 【题后反思】 对于导数不等式恒成立问题，观察式子结构不方便分离参数，所以尝试通过构造同类型函数来解决问题. 【再练一个】 5．已知函数，，证明：当时，. 【答案】证明见解析 【分析】当时，，即证在上恒成立，利用导数求出函数的单调区间，再利用导数比较在时，和的大小，再证明不等式即可. 【详解】原不等式为，即， 即证在上恒成立， 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，故， 令， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，所以， 且在上有，所以可得到，即， 所以在时，有成立. 考向六 构造和差型 【典例解读】 例6.已知实数a，b满足，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C. 【分析】结合已知条件转化为相同的形式，然后构造函数，通过研究函数的单调性可得，进而结合对数的运算即可化简求得结果. 因为，所以，即， 又因为，即， 构造函数，则恒成立， 故在上单调递增，即存在唯一的实数，使得， 所以，所以，即，所以， 故选：C. 【题后反思】 本题通过对已知等式变形，构造函数求解，处理此类问题关键在于敏锐捕捉等式共性以构造函数，利用导数判断单调性，同时，要熟练对数运算性质，解题需强化变形与函数构造意识，提升运用函数性质解决方程问题的能力. 【再练一个】 （24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末） 6．已知对于都有，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将题意的不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性得到不等式组，再次构造函数，结合导数的应用求出函数的最小值即可. 【详解】由，得， 即，得. 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以，即. 设，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 得，所以， 即实数的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题意的不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性得到不等式组，再次构造函数，结合导数的应用求出函数的最小值即可. 7．设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原不等式转化为恒成立，先判断得出恒成立，结合不等式的基本性质可得恒成立，进而求解即可. 【详解】，即， 因为，所以，即恒成立， 令，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 因为，所以， 若时，不等式恒成立，则恒成立， 若时，，恒成立，则也成立， 所以当时，恒成立，所以得，即， 设 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，所以，即正实数的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：运用同构的基本思想将原不等式转化为恒成立，再运用不等式的性质，先得出恒成立，再运用导数讨论恒成立进而求出结果. （24-25高二上·安徽·期末） 8．若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】## 【分析】首先将不等式转化为，再构造函数，利用导数求函数的单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，利用函数的单调性即可求得结果. 【详解】因为，所以， 即，令，所以， 又，所以在上单调递增，所以， 即，令，所以， 令，解得，令，解得，所以在上单调递增， 在上单调递减，所以，所以，即的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要将不等式转化为，再构造函数，利用导数判断单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，通过两次构造函数即可求得结果. （24-25高二上·浙江宁波·期末） 9．已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先可得，依题意可得对任意恒成立，从而得到对任意恒成立，则对任意恒成立，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意恒成立，显然， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 所以对任意恒成立， 又当时，当时，， 当时，，显然满足对任意恒成立， 当时不等式对任意恒成立， 等价于对任意恒成立； 综上可得，即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则，即实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是同构得到对任意恒成立，从而得到对任意恒成立. 10．已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】不等式同构变形为 ，分类讨论，在时，引入函数，确实单调性后转化为，，由导数求得的最大值，从而可得参数范围． 【详解】因为，，所以等价于. 若，则，，显然恒成立. 若，令，则在上恒成立，则在上单调递增， 由，得，则，则在上恒成立. 令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，从而，解得.综上所述，a的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：不等式同构变形：若不等式能变形为，而是单调的如递增，则转化为，经常用到的如对数与指数间的互化：，，，，等等． 11．，不等式恒成立，求a的最小值是 【答案】 【分析】转化题目所给恒成立的不等式，结合构造函数以及多次求导来求得的取值范围. 【详解】依题意，，不等式恒成立， 即时，不等式恒成立， 即时，不等式恒成立， 构造函数， 设， 所以在区间上，单调递减； 在区间上，单调递增. 所以，所以单调递增， 所以 ，即， 构造函数， 所以在区间上，单调递增； 在区间上，单调递减. 所以， 所以，所以的最小值是. 故答案为： 【点睛】利用导数研究函数的性质，当一次求导无法求得函数的单调性时，可考虑利用多次求导来进行研究，在求解的过程中，要注意原函数和对应的导函数的关系，不能弄混淆.求解含参数不等式恒成立问题，可考虑利用分离参数法进行求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2  指数与对数的同构问题【讲*人教A版】 知识点1 六大超越函数的图像和性质 （1）函数的图像和性质 分析：，当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增， 在处取得极小值，即. 图像： （2）函数的图像和性质 分析：，当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增. 图像： （3）函数的图像和性质 分析：，当或时，；当时，， 所以函数在和单调递减，在单调递增. 图像： （4）函数的图像和性质 分析：，当时，；当时，， 所以函数在单调递增，在单调递增. 图像： （5）函数的图像和性质 分析：，当时，；当时，， 所以函数在单调递增，在单调递减. 图像：. （6）函数的图像和性质 分析：，当和时，；当时，， 所以函数在和单调递增，在单调递减. 图像：. 知识点2 常见的同构形式 指对同构的基本运算：. 积型： 商型： 和差型： 知识点3    添项同构乘法同构：，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数 加法同构：，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围. 知识点4    常见结构 ①； ②； ③ ④； 考向一 构造型 【典例解读】 例1.关于的不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先不等式同构为，再构造函数，结合函数的单调性，转化为，，再参变分离，转化为函数的最值问题. 不等式，得， 即， 设函数，，故在上单调递增， 而，即， 则，， 即存在，使，即， 设，，得 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，即 故答案为： 【题后反思】 本题解题关键在于对不等式变形构造函数，利用其单调性化简，在面对含指数、对数不等式，同构变形是重要思路.要熟练掌握函数构造与导数应用判断单调性，通过参变分离求解最值，提升处理这类问题的能力. 【再练一个】 1．已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考向二 构造型 【典例解读】 例2.已知对恒成立，则的最大值为（ ） A．0    B．     C．e    D．1 【答案】D 【分析】由题意得对恒成立，令，利用导数求得，即，再令，利用导数求出的最小值，可求出的取值范围，从而可求出的最大值. 由，得， 所以对恒成立， 令，则在上单调递增， 由，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，即 令， 则在上单调递增， 由，得， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，所以， 所以的最大值为1. 故选：D 【题后反思】 此题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是通过对原不等式变形，将问题转化为对恒成立，然后构造函数，利用导数求出最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 【再练一个】 2．已知若存在，使得成立，则的最大值为 . 考向三 构造型 【典例解读】 例3.已知实数x，y满足，则满足条件的y的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】方程化为，，，构造函数，，求出函数的导数，判断函数的单调性，推出，从而，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最值即可． 由实数，满足，可化为，，， 即， 构造函数，，， 当时，，单调递增， 即，可以得到， 从而，构造函数， ，令可以得到， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 从而当时，取最小值，即有最小值． 故选：C． 【题后反思】 本题借助对等式变形，构造和函数求解，关键在于利用函数单调性建立联系，遇到此类含指对混合等式求最值问题，要强化同构变形意识，熟练运用导数研究函数性质，提升转化与化归及运算求解能力. 【再练一个】 3．关于 的不等式恒成立，则实数 的最大值为 ． 考向四 构造型 【典例解读】 例4.若对任意的正实数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可将不等式等价转化为，进而构造函数，从而将恒成立问题等价转化成函数单调性问题，故通过函数单调性即可求解. 由题意， 令，则， 所以当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 由题意当且时，即恒成立， 所以在上单调递减，故，， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【题后反思】 本题的关键点为将条件变形为，从而，通过函数的性质来研究问题. 【再练一个】 4．设函数，若，恒成立，则的取值范围是 ． 考向五 构造型 【典例解读】 例5.【多选】若不等式在时恒成立，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】BCD 【分析】构造函数，将恒成立问题转化为恒成立问题，求导，研究单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可. 由得， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，，当时，恒成立， 所以的图象如下： ， ，即，， 对于A：当时，，根据图象可得不恒成立，A错误； 对于B：当时，，根据图象可得恒成立，B正确； 对于C：当时，，根据图象可得恒成立，C正确； 对于D：当时，，又， 因为，且，即， 所以，即， 根据图象可得恒成立，D正确； 故选：BCD. 【题后反思】 对于导数不等式恒成立问题，观察式子结构不方便分离参数，所以尝试通过构造同类型函数来解决问题. 【再练一个】 5．已知函数，，证明：当时，. 考向六 构造和差型 【典例解读】 例6.已知实数a，b满足，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C. 【分析】结合已知条件转化为相同的形式，然后构造函数，通过研究函数的单调性可得，进而结合对数的运算即可化简求得结果. 因为，所以，即， 又因为，即， 构造函数，则恒成立， 故在上单调递增，即存在唯一的实数，使得， 所以，所以，即，所以， 故选：C. 【题后反思】 本题通过对已知等式变形，构造函数求解，处理此类问题关键在于敏锐捕捉等式共性以构造函数，利用导数判断单调性，同时，要熟练对数运算性质，解题需强化变形与函数构造意识，提升运用函数性质解决方程问题的能力. 【再练一个】 （24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末） 6．已知对于都有，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 7．设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （24-25高二上·安徽·期末） 8．若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . （24-25高二上·浙江宁波·期末） 9．已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 10．已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为 . 11．，不等式恒成立，求a的最小值是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$