精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2025届高三考前适应性训练一数学试题

临澧一中2025届高三考前适应性训练（1） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数的共轭复数为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算以及共轭复数的定义，再结合乘法运算即可求得结果. 【详解】， 所以， 所以 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式的性质求函数的定义域和值域，再应用集合的交运算求集合. 【详解】由，， 所以. 故选：D. 3. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式以及同角三角关系可得，再结合正、余弦函数的单调性分析求解即可. 【详解】由题意可得：， 因为，则， 可得， 所以. 故选：B. 4. 若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用向量数量积的运算律可得，进而求投影向量. 【详解】令，且， 所以，可得， 所以向量在上的投影向量为. 故选：A 5. 下列可以作为方程的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助排除法，得到、不可能同时成立，即可排除A、C、D. 【详解】当时，， 若，则，即，不符， 故、不可能同时成立，故A、C、D选项错误. 故选：B. 6. 已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义分析可得为正三角形，进而可求直线的方程，与抛物线的方程联立求交点纵坐标，即可得结果. 【详解】由题意得：抛物线C：y²=8x的焦点为，准线为， 设准线l与x轴的交点为， 由抛物线定义知，而，故为正三角形，可得， 不妨令直线，设， 联立方程，消去x得，解得或， 即，可得， 所以． 故选：C. 7. 已知三棱柱的所有顶点都在球的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球的表面积为，则三棱柱的体积为 A. B. 12 C. D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a，高为h，截面圆的半径为r，球半径为R，可得，从而得到结果. 【详解】因为三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同， 所以该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a，高为h，截面圆的半径为r，球半径为R， ∵球O的面积为 ， ，解得， ∵底面和侧面截得的圆的大小相同， ∴， ∴，① 又∵，② 由①②得， 则该三棱柱的体积为． 故选A. 【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解． 8. 若函数有两个不同的零点，且，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将转化为，利用换元法，方程有两根，且，结合二次函数图像的特点，开口朝上，只需即可，得到. 【详解】不妨设的两个零点，由，即，∴. 令，得：，令，则方程有两根，且，记， 则有：，. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 1984年至2024年历届夏季奥运会中国获得的奖牌数（单位：枚）如表所示，则下列说法正确的是（ ） 年份 金牌数 银牌数 铜牌数 奖牌总数 1984 15 8 9 32 1988 5 11 12 28 1992 16 22 16 54 1996 16 22 12 50 2000 28 16 14 58 2004 32 17 14 63 2008 48 22 30 100 2012 39 31 22 92 2016 26 18 26 70 2021 38 32 19 89 2024 40 27 24 91 A. 历届夏季奥运会中国获得的金牌数的中位数是32 B. 历届夏季奥运会中国获得的银牌数的众数是22 C. 历届夏季奥运会中国获得的铜牌数的平均数是18 D. 历届夏季奥运会中国获得的奖牌总数的第60百分位数是63 【答案】BC 【解析】 【分析】根据统计表中的数据，利用样本的数字特征的定义以及百分位数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A：将历届夏季奥运会中国获得的金牌数按从小到大排序： ．可得中位数为，A不正确． 对于B：历届夏季奥运会中国获得的银牌数中，出现了3次，出现的次数最多，故众数为，B正确． 对于C：历届夏季奥运会中国获得的铜牌数的平均数为，C正确． 对于D：将历届夏季奥运会中国获得的奖牌总数按从小到大排序：，．因为， 所以第百分位数是从小到大排序后的第7个数，D不正确． 故选：BC 10. 已知函数，下列有关结论正确的是（ ） A. 对任意，在上恒成立 B. 存在，是上的单调函数 C. 存在，有唯一极值 D. 任意，在上有且只有一个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导，讨论、分别研究对应的区间单调性、极值和零点，进而依次判断各项的正误. 【详解】A选项，由题设，令，则且在R上单调递增， 当时，，是上的增函数，又， 则时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，，A正确. BC选项，当时，令，可得. 时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又. 当，即时，，是上的单调增函数，B正确. 当，即且时，， 存在（或），使得， 又，此时和0是的两个极值点，且时无极值，C错误. D选项，当时，，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，，，， 故在必唯一存在零点，D正确. 故选：ABD 11. 我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均率”的音乐理论，该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均率”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键（7个白键5个黑键）构成一个“八度”，每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍，如图中所示的琴键的音高（称为“中央C”）.将每个“八度”（ 如与之间的音高变化）按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键的音阶.当钢琴的键调为标准音440Hz时，下列选项中的哪些频率（单位：Hz）的音可以是此时的钢琴发出的音（ ） （参考数据：，，，，，） A. 110 B. 233 C. 505 D. 1244 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.由可得答案；对于BCD，通过求出相邻音阶的公比，逐一检验选项即可. 【详解】∵A4 = 440，，故110Hz是A4往左两个“八度”A2键的音，A正确. 设相邻音阶的公比为，则，∴. 而A3 = 220，A4 = 440，A5 = 880，，B正确； （n∈N*），C不正确； ，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，常数项为______． 【答案】70 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得解. 【详解】的展开式的通项， 令，则，故常数项为． 故答案为：. 13. 已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据极值点及已知可得，则，结合正弦型函数的性质及区间零点和对称轴有，即可得. 【详解】因为是的极大值点， 所以，，即， 又，故，所以， 当时，，在有两个零点和三条对称轴， 所以，解得. 故答案为： 14. 已知在正三棱台中，，，侧棱长为4，点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为，则长度的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，得到为正四面体，棱长为6，找到与平面所成角，根据其大小得到，得到点轨迹是以为圆心，为半径的圆，求出最小值. 【详解】延长正三棱台的三条侧棱交于，则为正四面体，棱长为6， 设为的中心，连接，则⊥平面， 由正弦定理得， 由勾股定理得， 又，且，故， 点轨迹是以为圆心，为半径的圆， 的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前2025项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用的关系求得、，结合等比数列的定义写出通项公式； （2）根据已知有，易知，即可求和. 【小问1详解】 为数列的前项和，， 时，，则， 时，由，得， 两式相减可得，即， 数列是首项为，公比为的等比数列，则； 【小问2详解】 由题设，可得， 记的前项和为，因为，为正整数， 则. 16. 在锐角三角形中，角的对边分别为，． （1）求； （2）若，求内切圆半径的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系化简已知条件为，结合三角形内角的性质得，即可求其大小； （2）利用等面积法得到内切圆半径的表达式，利用余弦定理转化的表达式，运用正弦定理及三角函数的图象与性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 则，得， 易知，所以，又，所以． 【小问2详解】 设内切圆的半径为，则，得． 由余弦定理得，整理得， 所以． 由正弦定理得，所以，， 则． 因为为锐角三角形，所以，得， 所以，则，所以， 故， 所以内切圆半径的取值范围为． 17. 2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. （1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率； （2）求离散型随机变量的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列： 2 4 6 8 10 数学期望为 【解析】 【分析】（1）设出事件，得到相应的概率，相加后得到答案； （2）得到随机变量的可能取值及对应的概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分”， 则，，. 记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分”， 则，，. 记事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”， 则 ， 则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为. 【小问2详解】 由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10， ， ， ， ， ， 则离散型随机变量的分布列为 2 4 6 8 10 所以数学期望. 18. 已知函数，为的导函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间和极值； （3）当时，求证：对任意的，，且，有． 【答案】（1） ； （2）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值 ； （3）由，得． 对任意的，，且，令，则 ． ① 令，． 当时，， 由此可得在单调递增， 所以当时，，即． 因为，，， 所以 ． ② 由（2）可知，当时，，即， 故 ③ 由①②③可得． 所以，当时，任意的，且，有． 【解析】 【分析】（1）求出导数后可得切线斜率，从而得切线方程； （2）求出导函数，求出的解，确定的正负，得的单调区间，极值． （3）求出，设，不等式变形为， 而， 设令，．利用导数证明，这样由已知条件可得 ．结合（2）可证得结论成立． 【小问1详解】 当时，，．可得，，所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 依题意，． 从而可得，整理可得：， 令，解得． 当x变化时，的变化情况如下表： x - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 的极小值为，无极大值． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的单调区间和极值，证明不等式．解题关键是不等式的变形，一是去分母，二是引入参数，这是关键所在，这样可把不等式的证明分解为：，，后者用导数进行证明，前者直接因式分解可得，然后由不等式的性质放缩，恰好利用（2）的结论得证． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，． （1）当时， ①求证：； ②求平面和平面所成角的余弦值； （2）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ①由椭圆定义可知， 所以的周长，所以， 因为离心率为，故，解得， 则，由题意，椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆方程为， 直线，即， 联立得，解得或， 当时，，当时，， 因为点A在x轴上方，所以， 故⊥，折叠后有⊥， 因为二面角为直二面角，即平面⊥，交线为， 平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥； ② （2） 存在， 【解析】 【分析】（1）①根据椭圆定义得到，结合离心率得到，求出，得到椭圆方程，联立直线方程和椭圆，得到，得到⊥，结合二面角为直二面角，得到线面垂直，证明出结论； ②建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，从而求出面面角的余弦值； （2）设折叠前，折叠后对应的，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，根据折叠前后的周长关系得到，变形得到，代入两根之和，两根之积，求出，进而求出的值. 【小问1详解】 ①略. ②以为坐标原点，折叠后的轴负半轴为轴，原轴为轴，原轴正半轴为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 其中平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为； 【小问2详解】 设折叠前，折叠后对应的， 设直线方程为， 将直线与椭圆方程联立得，， 则， 在折叠前可知， 折叠后，在空间直角坐标系中，，， 由，， 故， 所以①， 分子有理化得， 所以②， 由①②得， 因为 ， 故， 即， 将代入上式得 ， 两边平方后，整理得， 即，解得， 因为，所以. 【点睛】出题非常新颖，将立体几何和解析几何结合，考查学生的综合能力，在解决图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用平面几何知识或建立空间直角坐标系进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中2025届高三考前适应性训练（1） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数的共轭复数为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 下列可以作为方程的图象的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知三棱柱的所有顶点都在球的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球的表面积为，则三棱柱的体积为 A. B. 12 C. D. 18 8. 若函数有两个不同的零点，且，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 1984年至2024年历届夏季奥运会中国获得的奖牌数（单位：枚）如表所示，则下列说法正确的是（ ） 年份 金牌数 银牌数 铜牌数 奖牌总数 1984 15 8 9 32 1988 5 11 12 28 1992 16 22 16 54 1996 16 22 12 50 2000 28 16 14 58 2004 32 17 14 63 2008 48 22 30 100 2012 39 31 22 92 2016 26 18 26 70 2021 38 32 19 89 2024 40 27 24 91 A. 历届夏季奥运会中国获得的金牌数的中位数是32 B. 历届夏季奥运会中国获得的银牌数的众数是22 C. 历届夏季奥运会中国获得的铜牌数的平均数是18 D. 历届夏季奥运会中国获得的奖牌总数的第60百分位数是63 10. 已知函数，下列有关结论正确的是（ ） A. 对任意，在上恒成立 B. 存在，是上的单调函数 C. 存在，有唯一极值 D. 任意，在上有且只有一个零点 11. 我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均率”的音乐理论，该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均率”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键（7个白键5个黑键）构成一个“八度”，每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍，如图中所示的琴键的音高（称为“中央C”）.将每个“八度”（ 如与之间的音高变化）按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键的音阶.当钢琴的键调为标准音440Hz时，下列选项中的哪些频率（单位：Hz）的音可以是此时的钢琴发出的音（ ） （参考数据：，，，，，） A. 110 B. 233 C. 505 D. 1244 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，常数项为______． 13. 已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为_____ 14. 已知在正三棱台中，，，侧棱长为4，点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为，则长度的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前2025项和. 16. 在锐角三角形中，角的对边分别为，． （1）求； （2）若，求内切圆半径的取值范围． 17. 2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. （1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率； （2）求离散型随机变量的分布列与期望. 18. 已知函数，为的导函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间和极值； （3）当时，求证：对任意的，，且，有． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，． （1）当时， ①求证：； ②求平面和平面所成角的余弦值； （2）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $