期末核心考点复习讲义 利用导数解决零点问题-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

专题5  利用导数解决零点问题【讲*人教A版】 知识点1 函数零点的概念 已知函数 ，若实数满足，则称为函数的零点．从函数图象上看，函数的零点即为其图象轴交点的横坐标，从方程的角度看，函数的零点就是方程的解． 知识点2 零点存在性定理 已知函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有一个点，使得，即函数在区间内至少存在一个零点． 【注意】在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提；零点存在性定理有如下结论：① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个；② 若，那么在不一定有零点；③ 若在有零点，则不一定必须异号． 知识点3 函数的零点、方程的根、两图象交点之间的联系 函数的零点即为满足方程的根，若，则方程可转变为，即方程的根在坐标系中为交点的横坐标，其范围和个数可从图象中得到．因此，函数的零点，方程的根，两图象的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化． 考向一 判断函数零点的个数 【典例解读】 例1.（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)讨论的零点个数； (2)记，证明：在上，当时，的图象恒在的图象上方. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）令，将问题转化为直线与曲线的交点个数问题，求得函数的增减区间和最值，再对a分情况讨论即可得到结果； （2）令，求导计算得到，要证的图象恒在的图象上方，只需证，求导得到，结论即可证明. （1）令，得， 即的零点个数可看作直线与曲线的交点个数问题； 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，当时，，当时，， 当时，，当时，. 所以当时，直线与曲线有2个交点； 当或时，直线与曲线有1个交点； 当时，直线与曲线无交点. 故时，函数的零点个数是2； 或时，函数的零点个数是1； 时，函数的零点个数是0. （2）令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以成立，所以， 要证的图象恒在的图象上方， 即证在上恒成立， 又，只需证， 故只需证， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 故， 所以当时，，所以恒成立， 所以的图象恒在的图象上方. 【题后反思】 导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方. 【再练一个】 （24-25高二下·广西河池·阶段练习） 1．已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)当，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)当，时，，. (2)当时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点. 【分析】（1）先求出函数的导数，根据导数判断函数在给定区间的单调性，进而求出最值；（2）同样先求导，根据的取值范围讨论函数的单调性，再结合函数的特殊值判断零点个数. 【详解】（1）当时，，对其求导得. 令，即，解得. 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增. 则在处取得极小值，也是最小值. . 且，. 因为， 综上所得，当，时，，. （2）， ①当时，，所以在上单调递增，又因为，所以函数只有1个零点； ②当时，由得，所以在上单调递减， 又由得，所以在上单调递增， 因为，且所以， 因为，所以存在使得， 所以函数有2个零点； 综上所得，当时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点. 考向二 证明零点的唯一存在性 【典例解读】 例2.（2025·广东珠海·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的零点个数； (2)当时，证明：在区间内存在唯一的零点； (3)若对于任意的，都有，求整数的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)3 【分析】（1）求导得到单调性，利用零点存在定理即可证明结论； （2）求导得到单调性，利用零点存在定理即可证明结论； （3）利用分离参数法得到，令，求导得到函数最小值，即可得到结果. （1）由， 当时，由得，在上单调递减， 解得， 当时，在内只有一个零点． 当时，，在上单调递减. ，，. 又， 在内有一个零点． 又在上单调递减， 当时，在内有一个零点． 综上，当时，只有一个零点． （2）证明：当时，，， 当时，， 在上单调递增， ，， 在区间内存在唯一的零点． （3），且，， 令，则，， 由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点， 设该零点为，则， 故当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， ， ， 故整数的最大值为3． 【题后反思】 函数存在唯一零点的条件一般是：一是函数在区间上存在零点，可由零点存在定理证明；二是函数在该区间上单调. 【再练一个】 2．已知函数． (1)求函数的单调减区间； (2)设，求证：函数在上有唯一零点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数小于0的不等式即得. （2）求出并变形，构造函数，利用导数探讨的零点个数即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由，即，解得， 所以函数的单调减区间是. （2）依题意，，令， 函数在上有唯一零点，当且仅当函数在上有唯一零点， 求导得，显然函数在上单调递增，而， 则存在，使得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 显然，因此函数在上存在唯一零点， 从而函数在上存在唯一零点， 所以函数在上有唯一零点. 考向三 已知零点个数求参数范围 【典例解读】 例3.（24-25高二下·河南三门峡·期末）已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ） A．    B． C．    D． 【答案】D 【分析】先对函数求导，分析其单调性，再结合函数的零点情况确定的取值范围.涉及到的知识点有导数与函数单调性的关系以及函数零点的概念. 函数的定义域为. 对求导，可得：. 当时，在上，，即，所以在上单调递减，此时不可能有两个零点. 当时，令，即，因为，所以，解得（负根舍去）. 当时，，，在上单调递增； 当时，，，在上单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值，.   因为当和时，，要使有两个零点，则，即. 因为，不等式两边同时除以得，即. 根据对数函数的单调性，在上单调递增，所以，两边同时平方可得，解得. 的取值范围是. 故选：D. 【题后反思】 已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 【再练一个】 3．已知函数. (1)求的单调区间； (2)若有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2). 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）依题意只需满足，解得即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 且 令，解得或，则函数在上单调递增； 令，解得，则函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）知函数在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 则，， 且当时，，当时，， 要使得函数有三个零点，则需满足， 解得， 综上可得，实数的取值范围. 考向四 构造函数解决零点证明问题 【典例解读】 例4.（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)已知函数有两个零点，， ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程； （2）①首先判断函数的单调性，以及极值，根据函数的零点个数判断，再通过构造函数，根据函数的单调性，以及零点，求解不等式的解集；②根据函数的单调性，转化为证明，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可证明. （1）当时，， 则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即； （2）①函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，在上单调递增，所以不可能有2个零点； 当时，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，当时，， 所以要满足函数有2个零点，只需， 即， 整理得， 设，函数的定义域为， 则，所以在定义域上单调递增， 且，则不等式的解集为， 所以的取值范围为； ②由①知，，则， 要证明，即证明， 不妨设， 因为，所以， 又，函数在上单调递增， 此时需证明， 当，时， 可得， 因为，即证明， 设，函数的定义域为， 则 ， 所以在单调递增，则， ，所以， 所以， 即，命题得证. 【题后反思】 对于双变量问题，常构造差函数或者利用比值换元，利用消元转化的思想将多元化为单变量，本题适当利用放缩，可极大的简化计算量. 【再练一个】 4．已知函数， (1)讨论的单调性； (2)若存在两个零点 （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用导数分类求解函数的单调区间即可. （2）（ⅰ）由（1）的信息，求出存在最小值并且小于0的a值范围，再利用零点存在性定理判断即可；（ⅱ）由零点的意义用表示，再借助分析法构造函数推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，则函数在R上单调递增； 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）（ⅰ）由（1）可知，当时，在R上单调递增，最多有一个零点，不合题意， 当时，在时取得极小值也是最小值， ， 若有两个零点，则，即，而，解得， 由，得函数在上有一个零点，即在上唯一零点； 令函数，求导得，函数在上单调递增， 则，即，取， 于是， 因此函数在上有一个零点，即在上有唯一零点， 所以a的取值范围为． （ⅱ）由是的两个零点，得，不妨令， 两式相减得，令，要证， 只需证 ，令， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，，则函数在上单调递增，， 所以成立，即成立. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 考向五 隐零点在函数问题中的应用 【典例解读】 例5.（24-25高三上·天津西青·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：有唯一极值点； (3)若有唯一零点，求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数在某点处的导数的几何意义求得切线的斜率，再利用点斜式求切线方程即可； （2）利用二次求导判断导函数在上单调递增，再构造函数判断，结合即可得存在唯一的，使得，从而证得有唯一极值点； （3）由（2）知函数有唯一极小值点，结合有唯一零点，可得，利用，得，进一步得，利用导函数判断函数的单调性，结合区间端点处的函数值的符号即可证得. （1）函数的定义域为， 因为，所以， 则， 所以斜率，又， 所以切线方程为，即. （2）因为，， 所以，， 令，， 则，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 构造函数，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以，即， 所以， 又，所以存在唯一的，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以函数有唯一极值点. （3）由（2）得， 因为函数有唯一零点，所以，所以， 即，所以， 设，所以， 所以在单调递减， 因为，所以. 【题后反思】 求函数零点时，注意利用导数研究出函数的单调性后，根据零点存在性定理可确定出函数的隐零点，求最值时，要注意对隐零点的使用，才能化简求值. 【再练一个】 5．已知，为的导数. (1)证明：当时，； (2)讨论在上的零点个数，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)有2个零点，证明见解析 【分析】（1）利用二次求导可得的单调性，进而求解； （2）由（1），根据零点的存在性定理的应用，研究函数的单调性，得，判断的单调性可得，即在R上有2个零点；结合和三角函数的有界性即可证明. 【详解】（1），则， 设，则， 所以在上单调递减，且， 故，即. 故当时，； （2）由（1）知， 在R上单调递减，且， 所以使得，即， 所以，，即；，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，；当时，， 所以， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增，且，则， 所以在R上有2个零点； 由，， 得， 即，所以. 【点睛】关键点点睛：求函数零点时，注意利用导数研究出函数的单调性后，根据零点存在性定理可确定出函数的隐零点，求最值时，要注意对隐零点的使用，才能化简求值，属于难题. （2025·四川成都·三模） 6．函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有且只有一个零点，将其转化为函数的图象与直线有且只有一个交点，求导判断函数的单调性，求出其最小值，即得参数的值. 【详解】由，可得. 令，则， 则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 且当时，；当时，， 因函数有且只有一个零点， 即函数的图象与直线有且只有一个交点， 故. 故选：B. （2025·贵州毕节·模拟预测） 7．已知函数，则（    ） A．当时，的单调递减区间为 B．存在，使得有三个零点 C．当时，的极小值点为 D．当时，曲线的对称中心为 【答案】AD 【分析】选项A，代入求导，通过导函数的正负区间，即可判定；选项B，通过求导判断函数的单调性，得函数的极大值和极小值都小于0，故可以判断不存在，使得有三个零点；选项C，通过求导判断函数的单调性，得为函数极小值点；选项D，通过图像的平移性质即可判断. 【详解】由，得， 对于A，当时，，令，即， 解得或， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减，故A正确； 对于B，令，解得或， 又，所以当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以当时，函数取得极大值，， 当时，函数取得极小值，， 所以不存在，使得有三个零点，故B错误； 对于C，令，解得或， 又，所以当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，是函数的极小值点，故C错误； 对于D，当时，函数，曲线， 因为的对称中心为，曲线的图像可由的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到， 根据函数图像的平移性质，曲线的对称中心为，故D正确. 故选：AD. 8．设函数，是函数的导函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，试判断在区间上的零点的个数； 【答案】(1)； (2)零点个数为0； 【分析】（1）根据题意，求得，得到，，结合导数的几何意义，即可求解； （2）若，求得，设，求得函数为奇函数，以及和的区间，得出函数单调单调性，进而得到答案. 【详解】（1）由函数，可得， 则，， 故曲线在处的切线方程为. （2）若，则，则， 设，则， 可得，且，故函数为奇函数， 当时，，，这时， 又函数为奇函数，所以当时，， 综上可得，当时，单调递增，当时，单调递减， 又由 ，，故在上恒成立， 所以在上没有零点，即零点个数为0. （2025·河北秦皇岛·三模） 9．设函数． (1)求的图象在处的切线方程； (2)记，若，试讨论在上的零点个数． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程； （2）令，二次求导可得，可得在上单调递增，在上单调递减，结合已知可得，使得，即可得的单调性，进而可得结论. 【详解】（1），所以，又， 所以的图象在处的切线方程为． （2）由已知得，所以， 令，则． 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减． 当时，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因为，故函数在上无零点， 又因为，由零点存在定理可得在上有且只有一个零点． 综上所述，当时，函数在上的零点个数为1． （24-25高二下·吉林长春·期中） 10．设函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，证明只有一个零点. 【答案】(1)极大值为，没有极小值； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）应用导数求函数的极值即可； （2）应用导数及分类讨论求的区间单调性； （3）应用分类讨论，应用导数研究的单调性，结合零点存在性定理确定各情况下函数零点的个数，即可证； 【详解】（1）当时，，则， 时，，时，. 在上为增函数，在上为减函数，， 当时，的极大值为，没有极小值. （2）， . ①当时，时时， 故时，在上为增函数，在上为减函数； ②当时，，则在上为增函数； ③当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数； ④当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数. （3）由（2）知： ①当时，在上为增函数，且， 则在上只有一个零点； ②当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为，且. 令，则， 在上为减函数，， 所以时，，即， ，则只有一个零点. ③当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且. 令，且， 则，则在上为增函数， 故时有， 即，则只有一个零点. 综上所述，当时，只有一个零点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5  利用导数解决零点问题【讲*人教A版】 知识点1 函数零点的概念 已知函数 ，若实数满足，则称为函数的零点．从函数图象上看，函数的零点即为其图象轴交点的横坐标，从方程的角度看，函数的零点就是方程的解． 知识点2 零点存在性定理 已知函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有一个点，使得，即函数在区间内至少存在一个零点． 【注意】在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提；零点存在性定理有如下结论：① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个；② 若，那么在不一定有零点；③ 若在有零点，则不一定必须异号． 知识点3 函数的零点、方程的根、两图象交点之间的联系 函数的零点即为满足方程的根，若，则方程可转变为，即方程的根在坐标系中为交点的横坐标，其范围和个数可从图象中得到．因此，函数的零点，方程的根，两图象的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化． 考向一 判断函数零点的个数 【典例解读】 例1.（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)讨论的零点个数； (2)记，证明：在上，当时，的图象恒在的图象上方. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）令，将问题转化为直线与曲线的交点个数问题，求得函数的增减区间和最值，再对a分情况讨论即可得到结果； （2）令，求导计算得到，要证的图象恒在的图象上方，只需证，求导得到，结论即可证明. （1）令，得， 即的零点个数可看作直线与曲线的交点个数问题； 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，当时，，当时，， 当时，，当时，. 所以当时，直线与曲线有2个交点； 当或时，直线与曲线有1个交点； 当时，直线与曲线无交点. 故时，函数的零点个数是2； 或时，函数的零点个数是1； 时，函数的零点个数是0. （2）令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以成立，所以， 要证的图象恒在的图象上方， 即证在上恒成立， 又，只需证， 故只需证， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 故， 所以当时，，所以恒成立， 所以的图象恒在的图象上方. 【题后反思】 导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方. 【再练一个】 （24-25高二下·广西河池·阶段练习） 1．已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)当，讨论函数的零点个数. 考向二 证明零点的唯一存在性 【典例解读】 例2.（2025·广东珠海·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的零点个数； (2)当时，证明：在区间内存在唯一的零点； (3)若对于任意的，都有，求整数的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)3 【分析】（1）求导得到单调性，利用零点存在定理即可证明结论； （2）求导得到单调性，利用零点存在定理即可证明结论； （3）利用分离参数法得到，令，求导得到函数最小值，即可得到结果. （1）由， 当时，由得，在上单调递减， 解得， 当时，在内只有一个零点． 当时，，在上单调递减. ，，. 又， 在内有一个零点． 又在上单调递减， 当时，在内有一个零点． 综上，当时，只有一个零点． （2）证明：当时，，， 当时，， 在上单调递增， ，， 在区间内存在唯一的零点． （3），且，， 令，则，， 由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点， 设该零点为，则， 故当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， ， ， 故整数的最大值为3． 【题后反思】 函数存在唯一零点的条件一般是：一是函数在区间上存在零点，可由零点存在定理证明；二是函数在该区间上单调. 【再练一个】 2．已知函数． (1)求函数的单调减区间； (2)设，求证：函数在上有唯一零点． 考向三 已知零点个数求参数范围 【典例解读】 例3.（24-25高二下·河南三门峡·期末）已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ） A．    B． C．    D． 【答案】D 【分析】先对函数求导，分析其单调性，再结合函数的零点情况确定的取值范围.涉及到的知识点有导数与函数单调性的关系以及函数零点的概念. 函数的定义域为. 对求导，可得：. 当时，在上，，即，所以在上单调递减，此时不可能有两个零点. 当时，令，即，因为，所以，解得（负根舍去）. 当时，，，在上单调递增； 当时，，，在上单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值，.   因为当和时，，要使有两个零点，则，即. 因为，不等式两边同时除以得，即. 根据对数函数的单调性，在上单调递增，所以，两边同时平方可得，解得. 的取值范围是. 故选：D. 【题后反思】 已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 【再练一个】 3．已知函数. (1)求的单调区间； (2)若有三个零点，求的取值范围. 考向四 构造函数解决零点证明问题 【典例解读】 例4.（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)已知函数有两个零点，， ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程； （2）①首先判断函数的单调性，以及极值，根据函数的零点个数判断，再通过构造函数，根据函数的单调性，以及零点，求解不等式的解集；②根据函数的单调性，转化为证明，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可证明. （1）当时，， 则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即； （2）①函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，在上单调递增，所以不可能有2个零点； 当时，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，当时，， 所以要满足函数有2个零点，只需， 即， 整理得， 设，函数的定义域为， 则，所以在定义域上单调递增， 且，则不等式的解集为， 所以的取值范围为； ②由①知，，则， 要证明，即证明， 不妨设， 因为，所以， 又，函数在上单调递增， 此时需证明， 当，时， 可得， 因为，即证明， 设，函数的定义域为， 则 ， 所以在单调递增，则， ，所以， 所以， 即，命题得证. 【题后反思】 对于双变量问题，常构造差函数或者利用比值换元，利用消元转化的思想将多元化为单变量，本题适当利用放缩，可极大的简化计算量. 【再练一个】 4．已知函数， (1)讨论的单调性； (2)若存在两个零点 （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 考向五 隐零点在函数问题中的应用 【典例解读】 例5.（24-25高三上·天津西青·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：有唯一极值点； (3)若有唯一零点，求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数在某点处的导数的几何意义求得切线的斜率，再利用点斜式求切线方程即可； （2）利用二次求导判断导函数在上单调递增，再构造函数判断，结合即可得存在唯一的，使得，从而证得有唯一极值点； （3）由（2）知函数有唯一极小值点，结合有唯一零点，可得，利用，得，进一步得，利用导函数判断函数的单调性，结合区间端点处的函数值的符号即可证得. （1）函数的定义域为， 因为，所以， 则， 所以斜率，又， 所以切线方程为，即. （2）因为，， 所以，， 令，， 则，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 构造函数，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以，即， 所以， 又，所以存在唯一的，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以函数有唯一极值点. （3）由（2）得， 因为函数有唯一零点，所以，所以， 即，所以， 设，所以， 所以在单调递减， 因为，所以. 【题后反思】 求函数零点时，注意利用导数研究出函数的单调性后，根据零点存在性定理可确定出函数的隐零点，求最值时，要注意对隐零点的使用，才能化简求值. 【再练一个】 5．已知，为的导数. (1)证明：当时，； (2)讨论在上的零点个数，并证明. （2025·四川成都·三模） 6．函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． （2025·贵州毕节·模拟预测） 7．已知函数，则（    ） A．当时，的单调递减区间为 B．存在，使得有三个零点 C．当时，的极小值点为 D．当时，曲线的对称中心为 8．设函数，是函数的导函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，试判断在区间上的零点的个数； （2025·河北秦皇岛·三模） 9．设函数． (1)求的图象在处的切线方程； (2)记，若，试讨论在上的零点个数． （24-25高二下·吉林长春·期中） 10．设函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，证明只有一个零点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$