江西省“三新”协同教研共同体2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷

2024年“三新”协同教研共同体高三联考 数学试卷 命题：上饶中学黄嘉伟 萍乡中学陈友全 审题：师大附中倪雨婷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 助 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 ☒ 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 郑 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 韵 1.已知集合S=xz2-2z3<0,T={zNz年∈2，则snT= 长 A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3 2.已知3+i是关于x的方程x2一ax十b=0的一个根，a∈R,b∈R,则a+b= A.-4 B.4 C.16 D.-16 敬 3.已知对任意的x,y∈R,都有f(x十y十f(x)=6x+2y十3，则一次函数y=f(x)的解析式为 A.y=2x+1 B.y=2x 新 C.y=x D.y=x+1 旅 4.下列关于幂函数∫(x)=(e”十4m)xm+?的描述正确的是 A.函数∫(x)为奇函数 B.函数f(x)为偶函数 C.函数∫(x)为R上的减函数 D.f(m)>f(-2) 5.已知在四面体ABCD中，BC=BD,AC=AD,E,F,M,N分别为BC,BD,A(C.AI)的中a· 则下列选项正确的是 A.MF⊥EN B.EN//CD C.MN=ME D.MF=EN 6.在△ABC中，角B,C所对的边分圳为b,c,D为边BC上的点.已知p:AD=,一 6千A花，q:AD平分∠BAC,则p是g的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【高三数学第1页（共4页）】 1 7.已知数列{an}满足a1=a,am+1= 2am+2(n∈N),若{an}是单调递增数列，则a的取值花 围是 A.(-∞，4) B.（-∞，3) C.(-∞，2) D.(-∞，1) &.函数fx)=号cos2z-2 asin+6-司的最大值为1，最小值为-4，则b= A.-1 C.L 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列条件能判定△ABC是等腰三角形的是 A.asin B=bsin C B.acos A=bcos B C.c=2acos B D.cos(A+C)=cos B 10.已知min{a1,a2,…,an}表示a1,a2,…,am中最小的数，max{a1,a2,…,an}表示a1,a2,, an中最大的数.若a1,a2,a3,a4,a5,a6为l,2,3,4,5,6的任意排列，设X=min{max{a1, az,a3},maxias,as,as)),Y=max(min(aiaz,a3l,min(as,assae), A.排列总数为720个 B.满足a<石2<a3的排列有80个 CX4的概率为号 DX>Y的概率为品 11.已知函数y=f(2十x3)为奇函数，函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，且当1≤x≤2 时，f(x)=sin受，则下列说法正确的是 A.f(0)=2 B.f(x)的最小正周期为4 c()=-号 D.函数)的图象与直线y=一红十35+8在[-1,3]上有且仅有4个交点 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(1一2x)”的展开式中x3的系数是▲一 18已知>-名少>-12有行十中-1，则x十的最小值为.人 4.已知平面向量a,b,c满足|a|=2,lb+a|-lb-a|=2,lc十a|=1,则1c-b的最小值为 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 在△ABC中，记角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3a=√3 ccos B+bsin C. (1)求角C; (2)若c=5,且△ABC的面积为2W3,求△ABC的周长 16.(15分) 已知P(,2)为端圆C号+ 2=1(a>b>0)上一点，右焦点为F(1,0). (1)求C的离心率； (2)若过点F的直线l交C于M,N两点，A为椭圆C的左顶点，求△AMN面积的最大值， 17.(15分) 如图所示，长方形ABCD与长方形ABEF所在的平面互相垂直，M,N分别在线段AC和 线段BF上移动（不包含端点），且CM和BN的长度保持相等，设AB=1,AD=AF=2.连 接MN,CE. (1)证明：MN平面CBE, (2)当MN的长度最小时，求平面MNA与平而MNB夹角的余弦值. 18.(17分) 已知函数f(x)=2mx一cosx. (1)求曲线y=f(x)在点（π，f(π）)处的切线方程. (2)证明：f(x)是周期函数. (3)判断f(x)在(0,4π)上的零点个数，并说明理由. 19.(17分) 对于数列{xn),{yn},其中yn∈Z,对任意正整数n,都有xn一yn|<,则称数列{yn}为数 列{x,的“危-接近数列”.已知{6}为数列a的“k-接近数列”，且A,=2a:B。=26。 (1)当k=1时，若a。=2m十分，求61，bs的值。 (2)当k=时，若。，=号+(-)中，是否存在正整数，使得A,<B,?如果存在，请求 出1的最小值；如果不存在，请说明理由。 (3)当k=4时，若{an}为无穷等差数列，公差为d,证明：“数列(6，}为等差数列”的充要条 件是“d∈”. 2024年“三新”协同教研共同体高三联考 数学试卷参考答案 1.D由题可知S={x|一1≤x≤3}，T={0,1,2,5},所以S∩T={0,1,2} 2.B将3+i代入方程x2-ax+b=0,得8-3a十b十(6-a)i=0,解得a=6,b=10,所以a十 b=16. 3.C设f(x)=kx+b,则f(x十y十f(x)=f(x+y十kx+b)=k(x+y+kx+b)+b=(k2 +k)x+ky+kb+b. 因为f(x+y+f(x))=6x+2y+3,所以(k2+k)x+ky十kb+b=6.x+2y+3, k2十k=6, k=2, 则k=2, 解得 所以y=2x+1. b=1, kb+6=3, 4.A由题意可知e+4m=1,得m=0,所以f(x)=x2,函数f(x)为偶函数. 5.C如图MN/CD,EF/CD,且MN=EF=2CD,所以四边形 MEFN为平行四边形.取CD的中点G,连接BG,AG.由BC= BD,AC=AD,得CD⊥BG,CD⊥AG,所以CD⊥平面ABG, CD⊥AB.因为ME∥AB,所以ME⊥EF,所以平行四边形 MEFN为矩形，所以MF=EN. 6.B充分性：因为A花=车A店+b千A花，所以B前-D元，所以Sam·SAam=c:6.假 设点D到边AB与边AC的距离分别为h1,h2,则S△sD:S△D=ch1:h2,所以h1=h2: 所以AD平分∠BAC, 必要在：因为AD平分∠BAC,则1=A,所以SAD·Sm=!0,=c:6,所以哭- 后从而励-D心，=。十+6千Ad 7.A因为a4=0.+2.所以a:1-4=a.-4. 若a=4,则an=4,不符合题意. 若a≠4，则{a。-4)为等比数列，所以a。=(a-4)(2)十4.当a>4时，a.}为单调递减 数列，不符合题意；当a<4时，{an}为单调递增数列，符合题意. 综上，a∈(-∞，4). 8.Cfx)=2cos2x-2 asin+b-号=-sirx-2 asin+b,令=sinx∈[-1,1]，ge) 【高三数学·参考答案第1页（共8页）】 =一t2一2at十b,则图象对称轴方程为t=一a. ①当Q≤-1时，g(1)mx=g(1)=-1-2a+b=1,g(t)mm=g(-1)=-1+2a+b=-4, 解得a=-一号6=- 5 ②当a≥1时，g(t)m*=g(-1)=-1+2a十b=1,g(1)mm=g(1)=-1-2a+b=-4, 解得a=是，6=一之 ③当-1<a<1时，g(1)mx=g(-a)=-a2+2a2+b=1,g(t)m=min{g(-1),g(1)}= 一4，即a2+2a一4=0或a2一2a一4=0，无满足条件的解. 综上6=一是 9.BD对于A,由正弦定理可知sin Acos A=sin Bcos B,即sin2A=sin2B,所以A=B或A 十B=受，不符合题意。 对于B,由正弦定理可知sin Asin B=sin Bsin C,得A=C,符合题意. 对于C,因为cos(A十C)=一cosB=c0sB,所以B=2,不符合题意。 对于D,由正弦定理可知sinC=2 sin Acos B,所以sin(A+B)=2 sin Acos B,即sin(A一B) =0,所以A=B,符合题意. 10.ACD1,2,3,4,5,6的任意排列方法总数为A=720个，所以A正确； 若a1<a2<a3,则先从1,2,3,4,5,6中随机选出3个数，共有C=20种不同的方法，再将 剩下3个数任意排列，共有A=6种不同的方法，则满足a1<a2<a3的排列有20X6= 120个，所以B错误； 因为{a1,a2,a3}={1,2,3),{a4,a5,a6}={4,5,6},X=3,Y=4,{a1,a2,ag}=(1,2,4}, (a4,a5,a6}=3,5,6),X=4,Y=3,{a1,a2,aa}=(1,2,5},{a4,a5,a6}=(3,4,6},X=5, Y=3,{a1,a2,a3}={1,2,6},{a4,as,a6}=(3,4,5},X=5,Y=3,{a1,a2,a3}={1,3,4}, {a4,a5,a6}={2,5,6},X=4,Y=2,(a1,a2,a3}={1,3,5),{a4,a5,a6}=(2,4,6},X=5, Y=2,{a1,a2,a3}={1,3,6},{a4,a5,a6}={2,4,5},X=5,Y=2,(a1,a2,a3}={2,3,4}, {a4,a5,a6}=1,5.6},X=4,Y=2,{a1,a2,aa}={2,3,5},{a4,a5,a6}=(1,4,6},X=5, Y=2,{a1,a2,a3}={2,3,6},{a4,a6,a6}=(1,4,5},X=5,Y=2, 共有10种不同的情况，则X>4的概率为品=号，所以C正确； X>Y的概率为品，所以D正衡。 11.ACD因为函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，且f(2)=sinx=0,所以f(0)=2, 所以A正确： 【高三数学·参考答案第2页（共8页）】 由题意可知，f(2十x3)十f(2一x3)=0,所以函数y=f(x)的图象关 于点(2,0)对称，函数y=∫(x)的图象如图所示，所以函数y=f(x) 不是周期函数，所以B错误； 由藏鸿象关于点20对居得》=-兮合大 s血受=合得受-吾，解得x=号，所以∫()=一，所以C 正确； 因为直线y=-x十35+8与两数y=x)的图象都过点（号，），且了（学）=号s号 6 =-子>-1，所以直线y=-x+35十8为函数)=f红)图象的一条制线， 6 因为f(1)=1<33+2 6,f(2)=0<33。一4，所以函数f(x)的图象与直线y=一x+ 3B+8在[1,2]上有且仅有2个交点， 6 由对称性可知其图象在(0,1)上有且仅有2个交点，在[一1,0们U[2,3]上没有交点， 函数fx)的图象与直线y=一x+6心在[-1,3]上有且仅有4个交点， 正确。 12.-280x3的系数为C(-2)3=-280. 18.1因为+2-22x+10++1)-1=(2中+儿22x+1++1】 3+1)2x+1n -1= 2.x+1+ y+1一≥1，当且仅当y十1=2x+1=2时，等号成立 14.2因为a|=2,所以假设a=(2,0),b=(x,y),c=(m,n).由 1b+a|-|b-a|=2,得v(x+2)+y2-√(x-2)2+y=2,所 以B(x,)为双曲线x2-苦=1右支上一点。 由|c+a=1,得(m十2)2+n2=1,即C(m,n)为圆(x十2)2+ y2=1上一点. 如图，要求|c一b|的最小值，即求/(x一m)2+(y一n)的最小值，即求|BC的最小值. 设F1(-2,0),A(1,0),所以|BC|≥|BF1|-1≥|AF1|-1=2,所以|BC1m=2. 15.解：(1)由正弦定理知5sinA=√3 sin Ccos B十sin Bsin C,…2分 在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 【高三数学·参考答案第3页（共8页）】 所以W3 sin Bc0sC=sin Bsin C.…4分 又B∈(0，π)，可得tanC=3,所以C=牙 3 6分 (2)由题意可知△ABC的面积S△wc=2V3. 因为S6=2 bsin C,所以ab=8。…9分 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcos C,可得c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即25=(a+b)2 -24, 所以a十b=7, 12分 所以a十b十c=12, 故△ABC的周长为12.… 13分 【评分细则】 第(1)问用其他方法的情给分. c=1, 1 9 16.解：(1)由题意知+4=1， a2-b2=c2, 所以a2=4,b2=3, 2分 则C的离心率e=S= 21 4分 a (2由1)可知椭圆C的方程为片+苦=1 设过点F的直线l的方程为my=x一1，M(x1y1),N(x2y2). my=x-1, 联立方程组 += 消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0, 3 -6m -9 则y1+y=3m2+4y1y2=3m2+4 7分 l-y:=1+2)-42=12中m 3m2+4 所以Saw=2API-:=名×212中7_1十元 3m2+4 …10分 3m2+4 设L=√1+mZ,1∈[1，十∞)，则S△4N= 18t 312+11 设0)=174∈[1，+o),则了e)-183抄<0，所以f在1，十o上单调 18 (32+1)2 【高三数学·参考答案第4页（共8页）】 递减，……13分 所以SA<f(1)-号，即当m=0时，L的方程为x=1,此时△AMN的面积最大，最大值 裂 15分 【评分细则】 采用其他方法酌情给分。 17.(1)证明：过点M作MH⊥AB,垂足为H,连接NH. 在△ABC中，MH⊥AB,CB⊥AB,所以MHCB. 因为MH吐平面BCE,BCC平面BCE,所以MH平面CBE.·1分 设AH=a,则MH=2a,BH=1一a. 易得AC=5,AM=5a,所以CM=5-√5a,BN=5-5a,BF=√5. 在△BAF中器-早欲--子器-器 √5 1 所以NH∥AF.… …4分 因为BE∥AF,所以NH∥BE,同理NH平面CBE. …5分 又MHC平面MHN,NHC平面MHV,MH∩NH=H, 所以平面MHN/平面CBE.…6分 又MNC平面MHN,所以MN/平面CBE.… 7分D (2)解：易证AF,AB,AD两两垂直，以A为原点，AF,AB,AD所在直 线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,2),C(0,1,2),B(0,1,0),E(2,1,0),F(2,0,0). 设AH=a,则M(0,a,2a),N(2-2a,a,0),M=(2-2a,0,-2a),所以MN= 2W2a2-2a+1, 当且仅当a=2时，MNI取得最小值VE,此时M,N分别为AC,BF的中点，MN的长度 最小所以M(o,2,1),N1,2,0) … …9分 所以MN=1,0.-1),M=(o,-2,-1). 设平面MNA的法向量为n=(x1,y1,z), n·MN=0, x1一1=0， 则 n.MA=0, 即K1 2y1-21=0, 令之1=1，则n=(1,一2,1).… 11分 设平面MNB的法向量为m=(x2,y2,之2)， 【高三数学·参考答案第5页（共8页）】 同理可得m=(1,2,1). 13分 记平面MNA与平面MNB的夹角为0， 则cos0= n·m 2 73 即平面MNA与平面MNB夹角的余弦值为？ 15分 【评分细则】 采用其他方法酌情给分. 18.(1)解：因为f(π)=1+1=2，f'(x)=ln2·2 n cos十sinx,∫'（π）=-ln2,…2分 所以所求切线方程为y-2=一ln2(x一π)，即xln2+y一2-πln2=0.…4分 (2)证明：因为f(x十2x)=2mc+2a》-c0s(x十2x)=2m-c0sx,…6分 f(x)=2mx-cosx,所以f(x)=f(x十2x),即2红是f(x)的一个周期， 故f(x)是周期函数.… 8分 (3)解：f(x)在(0,4π)上的零点个数为3. 当x∈(0，]时，0<simx≤1,2r>1,0≤c0sx<1,则f(x)=2-c0sx>0,所以 f(x)在(0，]上无零点. …9分 当xE(号，]时，-1<x<1,2m≥分，-1<osx<0,则f(x)=2-cosx>0,所 以x)在（受，]上无零点 10分 当x∈（经，2x]时，fx)=ln2,2地cosx+sinx 令g(x)=f'(x)=ln2·2 cos十sinx, g'(x)=ln2·ln2·2rcos2x-ln2·2 in sin十cosx, 即g'(x)=ln2·2mr(ln2·cos2x-sinx)+cosx. 当x∈（经，2]时，casx>0.sinx<0,lh2·eos2x-sx>0,则g'(x)>0, 所以g(x)=f(x)在(，2x]上单调递增。 …12分 又因为f(经)=-1<0，f2x)=1n2>0,所以存在，∈（经，2），使得f(）=0, 故f(x)在(，x)上单调递减，在(x,2x)上单调递增。 又f()=号f()=29-竖=29-2<0，f2x=0, 【高三数学·参考答案第6页（共8页）】