2024—2025学年人教版八年级下册数学期末压轴题专项训练四边形最值问题与动点问题　

人教版八下数学期末压轴题专项训练二 四边形最值问题与动点问题解析版 最值原理回顾 1. 在直线l上取一点P,使AP+BP最小 解：连接AB,与直线相交，交点即为点P （原理：两点之间线段最短） 2. 在直线l上取一点P,使AP最短 · A 解：过点A作直线的垂线，交点即为点PP （原理：垂线段最短） 中点与几何最值 如图，∠MON=90°，△ABC为等边三角形，点B,C分别是射线OM,ON上的动点，点D为AB中点，若BC=4,则OD最大值___________ （2024期中） 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D、E分别在AC,BC上滑动，且DE=6,若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 （2024期中）如图，点A是y轴正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上，AB=6,以AB为边在第一象限作正方形ABCD，连接OC,则OC的最大值____________ （2024期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=45°，AD=,点M，N分别是边AB,BC上的动点，连接DN,MN,点E、F分别为DN,MN的中点，连接EF,则EF的最小值（ ） A. B. C. D. 1 如图,ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD、BC的中点，AB=12,CD=6,则MN的长可能是（ ） A. 8 B. 9 C.10 D.11 (2024期中）如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，E是DC延长线上的一个动点，点G在射线CB上（不与C重合），H是DF的中点，连接GH 。若AD=4，则GH的最小值__________________ （2024年期中） 菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2,0），∠DOB=60°，点E坐标为（0，-），点P是对角线OC上一个动点，则EP+BP的最小值是_________ 如图,在矩形ABCD中，AB=5,AD=3,动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ） A. B. C.5 D. （2024期中）如图,在菱形ADCB中，AC=3,AB=2,点P、E、F分别为线段AB,AD，DB上的动点，则PE+PF最小值是__________________________ （2024期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3,P为AB上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD,则对角线PQ的长的最小值____________ （2024期中）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P为AB边上一动点（不与点A,B重合），PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,若AC=8,BD=6,则EF最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. （2024期中）如图， 矩形ABCD中,点E 是AD上一点，AE=2,DE=3,DC=6, 点F是AB边上的动点，以EF为一边作菱形EFGH，使顶点H落在CD边上，连接CG,则EF的最小值为_________________,△HCG的面积的最小值__________________ （2024期中）如图，E、F是正方形ABCD的边AB、CD上的动点,且BE+CF=AD,点G在AC上，当AG=5,CG=3时，CE+GF的最小值是______________ （2024期中）如图，正方形ABCD的边AB上又一动点，以EC为边作矩形ECFG,且边FG过点D，在点E从A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ） A. 先变大后变小 B.  先变小后变大 C.  一直变大 D.  保持不变 (2023期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BC=6cm，AD=9cm,点P,Q分别从点A，C出发，点P以1cm/秒的速度由点A向D运动，点Q以2cm/秒的速度由点C向点B运动．当一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t秒 （1）AP=______________, BQ=______________（用含t的代数式表示） （2）当t为___________秒时，直线PQ将四边形ABCD截得的两部分图形面积比为1:2 （2023期中）如图，在长方形ABCD中，AB=4cm,BE=5cm,点E是AD边上的一点，AE,DE分贝长为acm、bcm,满足（a-3）2+=0,动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿B→C→D运动，最终到达点D,设运动时间为ts, （1） a=___________, b=___________ （2） t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？ （3） 另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版八下数学期末压轴题专项训练二 四边形最值问题与动点问题解析版 最值原理回顾 1. 在直线l上取一点P,使AP+BP最小 解：连接AB,与直线相交，交点即为点P （原理：两点之间线段最短） 2. 在直线l上取一点P,使AP最短 · A 解：过点A作直线的垂线，交点即为点PP （原理：垂线段最短） 中点与几何最值 如图，∠MON=90°，△ABC为等边三角形，点B,C分别是射线OM,ON上的动点，点D为AB中点，若BC=4,则OD最大值___________ 答案：4 解析：求一条线段的最大值，一般利用三角形两边之和大于第三边的原理，构造三角形，利用另外两条边的关系求证。 线段BC长度为4， ∠MON=90° ，BOC为Rt△ ∵D为AB中点，要想到有关中点的知识点（中位线，Rt△斜边中线） 取BC中点M,连接OM,DM ,根据Rt△斜边中线是斜边一半，OM=2 根据中位线原理 DM=0.5AC=2, 在△OMD中 OD≤OM+DM 故OD最大值为4 （2024期中） 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D、E分别在AC,BC上滑动，且DE=6,若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 答案：A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形三边关系等知识．如图，连接CN、CM，由勾股定理得，AB=10， 由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CN=3，CM=5， 当C、N、M三点不共线时，当C、N、M三点共线时， 两种情况讨论，可得MN≥2，然后判断作答 【详解】解：如图，连接CN、CM，由勾股定理得，AB=10 点M、N分别是DE、AB的中点，∴CN=0.5DE=3, CM=0.5AB=5 ,当C,M,N,三点共线时，MN有最小值 (根据三角形三边关系 ，两边之差小于第三边）5-3=2 最值小即为2 （2024期中）如图，点A是y轴正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上，AB=6,以AB为边在第一象限作正方形ABCD，连接OC,则OC的最大值____________ 答案：3+3 解析：本题考查一边最大值，同时结合直角三角形 取AB中点M,连接OM,CM ,∵AB=6,∴OM=0.5AB=3 利用勾股定理CM==3, 当OMC共线时OC有最小值为3+3 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=45°，AD=,点M、N分别是AB、BC边上的动点，连接DN、MN、点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF,则 EF的最小值（ ） A. B. C. D. 1 答案：B 解析：线段最小值--垂线段最短， ∵点E、F分别为DN、MN的中点，连接DM,EF=DB 求EF最小值转化为求DM最小值，当DM垂直AB时 DM最小 根据勾股定理DM=1,EF=0.5 如图,ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD、BC的中点，AB=12,CD=6,则MN的长可能是（ ） A. 8 B. 9 C.10 D.11 答案：A 解析：看到双中点找公共边 连接DB,取中点E,连接ME,NE 根据三角形中位线原理。ME=AB =6, NE=CD=3 在三角形MNE中，根据两边之和小于第三边 MN＜9 ，根据选项 选择A (2024期中）如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，E是DC延长线上的一个动点，点G在射线CB上（不与C重合），H是DF的中点，连接GH 。若AD=4，则GH的最小值__________________ 答案： 如图，延长GH交DE于M，∵四边形CEFG是正方形， ∴FG∥DE，FG=CE，∴∠GFH=∠CDH， ∵H是DF的中点，∴DH=FH， ∵∠GHF=∠DHM，∴△GHF≌△MHD(ASA)，∴FG=DM，GH=MH， 设正方形CEFG的边长为x，则DM=x， CM=4-x，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°，∴CG²+CM²=GM²，∴x²+(4-x)²=GM²，∴GM²=2x²-8x+16=2(x-2)²+8， ∴∠DME=180°-（360°-2∠A），=2∠A-180°． （2024年期中） 菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2,0），∠DOB=60°，点E坐标为（0，-），点P是对角线OC上一个动点，则EP+BP的最小值是_________ 答案： 解析：连接ED，第一步找对称点，关键是作谁的对称点 因为OBCD是菱形 ，根据菱形对角线特点（垂直平分+角分线） 选择作B点对称点就是D,连接DE ∴ED即为EP+BP最短， ∵四边形ABCD是菱形，根据勾股定理即可求出DE的长度 如图,在矩形ABCD中，AB=5,AD=3,动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ） A. B. C.5 D. 答案：PA+PB的最小值 解析：根据点P满足S△PAB=S矩形ABCD，S△PAB=*5*3=5 AB=3,所以点P在高为2的直线上平移， 过A点作关于这条直线的对称点A’，连接A’B,交点即为P ∵A’是A关于直线的对称点，∴AA’=4,∵AB=5 ∴A’B== （2024期中）如图,在菱形ADCB中，AC=3,AB=2,点P、E、F分别为线段AB,AD，DB上的动点，则PE+PF最小值是__________________________ 答案：PE+PF 最小值 解析:作F点关于AC的对称点F’(菱形对角线特性）连接EF’ 要想EF’最短，那么EF’⊥DC（垂线段最短） ∵AB∥CD 平行线间的垂线段长度都相等，为了方便计算 我们选择端点向对边作垂线（过B点）求BF’的长度 本题考虑面积法，∵AB=AD=2,AC=3,AO=1.5,OD=,BD=. S菱形ABCD=AC×BD=×3×= ,BF’×DC= CD=2求得BF’= （2024期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3,P为AB上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD,则对角线PQ的长的最小值____________ 答案：PQ最小值为4 解析：利用垂线算最短原理，过O点作AB垂线，即为P点， OP有最小值则PQ的最小值即为2OP ∵PCQD为平行四边形，对角线互相平分，O为PQ中点 ∵OP⊥AB,AD⊥AB,BC⊥AB ∴ AD∥OP∥BC, ∴P为AB中点，过D作BC垂线交BC于点E,交OP于点F ∵ADEB为平行四边形(矩形） ∴BE=AD=1 ,DE=2∴EC=3-1=2 OF为△AEC中位线，OF=1,PF=1 OP=2 ,故PQ=4 （2024期中）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P为AB边上一动点（不与点A,B重合），PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,若AC=8,BD=6,则EF最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 答：C 解析：根据矩形对角线相等的知识点，EF=OP EF最小值即为OP最小值，利用垂线段最短 ∵AC=8,BD=6 ∴S菱形ABCD=×48=24 , S△AOB=S菱形ABCD=6 根据勾股定理 AB==5 ,OP= （2024期中）如图， 矩形ABCD中,点E 是AD上一点，AE=2,DE=3,DC=6, 点F是AB边上的动点，以EF为一边作菱形EFGH，使顶点H落在CD边上，连接CG,则EF的最小值为_________________,△HCG的面积的最小值__________________ 答案：3，6- 解：∵四边形ABCD为菱形，∴EF=EH， 当EH⊥CD时，EH取最小值，∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D=∠A=90°， ∴点D、H重合，EH的值最小，即为DE的长， ∴EH的最小值为3，∴EF的最小值为3； 延长HG、AB相交于点M，过点G作GN⊥DC的延长线于点N，则∠GNH=∠A=90°， ∵四边形ABCD为矩形，四边形ABCD为菱形， ∴DN∥AM，EF∥HM，GH=EF，AB=DC=6， ∴∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴△GNH≌△EAF（AAS），∴NG=AE=2， 当EF、EH取最大时，DH取最大值，此时CH取最小，△HCG的面积取最小值， 当EF取最大时，点B、F重合，此时EF最大值==2 ∴DH最大值== ∴CH最小值=6- S△HCG最小值=CH·GH=×（6-）×2=6- （2024期中）如图，E、F是正方形ABCD的边AB、CD上的动点,且BE+CF=AD,点G在AC上，当AG=5,CG=3时，CE+GF的最小值是______________ 答案： 解析：作点F关于直线AC的对称点T，因为AC是正方形ABCD的对角线，根据正方形的对称性可知，点T在边AD上。连接GT、ET、EF。根据对称的性质可知，对称轴AC垂直平分FT，所以GF=GT，那么GE+GF=GE+GT。根据两点之间线段最短的原理，当E、G、T三点共线时，GE+GT取得最小值，即GE+GF的最小值为线段ET的长度。 因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠D=90°，且对角线AC平分∠DAB与∠BCD，即∠BAC=∠ACD=45°。 已知BE+CF=AD，又因为AD=AB=AE+BE，所以可得AE=CF。 由于点F与T关于AC对称，所以CF=AT（对称轴两侧的对应线段相等），进而得出AE=AT。 已知AG=5，CG=3，所以AC=AG+CG=8。 在等腰直角三角形AET中，∠EAT=90°（正方形的内角），AE=AT。 证明 ET2=AG2+CG2 过点G作GM⊥AB于点M，作GN⊥AD于点N。 因为AC是正方形ABCD的对角线，根据角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），可得GM=GN。 因为∠EGM+∠MGT=∠TGN+∠MGT=90°，所以∠EGM=∠TGN。 又因为∠EMG=∠TNG=90°，所以 △EMG≌△TNG（根据角边角ASA判定定理），则EG=TG。 把△AEG绕点A绕点A逆时针旋转90°，使AE与AT重合，得到△AET’ 通过图形的变换和平移，可以发现ET、AG、CG构成了一个直角三角形的三边关系（可通过证明相关角度为90°）。 根据勾股定理，在Rt△ECT(当E,G,T共线时），ET2=EG2+GT2,又因为前面已证EG、GT与AG、CG的关系，所以ET2=AG2+GC2,.将AG=5，CG=3代入ET2=AG2+GC2, 可得ET== （2024期中）如图，正方形ABCD的边AB上又一动点，以EC为边作矩形ECFG,且边FG过点D，在点E从A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ） A. 先变大后变小 B.  先变小后变大 C.  一直变大 D.  保持不变 答案：保持不变 涉及知识点：矩形和正方形的面积性质， 三角形与矩形、正方形面积的关系（矩形对角线平分矩形面积， 三角形面积公式s=0.5ah，a为底，h为高） 通过连接DE，利用三角形与矩形、正方形面积的关系， 得出矩形ECFG面积与正方形ABCD面积相等， 再根据正方形面积不变判断矩形面积的变化情况。 故答案为：D (2023期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BC=6cm，AD=9cm,点P,Q分别从点A，C出发，点P以1cm/秒的速度由点A向D运动，点Q以2cm/秒的速度由点C向点B运动．当一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t秒 （1）AP=______________, BQ=______________（用含t的代数式表示） （2）当t为___________秒时，直线PQ将四边形ABCD截得的两部分图形面积比为1:2 答案：（1）AP=t , BQ=6-2t；（2） 解析：（1）P的速度1厘米/秒，AP=1×t=t， BQ=CB-CQ=6-2t （2）直线PQ将四边形ABCD截得的两部分图形面积比为1:2，当SAPQB:SPDCQ=1:2时 两个梯形等高，面积比等于上底和下底之和比 即（AP+BQ）:(PD+CQ)=1:2 ,AP=t ,BQ=6-2t ,PD=9-t ,CQ=2t 解：2（t+6-2t）=（9-t+2t） t=1； 当SAPQB:SPDCQ=2:1时 即（AP+BQ）:(PD+CQ)=2:1 解：（t+6-2t）=2（9-t+2t）解得t为负 舍弃 （2023期中）如图，在长方形ABCD中，AB=4cm,BE=5cm,点E是AD边上的一点，AE,DE分贝长为acm、bcm,满足（a-3）2+=0,动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿B→C→D运动，最终到达点D,设运动时间为ts, （1） a=___________, b=___________ （2） t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？ （3） 另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2． 答案：（1）a=3,b=3 （2）t＝2s时，EP把四边形BCDE的周长平分； 解析：【详解】 （1）∵（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0，∴a﹣3＝0，2a+b﹣9＝0，∴a＝3，b＝3； 故答案为：3，3； （2）∵AE＝3cm，DE＝3cm， ∴AD＝AE+DE=6cm＝BC，∴C四边形BCDE＝BC+CD+DE+EB＝18cm， ∵EP把四边形BCDE的周长平分，∴BE+BP＝9cm， ∴点P在BC上，BP＝4cm，∴t＝＝2s； （3）①如图：点P在BC上∴t=∴0＜t≤3，BP=2t，在BP边上的高为4 ∴S△BPQ＝×2t×4＝6，∴t＝； ②相遇前，点P在CD上（3＜t≤），∴PQ=4﹣（t﹣3）﹣（2t﹣6）,在PQ边上的高为6 ∵S△BPQ＝×[（4﹣（t﹣3）﹣（2t﹣6）]×6＝6，∴t＝； ③如图：相遇后，点P在CD上（＜t≤5），∴PQ=t﹣3）+（2t﹣6）﹣4，PQ边上的高为4 ∵S△BPQ＝×[（t﹣3）+（2t﹣6）﹣4]×6＝6，∴t＝5； ∴综上所述，当t＝s或s或5s时，△BPQ的面积等于6cm2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$