2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）期末核心考点复习-两个函数的公切线问题讲义

专题3  两个函数的公切线问题【讲*人教A版】 知识点1 求切线方程应注意问题 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y= f(x)在点处的切线方程是；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 知识点2 公切线问题的一般思路 两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到-起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率:②切点在切线上:③切点在曲线上. 知识点3 公切线问题的常见考法 考法①：求公切线方程或根据公切线方程求参数的值； 考法②：判断公切线的条数或根据公切线的条数求参数的范围； 考法③：利用公切线解决函数恒成立或零点问题. 考向一 求公切线的方程 【典例解读】 例1.（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（ ） A．    B． C．    D． 【答案】D 【分析】设直线切函数的图象于点，利用导数的几何意义可得出直线的方程，将直线的方程与函数的解析式联立，由求出的值，即可得出直线的方程. 【详解】设直线切函数的图象于点，则，切线斜率为， 所以切线的方程为，即， 联立可得， ，整理可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，故方程的根为， 因此，直线的方程为，即. 故选：D. 【题后反思】 求两条曲线的公切线，要紧紧把握住斜率相等、截距相等这两个关键点，根据导数的几何意义联立方程组，解出切点坐标，求出切线方程. 【再练一个】 （24-25高二下·山东菏泽·期中） 1．可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与和分别相切于，，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切线的斜率，即可求得答案. 【详解】设与和分别相切于，， 而，， ，， ，解得，，即公切线的斜率为， 故与垂直的直线的斜率为， 所以所求直线方程可为． 故选：D． 考向二 已知公切线的方程求参数的值 【典例解读】 例2.已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设是图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线上的切点，继而求出t的值，结合切线方程，即可求得答案. 【详解】由题意知直线是曲线与曲线的公切线， 设是图象上的切点，， 所以在点处的切线方程为，即① 令，解得， 即直线与曲线的切点为， 所以，即，解得或， 当时，①为，不符合题意，舍去， 所以，此时①可化为，所以， 故选：A 【题后反思】 方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【再练一个】 （24-25高二下·山东临沂·期中） 2．已知过点的直线是曲线与的公共切线，则实数的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【答案】A 【分析】先设切点坐标为，再求切线方程，再将点代入切线方程中，构造函数，通过其单调性求出，进而求出切线方程，再联立切线方程与，利用即可求得. 【详解】设曲线的切点坐标为， 因，则切线斜率为， 故切线方程为， 将点代入切线方程中得，即， 若，则，故，则， 若，则，，，则，即， 令， 则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，即，等号成立时， 故， 故切线方程为， 联立，得， 则，得或. 故选：A 考向三 判断公切线的条数 【典例解读】 例3.已知（为自然对数的底数），，则与的公切线条数（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【解析】 【分析】设直线l是与的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，求出参数即可得到答案. 【详解】根据题意，设直线l与相切于点 ，与相切于点， 对于，，则 则直线l的方程为 ，即， 对于，，则 则直线l的方程为，即， 直线l是与的公切线，则 ， 可得，即或 则切线方程为： 或，切线有两条. 故选：C 【题后反思】 判断公切线条数的问题，一般可以转化为求联立后的方程解的个数问题.即将两个切点的双变量问题首先转化为单一变量，求该变量相关的方程解的个数，也可是如本例所呈现的方法，直接求出切点坐标. 【再练一个】 （24-25高二下·四川成都·期中） 3．已知函数和 (1)若，证明： (2)若，试判断和的公切线条数 【答案】(1)证明见解析 (2)条 【分析】（1）利用放缩法求证，再结合等号成立的条件不同即可证得； （2）先分别设切点并求出切线方程，列出关于的方程组，再消元得出，通过构造函数，研究其零点个数即可判断公切线条数. 【详解】（1）令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即，等号成立时； 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即，等号成立时； 则当时，， 但因等号成立条件不同，故当时，，即成立. （2）设曲线的切点为，因，则切线斜率为， 故切线方程为，即； 设曲线的切点为，因，则切线斜率为， 则切线方程为，即； 由题意得，得， 则，即， 设，则， 设，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 因，， 则由零点存在性定理可知，使得，即， 又时，，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因，， 则由零点存在性定理可知，在和上分别存在一个零点， 则方程存在两个根， 所以和存在两条公切线. 考向四 已知公切线的条数求参数的范围 【典例解读】 例4.已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围. 【详解】由题意可知：， 设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为， 且，，则公切线的斜率，可得， 则公切线方程为， 代入得， 代入可得，整理得， 令，则， 若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根， 设，则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在单调递减，可得， 且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于， 可得，解得，故实数的取值范围为. 故选：A. 【题后反思】 涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围. 【再练一个】 （24-25高二下·湖北·阶段练习） 4．已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点分别为和，再由导数求得斜率相等，得到，构造函数由导数求得参数的范围． 【详解】的导数的导数为， 设与曲线相切的切点为相切的切点为， 则有公共切线斜率为， 又，即有，即为，即有， 则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解， 令，则， 当时，递减，当时，递增， 即有处取得极大值，也为最大值，且为， 由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点， 可得的范围是， 故选：D. 考向五 已知存在公切线求参数范围 【典例解读】 例5.若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出函数的导数，设出曲线与公切线的坐标，利用导数的几何意义求得两切点坐标之间的关系式，进而求出t的表达式，构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案. 【详解】由题意得，， 设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，则，， 当时，，函数与的图象存在公切线，符合题意； 当时，，即， 故， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故，故， 综合得实数t的取值范围为， 故答案为： 【题后反思】 本题的关键是设出曲线与公切线的切点，利用导数的几何意义，求得切点坐标之间关系，关键在于由此结合该关系求得参数t的表达式，进而构造函数，利用导数解决问题. 【再练一个】 （24-25高二下·河南洛阳·期中） 5．若函数与函数的图象有公共切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出两个切点，分别表示出切线，利用两切线方程对应系数相等，解出，将看作关于变量的函数，求得函数的值域即可. 【详解】由题意，设公切线与函数相切于点，与函数相切于点； 又，， 则公切线的斜率，且； 故切线方程为，化简得， 也可以表示为，化简得， 所以，则， 又，则，则. 故选：C. 考向六 利用公切线解决不等式恒成立问题 【典例解读】 例6.设 R，关于 的不等式恒成立，则 的最大值为 . 【答案】 【分析】根据两个函数图象具有公共切线时为临界情况，利用导数求解切线，即可根据公切线求解，或者利用分离参数法，构造函数，利用导数求解函数的单调性，结合零点存在性定理求解即可. 【详解】方法一：令，其中 的图象可以看作 的图象左右平移得到. 因为 在R上恒成立，所以当 具有公共切线时为临界情况. 不妨设公共切点为 ， 由于， 所以且. 当时，，即， 当 时，，将代入， 则 ，即，即， 则. 故的最大值为. 方法二：因为 恒成立，所以 . 令 ，则 设恒成立， 则在R上单调递增， 且， 则，所以存在唯一一个 ，使得，且 . 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则， 故. 故答案为： 【题后反思】 根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况.若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，利用临界相切法（即公切线法）进行放缩就是其中一种很好用的方法． 【再练一个】 （24-25高二下·江苏无锡·期中） 6．已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用公切线与隐零点，将问题转化为关于公切点的对勾函数求值域问题，即可得到答案. 【详解】原不等式等价于，由图可知    若满足题意，只需小于与两个函数相切时的的值即可， 设公切点为，因为，， 所以，所以，所以， 令，所以，所以单调递增， 因为，， 所以存在，使得， 所以，令，则， 根据对勾函数的性质知单调递减， 所以，所以正整数的最大值为. 故选：. 7．若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线和的公切线.曲线和曲线：的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义可知公切线的斜率为和，则，分类讨论当曲线与的切点相同与不相同的情况，求出对应的切点，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】由，得，由得， 设曲线的公切线与曲线的切点为，则切线的斜率为， 与曲线的切点为，则切线的斜率为， 所以. 当曲线与的切点相同时，， 解得，所以切点为，此时公切线的方程为； 当曲线与曲线的切点不同时，，得， 所以，即，解得，此时与矛盾， 故不存在两切点不同的情况， 综上可得：切点的坐标为，公切线的方程为. 故选：A. 8．经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先联立与得到方程组，求出方程组的解，即可求出交点坐标，再设与和分别相切于，，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切线的斜率，再由点斜式求出所求直线方程. 【详解】由，消去整理得， 令，则，所以在上单调递增， 又， 所以方程组的解为， 即曲线与的公共点的坐标为， 设与和分别相切于，， 而，， ，， ，解得， ，即公切线的斜率为， 故与垂直的直线的斜率为， 所以所求直线方程为，整理得． 故选：B． 9．如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把曲线和曲线有且仅有两条公切线，转化为有且仅有两解. 记，利用导数研究单调性和极值，建立不等式，即可解得. 【详解】曲线上一点，，切线方程为：. 曲线上一点，，切线方程为：. 若直线与两条曲线都相切，则有，消去得：. 因为曲线和曲线有且仅有两条公切线， 所以有且仅有两解. 记，则. 令，得，所以在上单增；，得，所以在上单增. 所以. 又有，解得：（舍）或. 当，则；当，则； 而，所以要使有且仅有两解， 只需，解得：. 故选：B 【点睛】导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 10．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得的范围. 【详解】由，得；由，得， 因为曲线与曲线存在公切线， 设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又，则， 将代入，得，则， 所以，令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，则的范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的性质得到，从而得到关于的表达式，从而得解. 11．已知直线与曲线和都相切，切点分别为，则（    ） A． B． C．满足条件的直线有2条 D．满足条件的直线只有1条 【答案】AC 【分析】分别求出切点和切点切线方程，再由直线与两条曲线都相切，由两切线的斜率相等，且在y轴上的截距相等求解. 【详解】解：由题可知直线与曲线相切于点，又， 所以直线的斜率，则在点处的切线方程为， 即， 直线与曲线相切于点 ，则在点处的切线方程为， 即． 因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同， 则且， 则，即， 可得，解得，故A正确，B错误； 把代入，得， 在同一坐标系中，作出函数的图象，如图所示： 由图象知：的值有两个，故C正确，D错误． 故选：AC （24-25高二下·四川绵阳·期中） 12．已知直线既是函数的切线也是二次函数的切线，则 . 【答案】## 【分析】设出切点，利用导数几何意义得到方程组，求出，. 【详解】设直线与函数相切于点， 与相切于点， 其中，， 故且，， 联立与得，解得，故， 又，故，即， 化简得 将代入中得 ，解得. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3  两个函数的公切线问题【讲*人教A版】 知识点1 求切线方程应注意问题 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y= f(x)在点处的切线方程是；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 知识点2 公切线问题的一般思路 两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到-起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率:②切点在切线上:③切点在曲线上. 知识点3 公切线问题的常见考法 考法①：求公切线方程或根据公切线方程求参数的值； 考法②：判断公切线的条数或根据公切线的条数求参数的范围； 考法③：利用公切线解决函数恒成立或零点问题. 考向一 求公切线的方程 【典例解读】 例1.（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（ ） A．    B． C．    D． 【答案】D 【分析】设直线切函数的图象于点，利用导数的几何意义可得出直线的方程，将直线的方程与函数的解析式联立，由求出的值，即可得出直线的方程. 【详解】设直线切函数的图象于点，则，切线斜率为， 所以切线的方程为，即， 联立可得， ，整理可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，故方程的根为， 因此，直线的方程为，即. 故选：D. 【题后反思】 求两条曲线的公切线，要紧紧把握住斜率相等、截距相等这两个关键点，根据导数的几何意义联立方程组，解出切点坐标，求出切线方程. 【再练一个】 （24-25高二下·山东菏泽·期中） 1．可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 考向二 已知公切线的方程求参数的值 【典例解读】 例2.已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设是图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线上的切点，继而求出t的值，结合切线方程，即可求得答案. 【详解】由题意知直线是曲线与曲线的公切线， 设是图象上的切点，， 所以在点处的切线方程为，即① 令，解得， 即直线与曲线的切点为， 所以，即，解得或， 当时，①为，不符合题意，舍去， 所以，此时①可化为，所以， 故选：A 【题后反思】 方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【再练一个】 （24-25高二下·山东临沂·期中） 2．已知过点的直线是曲线与的公共切线，则实数的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 考向三 判断公切线的条数 【典例解读】 例3.已知（为自然对数的底数），，则与的公切线条数（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【解析】 【分析】设直线l是与的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，求出参数即可得到答案. 【详解】根据题意，设直线l与相切于点 ，与相切于点， 对于，，则 则直线l的方程为 ，即， 对于，，则 则直线l的方程为，即， 直线l是与的公切线，则 ， 可得，即或 则切线方程为： 或，切线有两条. 故选：C 【题后反思】 判断公切线条数的问题，一般可以转化为求联立后的方程解的个数问题.即将两个切点的双变量问题首先转化为单一变量，求该变量相关的方程解的个数，也可是如本例所呈现的方法，直接求出切点坐标. 【再练一个】 （24-25高二下·四川成都·期中） 3．已知函数和 (1)若，证明： (2)若，试判断和的公切线条数 考向四 已知公切线的条数求参数的范围 【典例解读】 例4.已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围. 【详解】由题意可知：， 设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为， 且，，则公切线的斜率，可得， 则公切线方程为， 代入得， 代入可得，整理得， 令，则， 若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根， 设，则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在单调递减，可得， 且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于， 可得，解得，故实数的取值范围为. 故选：A. 【题后反思】 涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围. 【再练一个】 （24-25高二下·湖北·阶段练习） 4．已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 考向五 已知存在公切线求参数范围 【典例解读】 例5.若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出函数的导数，设出曲线与公切线的坐标，利用导数的几何意义求得两切点坐标之间的关系式，进而求出t的表达式，构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案. 【详解】由题意得，， 设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，则，， 当时，，函数与的图象存在公切线，符合题意； 当时，，即， 故， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故，故， 综合得实数t的取值范围为， 故答案为： 【题后反思】 本题的关键是设出曲线与公切线的切点，利用导数的几何意义，求得切点坐标之间关系，关键在于由此结合该关系求得参数t的表达式，进而构造函数，利用导数解决问题. 【再练一个】 （24-25高二下·河南洛阳·期中） 5．若函数与函数的图象有公共切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考向六 利用公切线解决不等式恒成立问题 【典例解读】 例6.设 R，关于 的不等式恒成立，则 的最大值为 . 【答案】 【分析】根据两个函数图象具有公共切线时为临界情况，利用导数求解切线，即可根据公切线求解，或者利用分离参数法，构造函数，利用导数求解函数的单调性，结合零点存在性定理求解即可. 【详解】方法一：令，其中 的图象可以看作 的图象左右平移得到. 因为 在R上恒成立，所以当 具有公共切线时为临界情况. 不妨设公共切点为 ， 由于， 所以且. 当时，，即， 当 时，，将代入， 则 ，即，即， 则. 故的最大值为. 方法二：因为 恒成立，所以 . 令 ，则 设恒成立， 则在R上单调递增， 且， 则，所以存在唯一一个 ，使得，且 . 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则， 故. 故答案为： 【题后反思】 根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况.若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，利用临界相切法（即公切线法）进行放缩就是其中一种很好用的方法． 【再练一个】 （24-25高二下·江苏无锡·期中） 6．已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线和的公切线.曲线和曲线：的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 9．如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．已知直线与曲线和都相切，切点分别为，则（    ） A． B． C．满足条件的直线有2条 D．满足条件的直线只有1条 （24-25高二下·四川绵阳·期中） 12．已知直线既是函数的切线也是二次函数的切线，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$