期末核心考点复习讲义 基本不等式的应用问题-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）

专题8  基本不等式的应用问题【讲*人教A版】 知识点1：基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点2：几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 知识点3：均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 知识点4：常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立． 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立． 模型四：，当且仅当时等号成立． 考向一 基本不等式的直接利用 【典例解读】 例1．已知，且，则的最大值为（ ） A．    B．2    C．    D．4 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，可得， 当且时，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 【题后反思】 用基本不等式求积最值，要注意 “一正二定三相等”，合理变形凑定值，等号条件别忘验证. 【再练一个】 （2025·黑龙江大庆·模拟预测） 1．已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，由基本不等式得到，得到；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C选项，平方后得到，结合A知；D选项，，故D正确. 【详解】A选项，正数满足，故， 解得，当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，， 当且仅当，即，即时，等号成立，B正确； C选项，， 由A知，，故， 故，C错误； D选项，因为，所以， 故，当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ABD 考向二 配凑法求最值 【典例解读】 例2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（ ） A．    B．0    C．4    D． 【答案】D 【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 【题后反思】 配凑法求最值，即把目标结构式转化为和为定值或积为定值的形式，使其能够利用基本不等式求最大值和最小值，常见的模型有： （1），当且仅当时等号成立； （2），当且仅当时等号成立． 【再练一个】 （24-25高一下·湖南湘潭·期中） 2．已知，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】对目标式子变形后由基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：3 考向三 化为单变量法求最值 【典例解读】 例3．已知正实数x，y满足，则的最大值为______． 【答案】1 【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 【题后反思】 化为单变量法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可． 【再练一个】 （24-25高一上·山东烟台·阶段练习） 3．已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 考向四  “1”的代换求最值 【典例解读】 例4．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故，且， 故 ， 当且仅当，结合，故当时等号取到， 故答案为： 【题后反思】 方法总结：1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．具体做法是，根据条件凑出“1”，利用乘“1”法进行代换． 【再练一个】 （2025·陕西安康·模拟预测） 4．已知，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】将变形得，代入再根据基本不等式可求出结果. 【详解】由题意，知，.由，得， 两边同时除以，得. 因为， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 考向五 与基本不等式有关的恒成立问题 【典例解读】 例5．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】B 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数，满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 【题后反思】 本题是利用基本不等式求最值来解决恒成立问题.遇正实数等式条件，可考虑先变形构造 “1”，再用乘 “1” 法结合基本不等式求最值，恒成立问题转化为最值问题，要熟练掌握变形与不等式应用技巧. 【再练一个】 （24-25高三上·江西宜春·期末） 5．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. （2025·黑龙江佳木斯·三模） 6．已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. （2025·广东·二模） 7．若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B （24-25高一上·云南昭通·期中） 8．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式将方程化成，取求解关于的一元二次不等式即得. 【详解】正实数满足，又，则，当且仅当时取等号， 设则，代入整理可得，解得或， 因，故，故当时，取得最小值为2. 故选：B. （24-25高一上·贵州毕节·阶段练习） 9．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. （24-25高二上·山西忻州·开学考试） 10．已知为正数，且，下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为9 【答案】AD 【分析】利用基本不等式可知A正确；利用乘“1”法即可判断D；利用二次函数知识可判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B，因为，又，即， 所以当时，取得最小值，故B错误； 对于C，，因为， 所以在上递增，所以，即，故C不正确； 对于D，， 当且仅当时，等号成立,故D正确. 故选：AD. （2025·辽宁·三模） 11．已知，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为1 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】通过消元转化为二次函数求最值判断A选项,通过平方后用基本不等式判断B选项,通过变形将转化为再利用基本不等式求最值, 变形，转化为为整体的一元函数最值问题求解,利用基本不等式或双勾函数求最值即可. 【详解】由题意得，A项错误； ，所以（当且仅当时取等号），B项正确； ，当且仅当时取等号，C项正确； ， 又因为， 所以， 设， 则，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，D项正确． 故选:BCD． （2025·内蒙古包头·模拟预测） 12．已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意，化简得到，令，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简，利用基本不等式，可得判定C不正确；由，得到，可判定D正确. 【详解】由，可得， 对于A中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8  基本不等式的应用问题【讲*人教A版】 知识点1：基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点2：几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 知识点3：均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 知识点4：常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立． 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立． 模型四：，当且仅当时等号成立． 考向一 基本不等式的直接利用 【典例解读】 例1．已知，且，则的最大值为（ ） A．    B．2    C．    D．4 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，可得， 当且时，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 【题后反思】 用基本不等式求积最值，要注意 “一正二定三相等”，合理变形凑定值，等号条件别忘验证. 【再练一个】 （2025·黑龙江大庆·模拟预测） 1．已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 考向二 配凑法求最值 【典例解读】 例2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（ ） A．    B．0    C．4    D． 【答案】D 【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 【题后反思】 配凑法求最值，即把目标结构式转化为和为定值或积为定值的形式，使其能够利用基本不等式求最大值和最小值，常见的模型有： （1），当且仅当时等号成立； （2），当且仅当时等号成立． 【再练一个】 （24-25高一下·湖南湘潭·期中） 2．已知，则的最小值为 ． 考向三 化为单变量法求最值 【典例解读】 例3．已知正实数x，y满足，则的最大值为______． 【答案】1 【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 【题后反思】 化为单变量法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可． 【再练一个】 （24-25高一上·山东烟台·阶段练习） 3．已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 考向四  “1”的代换求最值 【典例解读】 例4．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故，且， 故 ， 当且仅当，结合，故当时等号取到， 故答案为： 【题后反思】 方法总结：1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．具体做法是，根据条件凑出“1”，利用乘“1”法进行代换． 【再练一个】 （2025·陕西安康·模拟预测） 4．已知，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 考向五 与基本不等式有关的恒成立问题 【典例解读】 例5．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】B 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数，满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 【题后反思】 本题是利用基本不等式求最值来解决恒成立问题.遇正实数等式条件，可考虑先变形构造 “1”，再用乘 “1” 法结合基本不等式求最值，恒成立问题转化为最值问题，要熟练掌握变形与不等式应用技巧. 【再练一个】 （24-25高三上·江西宜春·期末） 5．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2025·黑龙江佳木斯·三模） 6．已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 （2025·广东·二模） 7．若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． （24-25高一上·云南昭通·期中） 8．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （24-25高一上·贵州毕节·阶段练习） 9．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 （24-25高二上·山西忻州·开学考试） 10．已知为正数，且，下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为9 （2025·辽宁·三模） 11．已知，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为1 D．若，则的最大值为 （2025·内蒙古包头·模拟预测） 12．已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$