期末核心考点复习讲义 函数的构造与函数的性质问题-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）

专题1  函数构造与函数性质问题【讲*人教A版】 知识点1：构造函数解决导数问题的通用模型： 模型1：若的系数为x，且同时出现与的和或差，考虑构造x与的积或者商； 模型2：若出现与且系数相同时，考虑构造与的积或者商. 模型3：若出现与系数分别是常数和x时，考虑构造与的积或者商； 模型4：若出现与且系数为与时，考虑构造与的积或者商，或者与的积或者商. 模型5：若与形式比较复杂，考虑根据运算法则直接构造. 注：构造函数解决导数问题的具体模型： 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （2）对于，构造． .考向一 根据运算法则直接构造 【典例解读】 例1.（24-25高二下·湖北孝感·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】B 【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式. 【详解】由可得， 设，， 则， 即函数在上单调递增， 且， 由可得， 即，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 【题后反思】 本题通过构造函数，利用导数判断单调性来解不等式.遇含 与导数的式子，要善于观察结构构造新函数，借单调性转化条件.需强化构造意识，提升利用函数性质解题的能力，把握导数与函数单调性的关联. 【再练一个】 1．定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，研究函数的奇偶性、单调性，结合单调性解不等式即可. 【详解】∵， ∴， 令，则， ∴在上为奇函数， 又∵当时，， ∴当时，， ∴在上单调递增， 又∵在上为奇函数， ∴在上单调递增， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵在上单调递增， ∴，解得：. 故选：A. 考向二 构造指数型 【典例解读】 例2.（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（ ） A．    B． C．    D． 【答案】B 【分析】由题干条件可构造函数，对求导得在上单调递减，由已知条件可得，结合的单调性可解函数不等式. 【详解】由，联想到积的导数公式，故构造函数， 则，故在上单调递减， 又，所以不等式即的解集为. 故选：B. 【题后反思】 本题考查利用构造函数法解不等式，关键是根据条件构造，结合导数判断单调性.遇函数与导数结合的不等式，要观察式子特征，联想导数公式构造新函数，利用单调性解不等式，需提升构造与转化能力，熟练运用函数性质解题. 【再练一个】 2．若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意构造新函数，求导得到单调性，再解不等式即可. 【详解】由题可设，因为， 则， 所以函数在R上单调递增， 又，不等式可转化为， 所以，解得，所以不等式的解集为． 故选：A. 考向三 构造幂函数型 【典例解读】 例3.（24-25高二下·广东潮州·阶段练习）已知是偶函数的导函数，.若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（ ） A．    B． C．    D． 【答案】A 【分析】构造函数，则由条件可知的单调性、奇偶性以及，即可将问题转化为求解不等式. 【详解】令，则， 则当时，，即单调递增， 因为偶函数，则，则， 即为奇函数， 则在上单调递增， 因，则， 则可转化为， 则，即， 故不等式的解集为. 故选：A 【题后反思】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，通过构造新函数转化问题.遇导数与函数性质结合的不等式，可尝试构造新函数，利用奇偶性、单调性简化求解，关键是观察条件特征，精准构造，提升转化与综合分析能力. 【再练一个】 （24-25高二下·湖北·期中） 3．已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式可构造函数，判断出函数在上单调递减即可得出结论. 【详解】由可得， 令函数， 可得即在上单调递减， 因此可得，即，所以. 故选：B 考向四 构造对数型 【典例解读】 例4.若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】B 【分析】令，，又导函数得到在上单调递减，结合是定义在R上的奇函数得到与0的大小，从而解不等式. 【详解】令，， 则， 当时，， 故在上单调递减， 则当时，，； 当时，，； 又函数可导，则该函数必连续，所以当时，； 因为可导函数是定义在R上的奇函数，故， 当时， 所以，解得， 又，故不等式的解集为. 故选：B 【题后反思】 本题考查利用构造函数、奇偶性及单调性解不等式.遇含导函数的不等式，可构造新函数，借导数判断单调性，结合奇偶性定函数值符号，再分情况解不等式. 【再练一个】 4．已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件构造函数，求导后可判断当时，函数单调递减，再由，可得当时，，再由为奇函数，得时，，从而可求得不等式的解集. 【详解】令函数，则，即当时，函数单调递减， 因为，所以当时，，当时，. 因为当时，，当时，，所以当时，. 又，，所以当时，； 又为奇函数，所以当时，， 所以不等式可化为或，解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是根据题意构造函数，然后求导后可判断函数的单调性，从而利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想，属于较难题. 考向五 构造三角函数型 【典例解读】 例5.已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性求解不等式即得. 【详解】令函数，，求导得， 因此函数在上单调递减，不等式， 即，解得， 所以原不等式的解集为 . 故选：B 【题后反思】 本题考查构造函数解不等式，关键是根据条件构造，借导数判单调性.遇含与导数的式子，要观察结构，合理构造函数，利用单调性转化不等式，需提升构造与逻辑推理能力，掌握函数性质解题技巧 . 【再练一个】 5．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，结合导数探讨函数的性质，将所解不等式转化为，由单调性即可得解． 【详解】由且，得是奇函数， 令，当时，，则在是减函数， 显然函数是奇函数，则在是递减，从而在上是减函数， 不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 考向六 复杂构造型 【典例解读】 例6.（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A．    B． C．    D． 【答案】D 【分析】构造函数，，求导后利用已知得出其正负，确定出函数的单调性后可得． 【详解】设，，则 ， ， 因为对恒成立，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 可得：，即. . 结合选项可知D一定成立， 故选：D. 【题后反思】 本题需构造双函数，借导数判单调性解题.遇复杂导数不等式，要大胆构造函数，通过求导分析正负定单调性.需提升构造思维，灵活运用导数工具，从式子结构找灵感，精准转化条件解不等式 . 【再练一个】 （24-25高二下·山东青岛·期中） 6．已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用构造的导数，来判断其单调性，又把已知要求解的不等式转化为，从而可利用单调性解不等式. 【详解】由已知得：因为，所以， 两边同乘以又可得：， 因为，所以有， 再构造，则， 所以在上单调递增， 因为的定义域可知，，所以， 又因为，所以， 即上面不等式可转化为，根据在上单调递增， 可得，解得， 故选：． （24-25高二下·福建福州·期中） 7．已知是函数的导数，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数得的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】令，则有，所以在上单调递减， 所以，， 所以由有，且，即， 由在上单调递减，所以，即，故. 故选：B. （24-25高二下·湖北·期中） 8．已知函数..为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数，探讨函数的奇偶性、单调性，再逐项判断作答. 【详解】令函数，而函数是偶函数，则， 即函数是奇函数，当时，求导得， 即函数在上递增，则在上递增， 因为，所以，即， 所以，虽然，但不能确定与的大小，故ABC错误，D正确. 故选：D. （24-25高二下·黑龙江·期中） 9．已知定义在上的函数的导函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的单调性逐项判断即可. 【详解】设，则， 所以，函数在上为增函数， 对于AB选项，，即， 所以，AB无法判断； 对于CD选项，，即，可得，C错D对. 故选：D. （24-25高二下·重庆·阶段练习） 10．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为.且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意构造函数，由条件分别判断该函数的单调性和奇偶性，将待求不等式转化成，利用函数的奇偶性和单调性即可得解. 【详解】设，则， 因为当时，，则，即在上为增函数， 又函数是定义在上的偶函数，则， 即函数是定义在上的偶函数，故函数在上是减函数. 由可得， 故有，解得或. 故答案为：D. （24-25高二下·山东德州·期中） 11．已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，再利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，即可求解. 【详解】由，得到， 令，则， 所以（为常数），又，则， 所以，得到，又，当时，， 所以在区间上单调递减，又，所以， 故选：B. （24-25高二下·山东威海·期中） 12．定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式. 【详解】根据题意可构造函数，则， 由题可知，所以在区间上为增函数， 又由于为偶函数，为奇函数，所以为奇函数， 又，即， 所以，解得. 故选：D. 13．已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，并依据函数的单调性去求解不等式的解集. 【详解】当时，，则 则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数 则是上的偶函数，且在单调递减， 由，可得，则， 则时，不等式 可化为 又由函数在上单调递增，且，， 则有，解之得 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1  函数构造与函数性质问题【讲*人教A版】 知识点1：构造函数解决导数问题的通用模型： 模型1：若的系数为x，且同时出现与的和或差，考虑构造x与的积或者商； 模型2：若出现与且系数相同时，考虑构造与的积或者商. 模型3：若出现与系数分别是常数和x时，考虑构造与的积或者商； 模型4：若出现与且系数为与时，考虑构造与的积或者商，或者与的积或者商. 模型5：若与形式比较复杂，考虑根据运算法则直接构造. 注：构造函数解决导数问题的具体模型： 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （2）对于，构造． .考向一 根据运算法则直接构造 【典例解读】 例1.（24-25高二下·湖北孝感·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】B 【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式. 【详解】由可得， 设，， 则， 即函数在上单调递增， 且， 由可得， 即，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 【题后反思】 本题通过构造函数，利用导数判断单调性来解不等式.遇含 与导数的式子，要善于观察结构构造新函数，借单调性转化条件.需强化构造意识，提升利用函数性质解题的能力，把握导数与函数单调性的关联. 【再练一个】 1．定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考向二 构造指数型 【典例解读】 例2.（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（ ） A．    B． C．    D． 【答案】B 【分析】由题干条件可构造函数，对求导得在上单调递减，由已知条件可得，结合的单调性可解函数不等式. 【详解】由，联想到积的导数公式，故构造函数， 则，故在上单调递减， 又，所以不等式即的解集为. 故选：B. 【题后反思】 本题考查利用构造函数法解不等式，关键是根据条件构造，结合导数判断单调性.遇函数与导数结合的不等式，要观察式子特征，联想导数公式构造新函数，利用单调性解不等式，需提升构造与转化能力，熟练运用函数性质解题. 【再练一个】 2．若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 考向三 构造幂函数型 【典例解读】 例3.（24-25高二下·广东潮州·阶段练习）已知是偶函数的导函数，.若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（ ） A．    B． C．    D． 【答案】A 【分析】构造函数，则由条件可知的单调性、奇偶性以及，即可将问题转化为求解不等式. 【详解】令，则， 则当时，，即单调递增， 因为偶函数，则，则， 即为奇函数， 则在上单调递增， 因，则， 则可转化为， 则，即， 故不等式的解集为. 故选：A 【题后反思】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，通过构造新函数转化问题.遇导数与函数性质结合的不等式，可尝试构造新函数，利用奇偶性、单调性简化求解，关键是观察条件特征，精准构造，提升转化与综合分析能力. 【再练一个】 （24-25高二下·湖北·期中） 3．已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 考向四 构造对数型 【典例解读】 例4.若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】B 【分析】令，，又导函数得到在上单调递减，结合是定义在R上的奇函数得到与0的大小，从而解不等式. 【详解】令，， 则， 当时，， 故在上单调递减， 则当时，，； 当时，，； 又函数可导，则该函数必连续，所以当时，； 因为可导函数是定义在R上的奇函数，故， 当时， 所以，解得， 又，故不等式的解集为. 故选：B 【题后反思】 本题考查利用构造函数、奇偶性及单调性解不等式.遇含导函数的不等式，可构造新函数，借导数判断单调性，结合奇偶性定函数值符号，再分情况解不等式. 【再练一个】 4．已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考向五 构造三角函数型 【典例解读】 例5.已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性求解不等式即得. 【详解】令函数，，求导得， 因此函数在上单调递减，不等式， 即，解得， 所以原不等式的解集为 . 故选：B 【题后反思】 本题考查构造函数解不等式，关键是根据条件构造，借导数判单调性.遇含与导数的式子，要观察结构，合理构造函数，利用单调性转化不等式，需提升构造与逻辑推理能力，掌握函数性质解题技巧 . 【再练一个】 5．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考向六 复杂构造型 【典例解读】 例6.（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A．    B． C．    D． 【答案】D 【分析】构造函数，，求导后利用已知得出其正负，确定出函数的单调性后可得． 【详解】设，，则 ， ， 因为对恒成立，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 可得：，即. . 结合选项可知D一定成立， 故选：D. 【题后反思】 本题需构造双函数，借导数判单调性解题.遇复杂导数不等式，要大胆构造函数，通过求导分析正负定单调性.需提升构造思维，灵活运用导数工具，从式子结构找灵感，精准转化条件解不等式 . 【再练一个】 （24-25高二下·山东青岛·期中） 6．已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （24-25高二下·福建福州·期中） 7．已知是函数的导数，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． （24-25高二下·湖北·期中） 8．已知函数..为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（   ） A． B． C． D． （24-25高二下·黑龙江·期中） 9．已知定义在上的函数的导函数满足，则（     ） A． B． C． D． （24-25高二下·重庆·阶段练习） 10．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为.且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． （24-25高二下·山东德州·期中） 11．已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． （24-25高二下·山东威海·期中） 12．定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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