专题01 与直线的斜率与倾斜角有关五种求参题型（高效培优专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题01 与直线的斜率、倾斜角有关五种典型能力题型 题型一：已知直线的倾斜角或斜率求参数 题型二：斜率公式的应用 题型三：直线与线段的相交关系求斜率范围范围 题型四：直线的倾斜角或斜率与实际问题的联系 题型五：与其他章节融合 题型一：已知直线的倾斜角或斜率求参数 1．若经过，两点的直线的倾斜角为，则m等于（  ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜率公式，由题中条件列出方程求解，即可得出结果. 【解析】因为经过，两点的直线的倾斜角为， 所以，解得. 故选：A 2.若经过，两点的直线斜率为1，则实数（  ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【解析】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 3.已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（  ） A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 【答案】C 【分析】根据条件得到直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系计算可得结果. 【解析】由得，或． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，的值为3或． 故选：C 4.经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案. 【解析】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角， 可知 ，且 ， 解得 ，即实数m的范围是， 故选：C. 5.过两点的直线的倾斜角为，则（  ） A． B． C．或 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由直线斜率的计算公式代入计算，然后检验，即可得到结果. 【解析】由题意可得，，化简可得， 解得或， 当时，，两点重合，故舍去. 所以. 故选：A. 6.已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ． 【答案】 【分析】根据直线斜率的定义和两点求斜率公式建立方程，解之即可. 【解析】由题意知， 该直线的斜率为， 解得. 故答案为： 题型二：斜率公式的应用 7．若，，三点在同一条直线上，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可. 【解析】因为A，B，C三点在同一条直线上，所以，所以， 解得. 故选：D 8.已知，，若在线段上，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，所以，结合即可求出答案. 【解析】因为点在线段上， 所以，且， 即，所以， 设， 所以当时，. 故选：D. 9.（多选）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意设点B的坐标为或，根据斜率公式计算即可． 【解析】当点B在轴上时，设，由，可得，解得，， 当点B在轴上时，设，由，可得，解得， ， 所以点B坐标为或. 故选：BC. 10．已知从点射出的光线经轴上的点反射后经过点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由题意设，根据斜率公式计算即可． 【解析】设点， 根据反射的对称性，知点关于轴的对称点与在同一直线上， 所以，所以，解得， 所以点的坐标为． 故答案为：. 11．已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【答案】. 【分析】首先求出的斜率，再分、两种情况讨论，由得到不等式，解得即可. 【解析】因为、、， 所以， 当，即，此时，，，则的斜率不存在， 此时、、三点能构成一个三角形， 当，即时，， 要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得， 综上，可得实数的取值范围. 题型三：直线与线段的相交关系求斜率范围范围 12．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案. 【解析】如图，直线的斜率为；直线的斜率为； 当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或. 故选：B. 13.已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解析】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B 14.已知，若点在线段上，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点连线的斜率公式知表示点和点连线的斜率，再数形结合，即可求出结果. 【详解】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为，    故选：C. 15.（多选）已知，，若直线恒过点且与线段相交，则直线的斜率取值可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解析】设, 则， 如图， 由图可知，当时，直线与线段相交， 故选：AC 16.已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解析】直线过定点， 则，， 如图，要使直线与线段相交， 则直线l的斜率应满足， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 故答案为:. 17.已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可 （2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可. 【解析】（1）由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. （2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，    此时由增大到，又，， 所以的取值范围为， 即直线CD的倾斜角的取值范围为. 题型四：直线的倾斜角或斜率与实际问题的联系 18．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距，均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案. 【解析】， 故，， 则， 故选：D. 19．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（  ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【答案】A 【分析】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【解析】因为，所以， 不妨设，则 ． 由题意，知，即． 解得． 故选：A． 21.台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【解析】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B. 题型五：与其他章节融合 22.直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据倾斜角的范围，正切的性质判断“”与“”的逻辑关系即可. 【解析】因为直线，的倾斜角分别为，， 所以， 若，则， 若，则都不存在， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 23.直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系，由两角差的正切公式以及同角三角函数之间的基本关系计算可得结果. 【解析】设直线，的倾斜角分别为，则,; 因此； 所以. 故选：C 24.已知函数，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解析】因为，图象如下图，，   ， 表示函数上一点与连线斜率的倍， ，， 由图可知：或， 所以或， 则的取值范围为. 故选：D. 25.已知点，，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系，由三角恒等变换相关公式计算可得结果. 【解析】方法一：设直线的倾斜角为， 则. 直线的倾斜角为； 故答案为：. 26.已知边长为的正三角形，分别在边上，满足，连接，则和的夹角为 . 【答案】/ 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系，由两直线的夹角的正切公式计算 【解析】以的中点为坐标原点，建立直角坐标系， 所以，， 因为，可得，， 则直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以，两直线的夹角的正切值为， 所以，所求夹角为. 故答案为：. 27.矩形OABC中，为坐标原点，，光线从OA边上一点发出，到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到轴上的点，若，则与轴倾斜角的正切值的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据图形刻画倾斜角与角的正切公式来计算 【解析】设与轴倾斜角为，由题意可知，， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 28.已知实数，满足方程，当时，的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解析】由方程，令，解得，令，解得，设， 由表示的是点与点所连直线的斜率，则问题等价于过点与线段相交的直线的斜率的取值范围，作图如下： 则直线的斜率，直线的斜率，即， 故答案为： 29.点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】把转化为与点所成直线的斜率，作出函数在部分图象上的动点，结合斜率公式，即可求解. 【解析】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 30.已知函数，且，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）． 【答案】 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解析】由题意可知：的几何意义为点和点连线所在直线的斜率． 如图所示，， 分别为图中直线①，直线②，直线③的斜率， 根据图像知， 故答案为： 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 与直线的斜率、倾斜角有关五种典型能力题型 题型一：已知直线的倾斜角或斜率求参数 题型二：斜率公式的应用 题型三：直线与线段的相交关系求斜率范围范围 题型四：直线的倾斜角或斜率与实际问题的联系 题型五：与其他章节融合 题型一：已知直线的倾斜角或斜率求参数 1．若经过，两点的直线的倾斜角为，则m等于（  ） A．2 B．1 C． D． 2.若经过，两点的直线斜率为1，则实数（  ） A．3 B． C．2 D．1 3.已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（  ） A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 4.经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（  ） A． B． C． D． 5.过两点的直线的倾斜角为，则（  ） A． B． C．或 D．2 6.已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ． 题型二：斜率公式的应用 7．若，，三点在同一条直线上，则的值为（  ） A． B． C． D． 8.已知，，若在线段上，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 9.（多选）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（  ） A． B． C． D． 10．已知从点射出的光线经轴上的点反射后经过点，则点的坐标为 ． 11．已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 题型三：直线与线段的相交关系求斜率范围范围 12．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 13.已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（  ） A． B． C． D． 14.已知，若点在线段上，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 15.（多选）已知，，若直线恒过点且与线段相交，则直线的斜率取值可能是（  ） A． B． C． D． 16.已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 17.已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 题型四：直线的倾斜角或斜率与实际问题的联系 18．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距，均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（  ） A． B． C． D． 19．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（  ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 21.台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 题型五：与其他章节融合 22.直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23.直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（  ） A． B． C． D． 24.已知函数，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 25.已知点，，则直线的倾斜角为 ． 26.已知边长为的正三角形，分别在边上，满足，连接，则和的夹角为 . 27.矩形OABC中，为坐标原点，，光线从OA边上一点发出，到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到轴上的点，若，则与轴倾斜角的正切值的取值范围是 . 28.已知实数，满足方程，当时，的取值范围为 . 29.点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 30.已知函数，且，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$