精品解析：北京市第一六一中学2024-2025学年高三下学期热身阶段测试数学试题

北京市第一六一中学2024-2025学年高三下学期热身阶段测试数学试题 班级_______________姓名_______________学号_______________ 考生须知：1．本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟. 2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答. 4．考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回. 一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意得，集合中的元素满足，，，，，，则的可能取值为0，1，2，3，4，8，即，所以． 2. 若，则虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. i D. -i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数，即得虚部. 【详解】由可得：，故其虚部为. 故选：A. 3. 下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和在区间上单调递增逐项分析. 【详解】选项A由令的定义域为， 且， 由函数为二次函数开口向下，对称轴为轴， 所以在单调递减，故函数在区间上单调递减， 故A错误， 由的定义域为，关于原点对称 且， 所以为奇函数，故选项B错误， 由的定义域为， 且， 所以为奇函数，故C错误， 由的定义域为， 且，所以 为偶函数， ，且， 所以 ， 因为，且， 因为在上单调递增， 所以，， 所以， 故， 所以在区间上单调递增， 故选：D. 4. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取即可判断A、B、D选项是错误的，由基本不等式即可判断C选项是正确的. 【详解】取满足，且，此时，A错误； 取满足，且，此时，B错误； 可得，C正确； 取满足，且，此时，D错误. 故选：C. 5. 已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，列出余弦函数方程解出即可. 【详解】由于角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合， 所以， 所以，即，解得， 当时，， 故选：C. 6. “”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再集合的包含关系得条件关系.. 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为1， 设圆心到直线的距离为 则，解得：. 而为的真子集， 故“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“直线与圆相交”的必要不充分条件， 故选：B 7. 已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的最大值为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示和，再求数量积. 【详解】， 所以， ， ， ， ，， 当时，取得最大值. 故选：C 8. 已知为椭圆M:+=1和双曲线N:-=1的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到，根据勾股定理得到，计算得到答案. 【详解】为椭圆M:+=1和双曲线N:-=1的公共焦点 故，故 ，故即 故选： 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力. 9. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设，则， 依题意，有，且， 所以，故， 故选：D 10. 在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为；乙校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为，对于此次测试，给出下列三个结论： ①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率； ②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率； ③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定. 其中正确结论的个数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断各结论后得正确的选项. 【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确； 因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确； 因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确. 故选：C. 二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 11. 已知函数，若，则_____________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据对数运算和指数运算，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】因为，则，则，即； 又. 故答案为：4. 12. 在的展开式中，若二项式系数的和等于，则________，此时的系数是_______.（用数字作答） 【答案】 ①. 6 ②. 135 【解析】 【分析】利用二项式系数的和等于，求解值，利用通项公式求解的系数. 【详解】由二项式系数的和等于，则，； 通项公式为， 令，所以的系数为. 故答案为：；. 13. 设函数，则函数的最小正周期为____；若对于任意，都有成立，则实数的最小值为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得该函数的周期，求出函数的最大值，可求得实数的最小值. 【详解】， 所以，函数的周期为， 函数的最大值为， 由于对于任意，都有成立，则. 因此，实数的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，考查计算能力，属于中等题. 14. 正四面体ABCD中，棱长为4，则此四面体的表面积为___________；点为BD中点，过的截面与棱AB平行，点在截面上，若到棱AB和棱CD的距离都为，则的一个取值为_________. 【答案】 ①. ②. （答案不唯一，在区间中即可） 【解析】 【分析】先根据正四边体的表面积的求出，求出表面积，再根据异面直线之间的距离，求出距离的最小值. 【详解】正四面体棱长为4，四个面都是正三角形，则三角形边长为4时，高为，则面积为，则表面积为. 如图所示，作的中点，连接， 在正四面体中，所以为等腰三角形， 所以，则是异面直线之间的距离， 可知在中，，所以， 所以平面过中点时，取得最小值，最小值为. 过点作,在等边中，， 所以截面上的点到棱距离最大值为，同理截面上的点到棱距离最大值为， 所以取范围为，故d的一个值可取， 故答案为：； 15. 曲线是平面内到原点的距离与到直线的距离的乘积等于常数（）的点的轨迹. 给出下列四个结论： ①曲线过点； ②曲线关于轴对称； ③曲线存在渐近线； ④曲线与被轴截得的弦长大于. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】将所求点用直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，令可判断①，根据用代入可判断②，根据，，可得可判断①；令，可得，可判断④． 【详解】设动点的坐标为， 因为曲线是平面内到原点的距离与到直线的距离的乘积等于常数（）的点的轨迹， 所以， 当时，，曲线不过点，故①错误； 将中的用代入该等式不变，曲线关于轴对称，故②正确； 当时，，方程不成立，所以， 又当，可得，所以是曲线的渐近线，故③正确； 令，可得，所以，所以， 当时，，不成立， 当时，，整理得， 设为方程的两根，所以， 所以， 所以曲线与被轴截得的弦长大于.故④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题：本大题共6题，共85分.把答案填在答题纸中相应的位置上. 16. 如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点G，连接， 则，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）取中点G，连接，可得四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答； （2）（i）建立空间直角坐标系，即可求解平面的法向量，利用二面角夹角公式求解二面角余弦；（ii）由点到平面距离公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 则． 设平面的法向量为， 则，取，则 设平面的法向量为， 设二面角为，   则 ， 因为为锐角，所以； （ii）由（i）平面的一个法向量为， 点到平面的距离 17. 在中，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值． 条件①:，边上中线的长为； 条件②:，的面积为6； 条件③:，边上的高的长为2． 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选择条件①：设点为的中点，则，， 中，根据余弦定理, 解得：或， 这样或，则不唯一确定； 选择条件②： 在中，， 解得. 所以. 解得. 在中，因为，所以. 选择条件③：在中，因为，， 所以， 在中， 在中，可得 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求解； （2）若选择①，结合余弦定理，即可判断；若选择②结合面积公式，余弦定理，以及正弦定理，即可求解；若选择③结合三角恒等变换公式，以及直角三角形的三角公式，即可求解. 【小问1详解】 在中，因为， 再由 可得. 所以，即. 因为，所以，， 所以. 【小问2详解】 略 18. 果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵而成.研究表明，果酒中的芳香气味主要来自于酯类化合物.某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌（A型，B型，C型）分别对三组（每组10瓶）相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量，实验过程中部分发酵液因被污染而废弃，最终得到数据如下（“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺）： 酵母菌类型 该酯类化合物的含量（μg/L） A型 X 2747 2688 X X 2817 2679 X 2692 2721 B型 1151 X 1308 X 994 X X X 1002 X C型 2240 X X 2340 2318 X 2519 2162 X X 根据发酵液中该酯类化合物的含量t（μg/L）是否超过某一值来评定其品质，其标准如下： 酵母菌类型 品质高 品质普通 A型 B型 C型 假设用频率估计概率 （1）从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率； （2）设事件D为“从样本含A型，B型,C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，求事件D发生的概率； （3）设事件E为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”试比较事件E发生的概率与（2）中事件D发生的概率的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求未废弃的发酵液总数，再求品质高的瓶数，结合古典概率求解可得答案； （2）设出事件，利用对立事件求解概率可得答案； （3）先求事件E的概率，比较大小可得答案. 【小问1详解】 设事件“从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”， 由题可知，未废弃的发酵液共有6+4+5=15瓶，其品质高的有9瓶， 所以. 【小问2详解】 事件“从样本含A型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”， 事件“从样本含B型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”， 事件“从样本含C型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”， 由题意得; . 【小问3详解】 由题意，所以. 19. 设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）存在直线，使得四边形的对角线互相平分，理由如下： 由题可知直线，直线的斜率存在， 设直线的方程为，直线的方程为 由，消去 得， 由题意，可知 ，设，， 则，， 由消去, 得， 由，可知，设，又， 则 若四边形的对角线互相平行，则与的中点重合， 所以，即 故 所以 解得， 所以直线为，四边形的对角线互相平分． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据对称性求出点，从而可得出椭圆两焦点的坐标，利用椭圆定义求出的值，结合的值，可求出的值，从而写出椭圆的方程； （Ⅱ）设直线的方程为，可得出直线的方程为，设，， 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去，得出有关的一元二次方程，并列出韦达定理，同理将直线的方程与椭圆的方程联立可得出点的坐标，由已知条件得出线段与的中点重合，从而可得出有关的方程，求出的值，即可得出直线的方程． 【详解】（Ⅰ）由点和关于点对称，得， 所以椭圆E的焦点为，， 由椭圆定义，得 . 所以 ，. 故椭圆的方程为； （Ⅱ）结论：存在直线，使得四边形的对角线互相平分，理由略. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，对于直线与椭圆的综合问题，常采用韦达定理法，本题中注意到四边形为平行四边形，利用两对角线互相平分结合韦达定理进行求解，这是解题的关键，同时在解题中也要注意韦达定理法适用的情形． 20. 已知函数． （1）当时，求在处的切线的倾斜角； （2）若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 【答案】（1）； （2）（i）1；（ii），则且， 当时，，此时，即证， 当时，，此时，即证， 综上，只需证明在且上恒成立， 令，，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，故得证. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而确定倾斜角大小； （2）（i）对函数求导，由已知有求参数值，注意验证；（ii）将问题化为证明在且上恒成立，应用换元法及导数研究不等式恒成立，即可证. 【小问1详解】 由题设，则，故切线斜率， 所以，结合直线倾斜角的范围，易知在处的切线的倾斜角为. 【小问2详解】 （i）由题设，则， 由，则，故且， 令，则， 所以在上单调递减，且， 所以时，在上单调递增， 时，在上单调递减， 所以是函数的极值点，故； （ii）略 21. 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质. （1）若具有性质，且，，求； （2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由； （3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”. 【答案】（1）．（2）不具有性质，理由：的公差为，的公比为， 所以，． ． ，但，，， 所以不具有性质． （3）证明：充分性： 当为常数列时，． 对任意给定的，只要，则由，必有． 充分性得证． 必要性： 用反证法证明．假设不是常数列，则存在， 使得，而． 下面证明存在满足的，使得，但． 设，取，使得，则 ，，故存在使得． 取，因为（），所以， 依此类推，得． 但，即． 所以不具有性质，矛盾． 必要性得证． 综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，得到，结合求解即可． （2）根据的公差为，的公比为，写出通项公式，从而可得． 通过计算，，，，即知不具有性质． （3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明． 【详解】（1）因为，所以，，． 于是，又因为，解得． （2）略 （3）略 【考点】等差数列、等比数列、充要条件的证明、反证法 【名师点睛】本题对考生的逻辑推理能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，熟练掌握等差数列、等比数列的相关知识及反证法是基础，灵活应用已知条件进行推理是关键.本题易错主要有两个原因，一是不得法，二是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维及推理能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一六一中学2024-2025学年高三下学期热身阶段测试数学试题 班级_______________姓名_______________学号_______________ 考生须知：1．本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟. 2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答. 4．考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回. 一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. i D. -i 3. 下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的最大值为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 8. 已知为椭圆M:+=1和双曲线N:-=1的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（ ） A. B. 1 C. D. 9. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 10. 在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为；乙校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为，对于此次测试，给出下列三个结论： ①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率； ②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率； ③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定. 其中正确结论的个数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 11. 已知函数，若，则_____________. 12. 在的展开式中，若二项式系数的和等于，则________，此时的系数是_______.（用数字作答） 13. 设函数，则函数的最小正周期为____；若对于任意，都有成立，则实数的最小值为____． 14. 正四面体ABCD中，棱长为4，则此四面体的表面积为___________；点为BD中点，过的截面与棱AB平行，点在截面上，若到棱AB和棱CD的距离都为，则的一个取值为_________. 15. 曲线是平面内到原点的距离与到直线的距离的乘积等于常数（）的点的轨迹. 给出下列四个结论： ①曲线过点； ②曲线关于轴对称； ③曲线存在渐近线； ④曲线与被轴截得的弦长大于. 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题：本大题共6题，共85分.把答案填在答题纸中相应的位置上. 16. 如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 17. 在中，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值． 条件①:，边上中线的长为； 条件②:，的面积为6； 条件③:，边上的高的长为2． 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵而成.研究表明，果酒中的芳香气味主要来自于酯类化合物.某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌（A型，B型，C型）分别对三组（每组10瓶）相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量，实验过程中部分发酵液因被污染而废弃，最终得到数据如下（“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺）： 酵母菌类型 该酯类化合物的含量（μg/L） A型 X 2747 2688 X X 2817 2679 X 2692 2721 B型 1151 X 1308 X 994 X X X 1002 X C型 2240 X X 2340 2318 X 2519 2162 X X 根据发酵液中该酯类化合物的含量t（μg/L）是否超过某一值来评定其品质，其标准如下： 酵母菌类型 品质高 品质普通 A型 B型 C型 假设用频率估计概率 （1）从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率； （2）设事件D为“从样本含A型，B型,C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，求事件D发生的概率； （3）设事件E为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”试比较事件E发生的概率与（2）中事件D发生的概率的大小.（结论不要求证明） 19. 设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由. 20. 已知函数． （1）当时，求在处的切线的倾斜角； （2）若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 21. 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质. （1）若具有性质，且，，求； （2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由； （3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $