2025年山东省临沂市罗庄区中考数学二模试卷（B卷）

2025年山东省临沂市罗庄区中考数学二模试卷（B卷） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，数轴上点P表示的数是(    ) A. B. 0 C. 1 D. 2 2.下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.神舟十九号飞船在轨道上运行时，每小时飞行约28800千米，科学记数法表示为(    ) A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 4.如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是(    ) A. B. C. D. 5.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.下列尺规作图不能得到平行线的是(    ) A. B. C. D. 7.计算的结果等于(    ) A. B. C. D. 8.如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是(    ) A. B. C. D. 1 9.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图所示的工件槽，其两个底角均为，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知的直径就是铁球的直径，AB是的弦，CD切于点E，、，若，，则这种铁球的直径为(    ) A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 24cm 10.如图①，在中，动点P从点A出发，以的速度向点B的方向运动，设运动时间为，，y与t之间函数图象如图②所示，则图②中最低点M的纵坐标是(    ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 11 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若有意义，则x的取值范围是______. 12.如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，，，点F为BC中点，则EF的长为______. 13.如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为40cm，毛刷的一端为固定点P，另一端为点，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上.则图中阴影部分的周长为______. 14.如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线的图象上，若正方形ABCO的边长为，且边OC与y轴的负半轴的夹角为，则a的值是______. 15.在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和，两种取法，即；当时，可得；……若，则k的值为______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题8分 计算：； 解不等式，并把它的解集表示在数轴上. 17.本小题8分 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为万人，4月份游客人数为万人. 求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； 预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 18.本小题8分 某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示图中各点均在同一竖直平面内： 先将无人机从地面的点C处垂直上升至点P，此时测得书圣阁的顶端A的俯角为； 再将无人机从点P处向右沿水平方向飞行60m至点D，然后沿垂直方向上升20m至点Q，此时测得书圣阁的端A的俯角 测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度结果保留整数，参考数据：，， 19.本小题8分 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐.小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天.该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车.为了选择合适的型号，小明随机对三种型号汽车的满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 C型纯电动汽车满电续航里程统计情况 续航里程 430 440 450 460 470 车辆数/辆 20 30 60 50 40 型号 平均里程 中位数 众数 A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n 【分析数据】 小明共调查了______辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； 在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“390km”对应的圆心角度数为______； 由上表填空：______；______； 【判断决策】 结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由. 20.本小题9分 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为 求反比例函数的表达式. 观察图象，直接写出不等式的解集. 将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若的面积为20，求直线CD的表达式. 21.本小题10分 如图，内接于，，过点B作BC的垂线，交于点D，并与CA的延长线交于点E，作，垂足为M，交于点 求证：； 若的半径，，求线段BF的长. 22.本小题12分 综合与实践 问题情境 如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处. 建模分析 第一步：如图2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系. 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 ⋯ 0 4 4 ⋯ 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡OA的函数表达式为 问题解决 求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式不要求写自变量的范围 如图3，在斜坡点靠近点位置处种了一棵树，树的高度为米.若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标. 求小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度. 23.本小题12分 如图，AC是菱形ABCD的对角线. 尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为保留作图痕迹，不写作法； 在所作的图中，连接BD，CE； ①求证：∽； ②若，求的值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：根据数轴可知，点P表示的数为：， 故选： 根据数轴所示即可得出结果． 本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选： 根据中心对称图形，轴对称图形的定义一一判断即可． 本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型． 3.【答案】B  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】A  【解析】解：从左边看下边是一个大矩形，上边是一个小矩形，且长相等． 故选： 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 5.【答案】D  【解析】解：A、2a与3b不是同类项，没法合并，故选项A不正确； B、由完全平方公式得，故选项B不正确； C、由积的乘方和幂的乘方得，，故选项C不正确； D、单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式，故选项D正确． 故选： 利用幂的运算，完全平方公式，单项式乘单项式的运算法则，容易选出D选项. 此题考查完全平方公式，幂的运算，单项式乘以单项式，较为基础． 6.【答案】D  【解析】解：通过尺规作图不能得到平行线的为. 故选： 利用基本作图，根据同位角相等两直线平行可对A选项进行判断；根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可对B选项进行判断；根据内错角相等两直线平行可对C选项进行判断；根据平行线的判定方法可对D选项进行判断． 本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定． 7.【答案】C  【解析】解： ， 故选： 由于是异分母的分式的加减，所以先通分，化为同分母的分式，然后进行加减即可． 本题主要考查了分式的加减，计算时首先判断分母是否相同，然后利用分式加减的法则计算即可． 8.【答案】B  【解析】解：把、、分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有6种可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、 所以同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为 故选： 画树状图，可知共有6种可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可． 本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 9.【答案】C  【解析】解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA， 、， ， ， 四边形ACDB是平行四边形， 四边形ACDB是矩形， ，， 切于点E， ， ， 四边形EFBD是矩形，， ， 设的半径为r cm，则，， 在中，， ， 解得：， 这种铁球的直径为20cm， 故选： 连接OE，交AB于点F，连接OA，、，由矩形的判断方法得出四边形ACDB是矩形，得出，，由切线的性质得出，得出，得出四边形EFBD是矩形，，进而得出，设的半径为r cm，则，，由勾股定理得出方程，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径． 本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：如图，作于H，HB上取点Q，使， 垂直平分AQ， ， 当或时，， ，， ， 当时，， ，， 在中，， 在中，， ，即， ， ， ， 当点P在点H处时，CP最短， 故选： 作于H，HB上取点Q，使，CH垂直平分AQ，，当时，，得，，利用勾股定理求出a，当点P在点H处时，CP最短，点M的纵坐标即CH的长． 本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 11.【答案】  【解析】解：根据题意，得 ， 解得，； 故答案是： 二次根式的被开方数是非负数． 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 12.【答案】5  【解析】解：四边形ABCD是菱形， ，， ， ， 是等边三角形， ， 点F为BC中点， ， 故答案为： 由四边形ABCD是菱形，可得，，，又，知是等边三角形，，而点F为BC中点，故 本题考查菱形的性质及应用，涉及等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 13.【答案】  【解析】解：如图，连接AB，OA，OB，OP， ， ，P，B三点在同一直线上， 经过点P， 由题意得AB为半圆的直径，，， ， 在中，， ， ，， ， ， ，， 阴影部分的周长， 故答案为： 先根据题意得出点P是AB的中点，再根据垂径定理的推论得出，结合已知条件得出的度数，于是得出，根据弧长公式计算出弧AB，弧BCA，即可求出阴影部分的周长． 本题考查了弧长的计算，垂径定理的推论，熟记弧长公式是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：如图，连接OB， 四边形OABC是边长为的正方形， ，， 过点B作轴于D， 边OC与y轴的负半轴的夹角为， ， ， ， 点B的坐标为， 点B在抛物线的图象上， ， 解得 故答案为： 连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得，过点B作轴于D，然后求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出OD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可． 本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出OB与x轴的夹角为，然后求出点B的坐标是解题的关键． 15.【答案】20  【解析】解：当时，从1，2，中，取两个数的和大于9，由列举法可得： ，，，，，，，共8种； ，，，，，共6种； ，，，共4种； ，共2种； ； 故答案为： 当时，从1，2，中，取两个数的和大于9，由列举法找到规律可得 本题考查数字变化规律，发现规律是关键． 16.【答案】；   ，数轴见解析．  【解析】 ； ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， x的系数化为1得，， 在数轴上为： . 先根据绝对值的性质，零指数及负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可； 先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可． 本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，实数的运算，绝对值的性质，零指数及负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键． 17.【答案】解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 由题意可得：， 解得：，不合题意舍去， 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； 设5月份后10天日均接待游客人数是a万人， 由题意可得：， 解得：， 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是万人．  【解析】设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为万人，4月份游客人数为万人，列出方程可求解； 设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解． 本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：从地面的点C处垂直上升至点P，此时A的俯角为；从点P处向右沿水平方向飞行60m至点D，垂直上升20m至点Q，此时A的俯角如图，延长BA交QE于M，延长PD交MB于F， 四边形QMFD，PCBF为矩形， ，，， 设，则， 在中，， ， 则， ， 在中，，， ，即， 解得：， 则， 答：书圣阁的高度约为 延长BA交QE于M，延长PD交MB于F，设，在中，，可得，，在中，通过，列出方程，解方程求得MA，最后通过，求得AB的值． 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，准确理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 19.【答案】20，补全条形统计图见解答；   72；   430，450；   小明C型号的纯电动汽车较为合适，理由见解答．  【解析】辆，400km的数量为：辆， 补全条形统计图如下： 故答案为：20； 在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“390km”对应的圆心角度数为：， 故答案为：72； 型纯电动汽车满电续航里程共调查了20辆，从低到高排列后中位数应第10，11辆的平均数，，， ， C型纯电动汽车满电续航里程中，续航里程450km的出现次数最多共6辆， 故答案为：430，450； 三个型号中C型号的纯电动汽车的平均数，中位数，都是最高的， 选择C型号的纯电动汽车较为合适． 用“410km”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“400km”的数量，再补全条形统计图即可； 用乘续航里程为390km的占比即可； 分别根据中位数和众数的定义解答即可； 结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 本题考查的是条形统计图，扇形统计图，折线统计图，众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键． 20.【答案】解：正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点， 、B关于原点对称， 的横坐标为，B的纵坐标为， ，， 点在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数的表达式为； 观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象下方， 不等式的解集为或； 方法一：连接BE，作轴于点G， 在直线上， ，解得， 直线AB的表达式为， ， ， ， ， ， ， ， 直线CD为 方法二： 连接BF，作轴于H， 在直线上， ， 直线AB的表达式为， ， ， ， ， ， ， 设直线CD的表达式为， 代入F点的坐标得， 解得， 直线CD为  【解析】利用利用反比例函数中心对称性，可求出A、B的坐标，进而可求出反比例函数的表达式； 观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集； 方法一：连接BE，作轴于点G，求得直线AB的解析式，根据平行线间的距离相等得出，即可求得，从而求得直线CD为 方法二：连接BF，作轴于H，求得直线AB的解析式，根据平行线间的距离相等得出，即可求得，从而求得直线CD为 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的对称性，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，平行线间的距离相等，三角形的面积，根据三角形面积求得E、F点的坐标是解题的关键． 21.【答案】解：证明：如图，连接DC， 则， ， ， ， ； 如图，， 为的直径， ， ， ， ， ，， ∽， ， ，， 连接CF，则，， ，   【解析】如图，连接DC，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； 如图，根据圆周角定理得到CD为的直径，求得根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 22.【答案】；  ；  小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为米．  【解析】解：由表格知，抛物线的顶点为， 所以抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， 抛物线解析式为； 由题意知， 解得：或， 斜坡点B靠近点O， ， 则， ； 小球在飞行过程中距坡面的铅直高度 ， ， 当时，小球在飞行过程中距坡面的铅直高度取得最大值，最大值为 答：小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为米． 由表格知，抛物线的顶点为，所以抛物线解析式为，将代入求出a的值即可得出答案； 由题意知，解之求得x的值即可得出答案； 小球在飞行过程中距坡面的铅直高度，配方成顶点式即可得出答案． 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出相应的函数解析式． 23.【答案】见解析；   ①见解析；②  【解析】解：如图1，就是所求的图形． ①证明： 由旋转得，，， ，， ， ∽ ②解：如图2，延长AD交CE于点F， 四边形ABCD是菱形， ， 由旋转可得， ，， ≌， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 解关于x的方程得， ， 的值是 根据SSS作两个三角形全等即可； ①证明，，即可得证；②延长AD交CE于点F，由菱形的性质得，，进而证明≌，得，再利用三线合一得，设，，利用三角函数及勾股定理求解即可． 本题属于相似形综合题，主要考查了尺规作三角形、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、解直角三角形以及等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$