期末核心考点复习讲义 利用导数解决恒成立问题-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

专题4  利用导数解决恒成立问题【讲*人教A版】 知识点1 利用导数解决恒成立问题的基本策略 （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； （3）适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； （4）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 知识点2 利用参变分离法求解恒成立（有解）问题的基本原则 （1） （2） （3） （4） 知识点3 不等式恒成立（有解）问题的转化规则 已知函数 （1）若有成立，则 （2）若有成立，则 （3）若有成立，则 （4）若有成立，则的值域是值域的子集. 考向一 直接求导法解决恒成立问题 【典例解读】 例1.已知函数，若，，则实数a的取值范围是（    ） A.    B.    C.    D. 【答案】B 【分析】求出，然后对导函数再次求导，通过讨论单调性以及零点来求使不等式恒成立的实数a的取值范围. 【详解】由已知，则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 当时，，当时， 所以存在使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，不合题意， 所以则实数a的取值范围是. 故选：B. 【题后反思】 要重视导数工具，通过二阶导数研究一阶导数的单调性，再结合端点值和零点判断原函数趋势，关键是把握导数与函数性态的关联，提升分析复杂函数问题的能力 . 【再练一个】 1．设函数，若对于都有成立，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考向二 参变分离法解决恒成立问题 【典例解读】 例2.（2025·广东广州·三模）若不等式（为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数的最大值为（    ） A.0    B.1    C.    D. 【答案】C 【分析】，不等式恒成立，故只需考虑，分类参数构造函数，求导可得. 【详解】依题，，则时，不等式恒成立，故只需考虑，此时有， 令，则， 易知在单调递减，在上单调递增， 所以，∴实数的最大值为. 故选：C. 【题后反思】 参变分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可. 【再练一个】 （24-25高二下·山东淄博·期中） 2．已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是 . 考向三 分类讨论法解决恒成立问题 【典例解读】 例3.（24-25高二下·江苏盐城·期中）设函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A.    B.    C.    D.1 【答案】C 【分析】通过分析与的符号情况，结合临界值，进行、、三类讨论，即可得出恒成立，等价于，然后构造函数，利用导数即可求解. 【详解】要使得在上恒成立，则，且无变号零点， 分析与的符号情况如下： 当时，，当时，，令，即， ①当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； ②当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； ③当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； 综上，当时，在上恒成立. 所以，令，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，即 故选：C 【题后反思】 本题需结合函数恒成立条件，分析因式符号关联，通过临界值建立b与a关系，再构造函数用导数求最值. 【再练一个】 （24-25高二下·湖北黄石·阶段练习） 3．已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 考向四 构造函数法解决恒成立问题 【典例解读】 例4.（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（    ） A.    B.    C.    D. 【答案】A 【分析】利用向量的运算，求得模长，整理不等式，构造函数研究其单调性，利用导数，可得答案. 【详解】已知向量的夹角为的单位向量，则， 所以， 所以对任意的，且，则， 所以，即， 设，即在上单调递减， 又时，，解得， 所以在上单调递增； 在上单调递减，所以， 故选：A. 【题后反思】 根据相似结构构造辅助函数，即所谓同构.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形解决恒成立问题. 【再练一个】 4．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考向五 切线放缩法解决恒成立问题 【典例解读】 例5.（24-25高二下·天津滨海新·期中）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如：在点(0，1)处的切线为，如图所示，易知除切点(0，1)外，图象上其余所有的点均在的上方，故有.该结论可通过构造函数并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.请根据以上材料，下列命题中正确的是（    ） ①； ②； ③； ④. A.①②    B.①②④    C.①②③    D.①②③④ 【答案】D 【分析】利用已知不等式，可变形得到，然后再进行赋值代入证明各选项，即可. 【详解】对于①，对，由于恒成立，可得，当时，两边取自然对数得， 所以有，即，故①正确； 对于②，对，由于恒成立，可得，即，故②正确； 对于③，对，由于恒成立，可得，因为， 所以有，即，故③正确； 对于④，对，由于恒成立，可得， 当时，两边取自然对数得， 把用代得：， 又因为，所以有，故④正确； 故选：D. 【题后反思】 数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 【再练一个】 5．已知对存在的，不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 考向六 两个函数的恒成立问题 【典例解读】 例6.已知函数，，若，且关于x不等式在上恒成立，其中e是自然对数的底数，则m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由题意可知在上恒成立，利用导数分别求出，即，解不等式即可. 【详解】由，得， 令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故； 由，得， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故. 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 即，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：D 【题后反思】 两个函数的恒成立问题遵循以下原则： （1）若有成立，则 （2）若有成立，则 （3）若有成立，则 （4）若有成立，则的值域是值域的子集. 【再练一个】 （24-25高二下·天津滨海新·期中） 6．已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数的取值范围是 7．已知函数在区间上单调递减，则实数的最小值为（    ） A． B． C．0 D． （2025·江西新余·模拟预测） 8．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （24-25高二下·江苏苏州·阶段练习） 10．已知函数． (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． （2025·安徽合肥·模拟预测） 11．已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，求证：对恒成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4  利用导数解决恒成立问题【讲*人教A版】 知识点1 利用导数解决恒成立问题的基本策略 （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； （3）适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； （4）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 知识点2 利用参变分离法求解恒成立（有解）问题的基本原则 （1） （2） （3） （4） 知识点3 不等式恒成立（有解）问题的转化规则 已知函数 （1）若有成立，则 （2）若有成立，则 （3）若有成立，则 （4）若有成立，则的值域是值域的子集. 考向一 直接求导法解决恒成立问题 【典例解读】 例1.已知函数，若，，则实数a的取值范围是（    ） A.    B.    C.    D. 【答案】B 【分析】求出，然后对导函数再次求导，通过讨论单调性以及零点来求使不等式恒成立的实数a的取值范围. 【详解】由已知，则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 当时，，当时， 所以存在使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，不合题意， 所以则实数a的取值范围是. 故选：B. 【题后反思】 要重视导数工具，通过二阶导数研究一阶导数的单调性，再结合端点值和零点判断原函数趋势，关键是把握导数与函数性态的关联，提升分析复杂函数问题的能力 . 【再练一个】 1．设函数，若对于都有成立，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】思路一：直接求得函数单调区间、表示出最小值，进而可列出不等式组求解； 思路二：分类讨论并分离参数，进一步换元，通过构造函数，求导得函数最值即可求解. 【详解】法一：直接求导法 ，令得， 时，单调递增；时，单调递减； 时，单调递增； 故或，只需， 法二：分离参数法 ， 令， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 时，；时，， 所以． 当时，恒成立，所以, 综上可知若对于都有成立，则， 故选：C. 【点睛】思路点睛：法一：直接求导法，此法的好处是省去了分类讨论的步骤，法二：分离参数法，此法的好处是可以直接构造新的函数，只需求新的函数最值即可. 考向二 参变分离法解决恒成立问题 【典例解读】 例2.（2025·广东广州·三模）若不等式（为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数的最大值为（    ） A.0    B.1    C.    D. 【答案】C 【分析】，不等式恒成立，故只需考虑，分类参数构造函数，求导可得. 【详解】依题，，则时，不等式恒成立，故只需考虑，此时有， 令，则， 易知在单调递减，在上单调递增， 所以，∴实数的最大值为. 故选：C. 【题后反思】 参变分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可. 【再练一个】 （24-25高二下·山东淄博·期中） 2．已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题将问题转化为不等式在上恒成立，设，通过求导判断函数的单调性，求得，从而推得，即得a的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 由可得，即在上恒成立. 设，则，设，显然在上单调递增， 因，故存在，使得，则，即. 当时，，则在上递增；当时，，则在上递减. 故当时，，故有， 即得，故正数a的取值范围是. 故答案为：. 考向三 分类讨论法解决恒成立问题 【典例解读】 例3.（24-25高二下·江苏盐城·期中）设函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A.    B.    C.    D.1 【答案】C 【分析】通过分析与的符号情况，结合临界值，进行、、三类讨论，即可得出恒成立，等价于，然后构造函数，利用导数即可求解. 【详解】要使得在上恒成立，则，且无变号零点， 分析与的符号情况如下： 当时，，当时，，令，即， ①当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； ②当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； ③当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； 综上，当时，在上恒成立. 所以，令，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，即 故选：C 【题后反思】 本题需结合函数恒成立条件，分析因式符号关联，通过临界值建立b与a关系，再构造函数用导数求最值. 【再练一个】 （24-25高二下·湖北黄石·阶段练习） 3．已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题设有恒成立，构造并应用导函数研究其值域，讨论、、研究对应不等式恒成立求参数范围. 【详解】由， 设，即在上单调递减， 且时，所以， 当时，，则恒成立，由， 当时，，则恒成立，不存在这样的a， 当时，存在，当有，当有，此时， 综上：． 故答案为： 考向四 构造函数法解决恒成立问题 【典例解读】 例4.（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（    ） A.    B.    C.    D. 【答案】A 【分析】利用向量的运算，求得模长，整理不等式，构造函数研究其单调性，利用导数，可得答案. 【详解】已知向量的夹角为的单位向量，则， 所以， 所以对任意的，且，则， 所以，即， 设，即在上单调递减， 又时，，解得， 所以在上单调递增； 在上单调递减，所以， 故选：A. 【题后反思】 根据相似结构构造辅助函数，即所谓同构.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形解决恒成立问题. 【再练一个】 4．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等价于，令，求导分析单调性，可得等价于，进而可得，令，只需，利用导数求解最值即可得出答案． 【详解】等价于， 令，则，所以是增函数， 所以等价于， 所以，所以， 令，则， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以，故 所以实数的取值范围为． 故选：B． 【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 考向五 切线放缩法解决恒成立问题 【典例解读】 例5.（24-25高二下·天津滨海新·期中）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如：在点(0，1)处的切线为，如图所示，易知除切点(0，1)外，图象上其余所有的点均在的上方，故有.该结论可通过构造函数并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.请根据以上材料，下列命题中正确的是（    ） ①； ②； ③； ④. A.①②    B.①②④    C.①②③    D.①②③④ 【答案】D 【分析】利用已知不等式，可变形得到，然后再进行赋值代入证明各选项，即可. 【详解】对于①，对，由于恒成立，可得，当时，两边取自然对数得， 所以有，即，故①正确； 对于②，对，由于恒成立，可得，即，故②正确； 对于③，对，由于恒成立，可得，因为， 所以有，即，故③正确； 对于④，对，由于恒成立，可得， 当时，两边取自然对数得， 把用代得：， 又因为，所以有，故④正确； 故选：D. 【题后反思】 数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 【再练一个】 5．已知对存在的，不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把不等式变形为，构造函数证明不等式，根据保值性即可列式求解，逐项判断即可. 【详解】（1） 由，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，即. 由，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，即. 故，所以. 由（1）式得，当且仅当，即. 所以，，，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，对不等式同构变形，然后利用切线不等式结合加法法则，根据保值性得到，然后逐项求解，即可判断. 考向六 两个函数的恒成立问题 【典例解读】 例6.已知函数，，若，且关于x不等式在上恒成立，其中e是自然对数的底数，则m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由题意可知在上恒成立，利用导数分别求出，即，解不等式即可. 【详解】由，得， 令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故； 由，得， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故. 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 即，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：D 【题后反思】 两个函数的恒成立问题遵循以下原则： （1）若有成立，则 （2）若有成立，则 （3）若有成立，则 （4）若有成立，则的值域是值域的子集. 【再练一个】 （24-25高二下·天津滨海新·期中） 6．已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据已知可知只需要满足在上恒小于等于在上的最大值.求导根据导函数得出，代入即可得出在上恒成立，分离参数得出在上恒成立.，，求导得出在上的最大值，即可得出答案. 【详解】由已知可知，只需满足对任意的，， 只需要满足在上恒小于等于在上的最大值. 因为， 所以在上单调递减， 所以在上得最大值为， 所以，在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立. 设，， 则. 则当时，有，即在上单调递增； 当时，有，即在上单调递减. 所以，在上的最大值为. 则由在上恒成立可知，. 故答案为：. 7．已知函数在区间上单调递减，则实数的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】由题意得到在上恒成立，参变分离，只需，求出在上的值域即可，. 【详解】函数，则， 函数在区间上单调递减，则在上恒成立， 故，即在上恒成立， 令，， 则在上恒成立，故在上单调递增， 故，故，故m的最小值为． 故选：A． （2025·江西新余·模拟预测） 8．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用通过将原不等式转化为，令，利用导数可得该函数为增函数，从而得，再设，求出该函数的最大值后可得参数的取值范围. 【详解】依题意，，则， 令，则， 则，令，解得， 故当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 故， 故在上单调递增，故只需，即， 令，则， 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 故，则，即， 故选：C. 9．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意的值域包含于的值域，再分别求导分析函数的单调性与最值，进而根据值域区间端点满足的不等式列式求解即可. 【详解】，，令，解得， 令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以的值域为. 当时，，所以在上单调递增， 又，所以的值域为， 又，使得，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故选：B． （24-25高二下·江苏苏州·阶段练习） 10．已知函数． (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)时，在上单调递减，时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （2）由，不等式恒成立，转化为，构造函数，分类讨论求解单调性，求出的范围. 【详解】（1）由，求导得，， 当时，，则在上单调递减， 当时，令，则， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 故时，在上单调递减， 时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由，不等式恒成立， 转化为， 构造函数， 求导 若时，则，所以在单调递减， 由于对于成立， 当时，则， 故，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，但是，不满足题意. 故整数的最大值为. （2025·安徽合肥·模拟预测） 11．已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，求证：对恒成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，构造，求导，确定最值即可求解； （2）由，得到，构造函数，通过三次求导确定其单调性，即可求证. 【详解】（1）由题知， 设， 令，则，所以在上单调递增， 所以，故，所以在上单调递增， 所以； （2）设， 所以函数在区间单调递减， ， 所以， 设， 令 ， 令 ， 当，，，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在上为增函数， 在上为增函数， ，所以命题得证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$