专题03 二次函数的性质1（4知识点+11大题型+4大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

专题03 二次函数的性质1 （4知识点+11大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：11大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，根据图象可知二次函数的对称轴为，设这个二次函数的解析式为，把代入计算，即可作答． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴为， 设这个二次函数的解析式为， 函数图象经过， ， 解得， 这个二次函数的解析式． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将，代入函数解析式中求出、即可求解． 【详解】解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式是． 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 设交点式，然后把C点坐标代入求a即可； 【详解】解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：， 代入得：， 解得：， 抛物线的解析式：． 知识点2：二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 【补充】 1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同； 2）由a的符号与对称轴x=的位置共同确定b的符号； 【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负. 【即时训练】 4．（2025·浙江·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图形开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算是关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴直线，与坐标轴交点的知识判定即可． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵对称轴直线为， ∴，故B选项正确，符合题意； ∵二次函数图象与轴交于正半轴， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵二次函数与轴有两个交点， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 5．（2025·浙江金华·一模）已知抛物线（为常数，）经过点，开口向下，对称轴为直线．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与轴交点，二次函数的性质等知识，熟记二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的开口、对称轴以及经过的点，即可判断出二次函数的大体图象，进而根据二次函数图象的性质即可判断出各选项． 【详解】解：A.、根据题意，由开口向下可知，对称轴为直线，且经过点，可知，，故该选项错误，不符合题意； B、经过A.选项分析，抛物线与轴有两个交点，，故该选项错误，不符合题意； C、∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴点与点是对称点 当时，代入抛物线解析式得，故该选项错误，不符合题意； D、根据顶点坐标的几何意义，所以当时，函数值最大，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的图像如图所示，下列式子：①，②，③，④，⑤，其中正确的有 ．（填编号）． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线的对称轴位置确定b的范围，然后根据抛物线与x轴交点的个数及时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知，对称轴为直线， ∴， ∴， 故①错误，②正确， ②∵时，， ∴， 故③错误， ③∵抛物线与x轴有交点， ∴， ∴， 故④正确， ⑤∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确， 故答案为：②④⑤． 知识点3：二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 补充： ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. 【即时训练】 7．（2025·浙江·二模）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减，”的规律进行解答即可，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位，得到的抛物线解析式是 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据平移方式得到顶点坐标，又因为平移不改变二次项系数，即可写出答案． 【详解】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为， 平移后抛物线顶点坐标为， 又因为平移不改变二次项系数， ∴所得抛物线解析式为：． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移m个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得出平移后的二次函数解析式，然后将点代入，得出关于的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：二次函数的解析式为， 将该二次函数图象向上平移个单位长度后，所得抛物线的函数解析式为， 平移后的抛物线经过点， ， 解得：． 知识点4：二次函数图象的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 【即时训练】 10．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如果点，是抛物线上两个不同的点，那么m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出是解题关键．根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案． 【详解】解：点、是抛物线上两个不同的点， ∴与关于对称轴直线对称， ， 解得：， 故选：D． 11．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）在函数的图象上有两点、，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，根据解析式可得出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性，即可得出，熟练掌握二次函数的对称性是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为点，也就是点， ∴． 故选：A 12．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ． x … 0 1 2 3 … y … … 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物线上点的坐标的特征求解．由表格可得抛物线对称轴为直线，然后根据对称性可求时y的值，进而求解． 【详解】解：由题可得抛物线经过点，， ∴抛物线对称轴为直线 ∵抛物线经过点， ∴时， 即． 故答案为：． 【题型1 二次函数的一般式】 1．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，一元二次方程组的解法，将函数经过的两点代入二次函数解析式得到一元二次方程组是解答关键． 将二次函数图象经过的两点的坐标代入解析式，列出一元二次方程组，解一元二次方程组即可求解． 【详解】解：抛物线经过和两点， ， 解得， 故选：A． 2．已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将，代入函数解析式中求出、即可求解． 【详解】解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式是． 3．已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为． 4．已知抛物线经过点、，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将、代入解析式即可求解；掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为． 5．已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 【答案】(1) (2)21 【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值； （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入解析式，求出函数y的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴当时，． 【题型2 二次函数的顶点式】 6．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据题意可设该二次函数的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设该二次函数的解析式为， 将带入得：， 解得：， 该二次函数的表达式为：， 故答案为：． 7．顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的形状，开口方向和抛物线的值有关，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标，开口方向和大小与抛物线相同， 这个二次函数的解析式为． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线中，值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键． 8．选你喜欢的、、的值，使二次函数 的图象同时满足下列条件: ①它的图象不经过第三象限； ②图象经过点； ③当时，函数值随自变量的增大而增大，这样的二次函数的表达式可以是 ． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】首先由①得到；由③得到对称轴为，即 ；由②得到顶点，即可得出答案． 【详解】解：二次函数， ①它的图象不经过第三象限， ； ③当时，函数值随自变量的增大而增大， 故对称轴为，即； ②得到顶点，故可设顶点式为； 可取，二次函数的解析式是．故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目． 9．已知二次函数的图象过坐标原点，其顶点坐标是，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式是解题的关键． 设顶点式，然后把原点坐标代入，求出即可． 【详解】解：设该二次函数的解析式为， 把原点坐标代入，得：， 整理，得：， 解得：， 该二次函数的解析式为． 10．已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入计算出的值即可． 【详解】解：根据题意，设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得， 所以二次函数的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【题型3 二次函数的两点式】 11．已知二次函数的图象与经过，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)指出它的对称轴和最值． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，最小值为 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式化为顶点式得顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，设二次函数表达式为，再将代入求即可得到答案； （2）由（1）中求得表达式化为顶点式即可得到答案． 【详解】（1）解：二次函数图象经过点，， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：由（1）可知二次函数表达式为， 该抛物线的对称轴为直线， ∵，抛物线开口向上， ∴函数有最小值为． 12．根据下列条件，分别确定抛物线对应的二次函数的表达式． (1)抛物线的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是； (2)抛物线过，两点，与轴的交点为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据已知条件选择恰当的表达形式． （1）已知抛物线的顶点坐标，可设表达式为顶点式，然后代入点即可求解； （2）已知抛物线与的两交点坐标，可设表达式为交点式，然后代入点即可求解； 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为． 抛物线与轴的一个交点坐标是， ， 解得：， （或）； （2）解：设抛物线的表达式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 13．已知抛物线与x轴交于、，且过点，求抛物线的解析式；并指出其开口方向，对称轴及顶点坐标． 【答案】，抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，设抛物线的解析式为：，将代入即可得出抛物线的解析式，再将抛物线化为顶点式即可得出答案． 【详解】解：根据题意设抛物线的解析式为：， 把代入可得出：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标． 14．如图，已知抛物线 经过两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)观察图象：当时，直接写出y的取值范围_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数函数值的范围： （1）直接利用两点式写出函数解析式即可； （2）观察图象，可知当时，取最大值，顶点处取最小值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过两点， ∴解析式为：； （2）∵， 观察图象可知：当时，取最大值0，顶点处取最小值， ∵， ∴当时，函数有最小值为：， ∴当时，y的取值范围． 故答案为：． 15．已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，利用待定系数法计算即可得解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴设二次函数的解析式为， 将代入解析式可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【题型4 二次函数图象与各系数符号】 16．二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线的开口方向，对称轴以及图象与轴的交点判断、、的符号即可求解． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ，则， 图象与轴的交于负半轴， ， ，，， 故选：C． 17．已知二次函数的图象在轴的下方，则，，满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像在轴的下方，可得抛物线开口向下，与轴无交点，即可判断． 【详解】解：二次函教的图象在轴的下方， 抛物线开口向下，与轴无交点， 即，， 故选：C． 18．已知二次函数的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置、抛物线与x轴交点的个数确定，解题关键是熟练运用二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与x轴的交点个数可以判断，然后根据对称轴可以判断，根据时，可得出． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴，故①错误； ∵与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 根据图象可知对称轴在直线右侧， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有②③④． 故答案为：②③④． 19．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则； 其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数图象的性质，对选项逐一进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知，开口向上， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵抛物线交轴负半轴， ，故①正确，符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，根据抛物线的对称性可得，抛物线与轴的另一个交点坐标为， 将该点坐标代入解析式可得：，故②正确，符合题意； ∵抛物线顶点横坐标为，当时求得值最小，即， ∴无论取何值时，总是大于或等于 即，故③正确，符合题意； 根据绝对值的几何意义可知，分别表示到的距离，根据抛物线图象的性质，距离对称轴越远的点，其坐标就越大，故④正确，符合题意． 故答案为：①②③④． 20．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有两个根，，则．正确的结论是 （写序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】此题主要考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的联系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，灵活运用二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键，依次根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：①由图象可知：， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵图形与x轴有两个交点， ∴， ∴， 故②错误； ③由函数图象可得，当时，，故③正确； ④当时，y最大，且， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴， ∵设方程的两根为， 则，故⑤正确， 故答案为：③④⑤． 【题型5 根据二次函数的图象判断式子符号】 21．二次函数的图象经过点，，与轴的交点在轴的下方．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．二次函数的最小值为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据二次函数的图象经过点，，可得对称轴为，由函数图象与轴的交点在轴的下方，得到，，从而可得，即，判断A选项；根据函数的增减性得到当时，，判断B选项；根据函数图象经过点，，得到，求解有，判断C选项；将二次函数化为顶点式，即可判断D选项． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴该函数图象的对称轴为， ∵二次函数的图象与轴的交点在轴的下方， ∴，， ∵该函数图象的对称轴为，即， ∴，故A选项错误； ∵，对称轴为， ∴该函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，即，故B选项错误； ∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴，故C选项错误； ∴二次函数可化为，即， ∴二次函数的最小值为，故D选项正确． 故选：D 22．如图，抛物线过点，对称轴为直线，有以下结论正确的为（   ） A． B． C． D．方程两根分别为，4 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，根据图象判断的符号，判断A，特殊值，判断B，对称轴判断C，对称性和图象法求出方程的根，判断D． 【详解】解：由图象可知：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故C选项错误， ∴，故选项A错误； 由图象可知，当时，，故选项B错误； ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为， ∴方程两根分别为，4；故选项D正确； 故选D． 23．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标判断①，开口方向，对称轴，与轴的交点判断②和④，特殊点判断③即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴该图象经过点；故①正确； 由图象可知：， ∵对称轴为， ∴， ∴；故②④错误； ∵图象经过点； ∴，故③正确； 故选B． 24．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （只填序号）．    【答案】③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．抛物线的开口方向得到，由抛物线与轴的交点得到，然后根据对称轴得到，当时，，当时，，据此求解进行判断． 【详解】解：由图可知： 抛物线开口向上，则， 抛物线与轴交点在负半轴上，则， 对称轴为直线，则，即， ∴，，故①②错误， 由图象可知当时，，即，故③正确， 由图象可知当时，，即，故④正确， ∴正确的有③④， 故答案为：③④． 25．如图，已知顶点的抛物线经过点，下列结论：①；②若点，在抛物线上，则；③；④关于x的一元二次方程的根为和，其中正确的有 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题属于二次函数图象的综合问题，考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，及二次函数的对称性，难度中等．利用二次函数与一元二次方程的关系及其与不等式的关系，以及二次函数的对称性可以求解． 【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，只是左边那个没画出来而已， 从而由二次函数与一元二次方程的关系可知，，从而，故①正确； 由抛物线的对称轴为，点，在抛物线上，则点离对称轴的距离为1，而点离抛物线的距离为2，开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，从而，②故错误； 已知该抛物线是开口向上，顶点为，故正确，从而③正确； 由图象可知，为关于x的一元二次方程的一个根，由二次函数的对称性，可知为另一个根，从而④正确； 综上，正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【题型6 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 26．二次函数 图像上部分点的坐标对应值列表如下： x … 0 1 … y … … 则该函数图像的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据表格的数据得和对应的函数值都是，则二次函数图像的对称轴为直线，即可作答． 【详解】解：∵和对应的函数值都是， 则， ∴二次函数图像的对称轴为直线． 故选B． 27．将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线相交于，，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移以及二次函数的性质，先求出平移前后的对称轴，然后根据平移的性质列方程求解即可． 【详解】解：的对称轴是直线． ∵新抛物线与直线相交于，， ∴新抛物线对称轴是直线， ∵抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线， ∴， ∴． 故选C． 28．已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；先求出对称轴，再根据纵坐标相等的两点关于对称轴对称即可得解； 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线，， ， ． 故答案为：. 29．已知二次函数经过两个不同点，，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先判定点关于抛物线的对称轴对称，再求解抛物线的对称轴为直线，从而可得答案. 【详解】解：二次函数经过两个不同点，， ∴点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； ∴ 故答案为：0． 30．已知二次函数． (1)求该二次函数图象与轴的交点坐标，并直接写出：函数的对称轴为直线_________． (2)若，当时，的最大值是4，求当时，的最小值； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的最值、与轴的交点坐标以及对称轴，掌握相关函数结论是解题关键. （1）对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解，据此即可求解． （2）根据对称轴直线和开口方向即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∵， ∴， 解得：， ∴该二次函数图象与轴的交点坐标为：； 函数的对称轴为直线； （2）解：若，则抛物线开口向上， ∵，对称轴为直线， ∴当时，有最大值， 即：，解得：； 当时，有最小值， 且最小值为： 【题型7 根据二次函数的对称性求函数值】 31．已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 2 3 2 … 其中m的值是（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性，找到表格中函数值相等的两个自变量的值，求出对称轴，再根据对称性求出的值即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相等，均为， ∴二次函数的对称轴为， ∴和的函数值相同， ∴； 故选：D． 32．设二次函数（是常数），部分对应值如下表：当时，（　　） ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． A．5 B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以求出该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性，即可求得当对应的函数值． 【详解】解：由表格可得， 该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，， 故选：D． 33．已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得该二次函数的对称轴为直线，然后根据对称性可进行求解． 【详解】解：由抛物线，可知：对称轴为直线， ∵点与点关于该抛物线的对称轴对称， ∴， ∴； 故答案为12． 34．在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先由函数的解析式得开口向上，对称轴是直线，再逐个算出结合二次函数的图象过点．且，得，最后结合二次函数的对称性找出，关于直线对称的点的坐标为，同理得关于直线对称的点的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，对称轴是直线， ∵二次函数的图象过点，点 ∴ ∵二次函数的图象过点．且， ∴， ∵对称轴是直线， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∵二次函数的开口向上， ∴或． 故答案为：或． 35．已知抛物线的对称轴是轴． (1)求的值； (2)求出抛物线的解析式并说明抛物线的增减性． 【答案】(1) (2)当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 【分析】（1）根据题意得，进行计算即可得； （2）根据得抛物线的解析式为，根据二次函数的性质即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是轴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【题型8 二次函数的单调性】 36．在二次函数的图象上，y随x的增大而增大，则x的取值范围：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质即可求解． 【详解】∵二次函数的开口向下， ∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大． ∵二次函数的对称轴是， ∴． 故选：A． 37．已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（　　） A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先得到该函数的对称轴直线，根据当时，随的增大而增大，得，再结合，，则当或时，，然后由当时，函数的最大值是8，最小值是，即可作答． 【详解】解：解：二次函数， 该函数的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， 当时，， 当或时，， 当时，函数的最大值是8，最小值是， ， 故的值可能是6， 故选：C． 38．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：， 图象开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 39．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，根据二次函数性质求出结果即可． 【详解】解：∵ ∵开口向上，对称轴为直线， ∴时，函数值y随x的增大而增大． 故答案为：． 40．操作与探究： (1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值时，自变量x的取值范围是___________； ②当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是___________； ③当时，函数值，直接写出n的取值范围___________． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象． （1）按照列表，描点，连线的步骤即可画出函数图象； （2）根据画出的函数图象，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意列出表格如下： x …… 0 1 …… y …… 0 3 4 3 0 …… 画出函数图象如图所示： （2）解：由图可知： ①当函数值时，自变量x的取值范围是； ②当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是； ③当时，函数值，直接写出n的取值范围． 【题型9 利用二次函数对称性求最短路径】 41．如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【答案】C 【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离． 【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)， ∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)， 过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F， ∴CE=C'E， 则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值； ∵直线yx+3， 设直线C'F的解析式为， 将C'(﹣2，﹣2)代入得：， 解得：， ∴C'F的解析式为yx， 解方程组， 得：， ∴F(，)， ∴C'F． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键． 42．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 43．如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，    设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点M坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的对称性解决最短路径问题是解答的关键． 44．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：如图， 在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1）， ∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2， ∴对称轴为x=1，顶点D（1，2）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1）， 作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE =DE+D′F+FG+GE′ =DE+D′E′ =， ∴四边形EDFG的周长的最小值为：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键． 45．如图是抛物线的一部分，该部分与轴、轴分别交于点 (1)求的值； (2)若点是该抛物线的对称轴上的点，则的最小值为___________，此时点的坐标为___________． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与轴、轴分别交于点 ∴， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵,设关于对称的点为，连接， ∴，， ∴， ∴当三点共线时最小，最小值为， ∵， 设经过的直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 令，解得， 即． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，勾股定理，求一次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【题型10 二次函数图象的平移】 46．将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律进行解答即可． 【详解】解：二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为， 故选：D． 47．将抛物线向下平移3个单位长度后，经过点，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移3个单位长度后得到 ， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：5 48．将抛物线向下平移m个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 先根据平移的规律写出抛物线向下平移m个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与轴有公共点可得，由此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：将抛物线向下平移m个单位长度得， ∵与轴有公共点， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 49．已知二次函数的图象以为顶点，且过点 (1)求该函数图象抛物线的解析式； (2)将函数图象向右平移几个单位，该函数图象恰好经过原点． 【答案】(1) (2)向右平移3个单位，该函数图象恰好经过原点， 【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）先算出抛物线与轴的交点坐标为，，则把点向右平移3个单位到原点，所以把抛物线解析式向右平移3个单位，该函数图象恰好经过原点； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象以为顶点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵ ∴当时，， ∴， 解得，， 则抛物线与轴的交点坐标为，； ∴把抛物线解析式向右平移3个单位，该函数图象恰好经过原点， 50．已知次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式，并求出顶点坐标； (2)若将该二次函数图象先向右平移m个单位、再向下平移m个单位，平移后的抛物线仍然经过点P，求m的值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数图象及性质，待定系数法求二次函数解析式． （1）将代入中即可求出； （2）先求得平移后的函数解析式，继而待定系数法求出本题答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得， 二次函数的解析式为， 顶点坐标为； （2）解：根据题意，得平移后的抛物线解析式为：， 将代入得， ，， ． ． 【题型11 二次函数的最值】 51．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（   ） A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值6 D．有最小值6 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据可得函数有最小值，再根据化成顶点式即可解答，正确理解二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 二次函数有最小值为6， 故选：D． 52．二次函数 在范围内有最大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得，抛物线开口向上，对称轴为直线，进而分类讨论，根据题意列出方程，解方程，即可得到答案． 【详解】解： ∵，抛物线开口向上，对称轴为直线 ①当时，即时， 当时，最大值 则 解得：（舍去） ②当时， 当时，最大值为 解得：（舍去）或 故选：B． 53．二次函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，将解析式配方，进而求得函数的最大值． 【详解】解：二次函数 ∵ ∴当时，取得最大值，最大值为 故答案为：． 54．当时，函数的最大值是8，则 ． 【答案】或 【详解】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．先求得对称轴，根据的取值，再分和两种情况讨论求得即可． 【解答】解：函数的对称轴为直线， ①当时，则时，函数的最大值是8， 把代入得，， 解得； ②当时，则时，函数的最大值是8， 把代入得，， 解得， 故答案为：或． 55．已知二次函数（是常数） (1)若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； (2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 【答案】(1)①；②2；③ (2)2或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并灵活应用是解题的关键． （1）根据函数表达式求最值，判断二次函数图象的增减区间，即可求解； （2）分析抛物线对称轴的不同位置判断最值并求解即可； 【详解】（1）解：当时，则二次函数 ①二次函数图像的顶点坐标为：； ②该抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，当时，函数取得最大值为2； ∴当时，该二次函数的最大值为2； ③当时，该二次函数的最大值为． 故答案为：①；②2；③ （2）二次函数的对称轴为：，开口向下， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上，常数m的值为或． 故答案为：或． 【拓展训练一 二次函数的平移问题】 56．如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（    ） A．18 B．20 C．36 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键．先求出的坐标，得出抛物线向右每次平移的距离为4，根据二次函数为零时两个根的关系即可解答． 【详解】解：将代入抛物线， 得或，即， 故抛物线向右每次平移距离为4， 设，，，，，的横坐标分别为，，，，，， ，同时在抛物线和直线上， 即，的横坐标为的根， ， ， ， 直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和． 故选C． 57．已知二次函数，将其图象向右平移个单位，得到新的二次函数的图象，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．则实数的取值可以是（   ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，熟知“左加右减”的平移法则及二次函数的性质是解题的关键．根据“左加右减”的平移法则，表示出平移后的函数解析式，再根据题意得出关于的不等式，据此可解决问题． 【详解】解： ∵， ∴， ∵时，随增大而增大；当时，随增大而减小， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 58．已知二次函数的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则m的值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，以及函数平移规律，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．先求得抛物线与x轴的两个交点横坐标，再结合二次函数的图象向下平移m个单位后与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，得到平移后的解析式与x轴有两个交点其横坐标分别为，，利用交点式得到平移后的解析式，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：当时，解得，， 二次函数与x轴的两个交点横坐标为，， ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为6， 二次函数的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 每相邻两点间的距离为； ∴平移后的抛物线与x轴有两个交点其横坐标分别为，， ∴平移后的抛物线解析式为 ∵平移后的解析式为， ∴， 解得， 故选：A． 59．在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且），是轴上一点，将点向右平移4个单位长度得到点． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，将该抛物线向上平移个单位长度后与线段没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 2 或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用对称轴的公式代入数值进行计算，即可作答． （2）先整理得该抛物线的函数表达式为，则当，即当时，该抛物线与线段没有交点．再运用数形结合思想得当时，该抛物线与线段没有交点，据此进行作答即可． 【详解】解：（1）由题意，得抛物线的对称轴为直线． 故答案为：2； （2）如图， 当时， 该抛物线的函数表达式为， 则抛物线的顶点坐标为， 当，即当时，该抛物线与线段没有交点， ∵是y轴上一点，将点A向右平移 4个单位长度得到点B， ∴， ∴把代入， 得， 解得， 当时，该抛物线与线段没有交点． 综上，当或时，该抛物线与线段没有交点． 故答案为：或． 60．已知二次函数解析式为． (1)若该二次函数的图象经过点，且开口向下，求该二次函数的解析式； (2)若将该二次函数的图象向上平移两个单位，平移后的函数图象与轴仅有一个交点，试确定平移前的二次函数图象的顶点坐标； (3)该二次函数图象上有两点，，若对于，，都有，求的取值范围； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的解析式、图像平移、顶点坐标以及函数值的比较．需要掌握二次函数的开口方向、顶点坐标公式、图像平移规律及函数增减性的应用． （1）直接利用待定系数法代入点坐标求参数即可写出函数解析式； （2）先确定平移后的函数表达式，根据平移后的函数图像与轴仅有一个交点即可求原函数顶点坐标； （3）由题意分当时，抛物线开口向上以及当时，抛物线开口向下两种情况进行思考． 【详解】（1）解：把代入得：， 即，解得：或者， 抛物线开口向下， ， 二次函数解析式为； （2）将该二次函数的图象向上平移两个单位后得到的函数解析式为， 平移后的函数图像与轴仅有一个交点， ， ， ， ， ∴解析式为， ， 顶点坐标为； （3）①当时，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小， 则比更加远离对称轴， ，， 离对称轴最近的距离为1， 应离对称轴更近即对称轴在与之间， 离对称轴最远的距离为或， 由题意可得：， ； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 对于，，始终都有； 综上所述，或． 【拓展训练二 二次函数求最值】 61．已知抛物线经过点，点，将抛物线在A，B之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值记为w，且当时，y的最小值也为w，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解不等式组等知识，先把代入，求出，然后根据对称轴公式求出对称轴为，然后分；；三种情况讨论，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 化简得， ∴抛物线的对称轴为， 当，即时， 抛物线在，之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值为顶点的纵坐标， 当时，y的最小值也为顶点的纵坐标，故符合题意； 当，即时， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，当时，y取最小值， ∵当时，，抛物线在，之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值， ∴或， 解得或无解， ∴， 当，即时， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，当时，y取最小值， ∵抛物线在，之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值， ∴或或或， 解得无解， 解得无解， 解得无解， 解得无解， 综上，， 故选：C． 62．已知二次函数（为常数），当时，函数有最大值，则的值为（   ） A． B．1或 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值、二次函数的性质以及解一元一次（一元二次）方程，分、以及三种情况找出关于的方程是解题的关键．将抛物线解析式变形为顶点式可得出抛物线开口方向及对称轴，分、以及三种情况画出函数图象，由当时，函数有最大值，即可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 当，即时，时取最大值（如图1所示）， ， 解得：，（不合题意，舍去）； 当，即时，时取最大值（如图2所示）， ， 解得：； 当，即时，时取最大值（如图3所示）， ， 解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． 故选：C． 63．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作直线于，设 ，构建辅助线和设定未知数，由线段旋转性质得出， ，通过角度关系证明 ，证明 ，得到对应边相等关系．根据矩形边长及全等三角形对应边相等，计算出、、、关于的表达式． 在中，依据勾股定理建立关于的表达式，再通过配方转化为顶点式，结合二次函数性质求出的最小值． 【详解】如图，过点作直线于， 设， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 设长为，在矩形中，，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质、三角形全等判定及性质、勾股定理和二次函数求最值 ，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用相关性质建立线段长度表达式并求其最小值． 64．设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 ． 【答案】 【分析】先将二次函数化成顶点式，于是可得其对称轴为直线，由可得抛物线开口向上，然后分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解并验证结果是否符合题意即可． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 分三种情况讨论： ①当时， 即时，此时时，函数有最小值， 将代入，得： ， 解得：， 与相矛盾，不符合题意，故舍去； ②当时， 即时，顶点处取最小值， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ； ③当时， 即时，此时时，函数有最小值， 将代入，得： ， 解得：， 与相矛盾，不符合题意，故舍去； 综上，的值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 65．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，是“三倍点”． (1)判断下列函数中存在三倍点的是______（填入序号）． ①；②；③；④． (2)已知二次函数（c为常数）．若该函数经过点， ①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当时，求出该函数的最小值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 【答案】(1)①④ (2)①；②当时，；当时， (3) 【分析】（1）利用“三倍点”的定义逐项判断； （2）①把代入即可求得抛物线解析式，设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入抛物线解析式，即可确定“三倍点”坐标； ②由①可知，分为当，即时；当，即时两种情况，分别求解即可； （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：设三倍点坐标为， ①将代入，得，解得，，可知中存在三倍点； ②将代入，得，无解，可知中不存在三倍点； ③将代入，得，无解，可知中不存在三倍点； ④将代入，得，解得，可知中存在三倍点； 故答案为：①④； （2）解：①∵函数经过点， ∴，解得：， ∴该函数解析式为． 设点P是函数图象上的“三倍点”，则， ∴，解得：， ∴． ②由（1）可知，配方得， ∴抛物线的对称轴为直线． 当，即时，； 当，即时，； 综上，当时，， 当时，． （3）解：由题意，得“三倍点”所在的直线为． 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点， 令，整理得：， 则， 解得：． 把代入，得， 代入，得，则， 解得：． 把代入，得， 代入，得， 则，解得：． 综上，c的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程的关系等，理解“三倍点”是的定义是解题的关键． 【拓展训练三 二次函数的翻折问题】 66．如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识，较难的是③，正确找出两个临界位置是解题关键．求出函数的对称轴为直线，由此即可判断①正确；先利用待定系数法求出函数的解析式，再求出函数在段的图象的最高点的坐标为，由此即可判断②正确；找出两个临界位置：当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点；当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点，求出的值，由此即可判断③正确；根据当时，函数取得最小值，最小值为，则对于任意实数，都有，由此即可判断④错误． 【详解】解：函数的对称轴为直线， ∴，即，结论①正确； 由题意可知，函数的图象经过点， 将点代入：，解得， ∴函数的解析式为，其顶点坐标为， ∴函数在段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后，在轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，结论②正确； 由上可知，函数的解析式为， 当或时，， 当时，， 有两个临界位置：如图，当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点， 则，解得； 如图，当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点， 联立得：，这个方程有两个相等的实数根， ∴方程根的判别式， 解得， ∴当时，该图象与直线有四个交点，结论③正确； 由上可知，函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， ∴对于任意实数，都有，即，结论④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：A． 67．将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴的交点：把求二次函数（、、是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，即可得解．掌握抛物线与轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像与几何变换． 【详解】解：对抛物线， 当时，得：， 解得：或， ∴抛物线与轴的交点为、， ∵将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变， ∴新图像中当时，解析式为，即，如图， 当直线经过点时，此时直线与新函数图像有个交点， 把代入直线，解得：， 将直线向下平移时，有个交点， 当与直线有一个交点时，此时直线与新函数图像有个交点， 整理得：， ∴， 解得：， 综上所述，新图像与直线有个交点时，的取值范围是． 故选：C． 68．将抛物线的图像位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图像，若直线与此图像有四个交点；求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，分别确定直线与抛物线有一个交点、直线经过点时的的值，即可求解，熟练掌握相关知识点是关键． 【详解】解：根据题意，画出图象如图所示： 直线与抛物线未翻折部分有一个交点时，此时直线与新图象有三个交点， 可得方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：，， ， 当直线经过点时，此时直线与新图象有三个交点， 可得， 解得， 根据图象可得，的取值范围是：． 69．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线与新图象有3个交点时，m的值是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查二次函数与一次函数交点问题，利用数形结合的思想是解题关键．如图，根据二次函数解析式可求出，，即得出新的函数解析式为，大致画出图象，利用图象可知当直线过点A时和当直线与相切时，直线与新图象有3个交点，据此求解即可． 【详解】解：对于， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴新的函数解析式为． 如图， 当直线过点A时，与新图象有3个交点， ∴， 解得：； 当直线与相切时，直线与新图象有3个交点，即此时一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 综上可知m的值是或． 故答案为：或． 70．如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交轴于点． (1)①求抛物线的解析式； ②求二次函数的最小值． (2)①直接写出图象的解析式； ②求当图象所对应的函数随增大而增大时的取值范围． (3)若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2)①；②或 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意数形结合是解题的关键． （1）①根据待定系数法直接求解即可；②根据二次函数的图象性质即可求解； （2）①先根据反转的性质求出点坐标，再根据待定系数法求解析式即可；②根据的图象性质求解即可； （3）结合图像，分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过和两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式， ②， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴二次函数的最小值为． （2）解： ①当时，，由对称性可得， 当时，， 解得，， ，， 设图象的解析式为， 将代入，得， ， ， 图象位于线段上方部分对应的函数关系式为， ∴图象的解析式为； ②对于，对称轴为，时，随增大而增大； 对于，对称轴为，时，随增大而增大， ∴随增大而增大时的取值范围是或． （3）解：如图，直线与图象有个交点时，有两种情况， 一种情况是直线过点，把代入，得，解得； 另一种情况是直线与相切， 联立方程，消去得，即， 令判别式，解得； 综上所述，或． 【拓展训练四 二次函数的存在性问题】 71．在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． (1)当时，求的值； (2)点是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是或． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）当时，抛物线，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）由二次函数的性质可得抛物线的对称轴为，且．然后分和两种情况，分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线． 所以该抛物线的对称轴为，即． （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为，且． 当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立； ①若，此时， 则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （ⅰ）当时，，成立． （ⅱ）当时， 点关于对称轴的对称点为． ． ． 当时，成立． （ⅲ）当时，不合题意，舍去． ②若，此时，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 满足题意． 综上所述，的取值范围是或． 72．设二次函数． (1)若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标； (2)判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】（1）根据函数的对称轴为直线，得出，将代入得，，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）根据函数最大值5，得出，解方程即可； （3）先求出抛物线的解析式为：，得出抛物线的对称轴为直线，根据当时，都有，利用图象法解决问题即可． 【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴抛物线的解析式为， 将代入得，， ∴顶点坐标为； （2）解：存在； ∵函数最大值5， ∴， 即， 解得：， （3）解：将点坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线，当时，都有， ∴根据函数图象可知：此时或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求出二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 73．已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． (1)若，求抛物线顶点坐标； (2)若存在实数，使得，且，求的取值范围； (3)当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）当时，把二次函数化为顶点式即可； （2）先计算，，用表示，进而可得，分别代入得出关于的不等式组，解不等式即可； （3）根据当时，的值增大，的值先减小再增大，可得点抛物线对称轴的左侧，点抛物线对称轴的右侧．当时，的最小值是．然后分两种情况讨论的最大值, 由该二次函数的最大值与最小值的差为3，列出方程求解． 【详解】（1）解：若， ，顶点坐标； （2）把代入得： 把代入得：． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴； （3）∵二次函数的对称轴为， 当时，的值增大，的值先减小再增大， ∴点抛物线对称轴的左侧， 点抛物线对称轴的右侧． ∴当时，的最小值是． 若，即，的最大值是 ∴． 解得：（舍去）． 若，即，的最大值是， ∴． 综上，的值是． 74．二次函数的图象经过点． (1)求的值． (2)当时，该函数的最大值减去最小值的差为，当时，该函数的最大值减去最小值的差为． ①若，求的取值范围； ②是否存在？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)①；②不存在，见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和灵活运用相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用待定系数法，将代入函数解析式即可求出； （2）根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，作差即可； ②分类讨论，求出不同m的取值范围对应的、即可比较即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）① 抛物线的开口方向向上，对称轴为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ， 当时，最小，； 当时，最大，． ∴当时，时，恰好函数的最大值4和最小值的差为． 当时，． ∴当时，y随x的增大而增大，且， 此时，的值保持不变，始终等于， ∴m的取值范围是 ②设时的函数值为，时的函数值为， I．当时，即，则必有， 对应的最大值都是．对应的最小值分别为，， 此时；， ∴ II．当时，，则必有，， 对应的最大值都是． 当时的最小值为，当时的最小值为， 此时；， ∴； III．当时，必有， 对应的最大值都是．对应的最小值都是． 此时； IV．当时，必有， 它们对应的最小值都是．当时的最大值为，当时的最大值为， 此时；， ∴ V.当时，必有，对应的最小值都是．对应的最大值分别为，， 此时；， ∴ 综上所述，不存在． 75．若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），则把该函数称为“倍函数”，该点称为“倍点”，例如：“2倍函数”，其“2倍点”坐标为． (1)①判断：函数____“2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的“2倍点”的坐标为____． (2)若抛物线上有两个“3倍点”，求的取值范围； (3)若函数的图像上存在唯一的一个“倍点”，且当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1)①不是；②或 (2)的取值范围为：且 (3)的值为或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，增减性，最值的计算方法是关键． （1）根据题意，①设“倍点”坐标为，代入计算即可求解；②同上述计算方法一样； （2）设“3倍点”坐标为，代入，再根据一元二次方程判别式求解即可； （3）设“倍点”坐标为，则，即是关于的二次函数，图像开口向上，根据二次函数最值的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且）， ∴设“倍点”坐标为， ∴，无解， ∴函数不是“2倍函数”； ， 整理得，， 解得，或， ∴函数的图像上的“2倍点”的坐标为或； 故答案为：①不是；②或； （2）解：抛物线上有两个“3倍点”， ∴设“3倍点”坐标为， ∴， 整理得，， ∵抛物线有两个“3倍点”， ∴， 解得，， ∴的取值范围为：且； （3）解：设“倍点”坐标为， ∴，整理得，， ∵图像上存在唯一的一个“倍点”， ∴， ∴， ∴，即是关于的二次函数，图像开口向上， ∴对称轴直线， 当时，的最小值为，根据对称轴于取值范围的关系，分类讨论： ∴①，即， ∴， 解得，； ②当时，， ∴时取到最小值， ∴，整理得，， 解得，（舍去）； ③∴当时，， ∴时取到最小值， ∴，整理得，，无解； 综上所述，的值为或． 1．在直角坐标系中，将函数的图象向上平移5个单位，所得新函数的图象与轴两个交点之间的距离是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的平移，抛物线与轴的交点问题．熟练掌握各知识点是解题的关键． 先根据“上加下减”求出平移后的抛物线解析式，再令，求出新抛物线与轴交点，即可求解． 【详解】解：将函数的图象向上平移5个单位得到新函数为． 当，则， 解得：或 ∴交点横坐标为，． ∴新函数的图象与轴两个交点之间的距离是， 故选：A． 2．已知二次函数的图象上有两点，若，当函数值取得最大值时，对应的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据两个对称点确定抛物线的对称轴，判定顶点为最高点即可确定的值． 【详解】解：由抛物线上可知，纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线的顶点为最高点， 所以，当函数值取得最大值时，对应的值为1． 故选：B 3．用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格： … 0 1 2 … … … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数当时，？（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先由表格数据得二次函数的对称轴为直线，再结合与关于直线对称，即可作答． 【详解】解：观察表格数据得和时，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴关于直线对称为， 即该二次函数当时，， 故选：B 4．二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的性质，根据抛物线解析式得出开口方向，即可求解． 【详解】解：∵，开口向上， ∴当时，y有最小值为， 故答案为：A． 5．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据表格的数据，把代入，求出再根据二次函数的图象性质进行分析，得对称轴是直线，当时，函数取得最小值，，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：把代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为 函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴是直线 ∴当时，函数取得最小值， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 由以上分析知，B、C不符合题意， D符合题意； ， 故A不符合题意． 故选 D 6．已知抛物线（是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，首先把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，可得：，所以可知抛物线的对称轴是，根据二次函数的对称性可得：当时，，又因为当时，，可知当时，，从而可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：把整理， 可得：， 抛物线的对称轴是， 当时，； 根据抛物线的对称性可得：当时，， 又当时，， 当时，， ， 解得：． 故选：D． 7．从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 8．二次函数中的和满足下表，则的值为 ． x … 0 1 2 3 … y … m … 【答案】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式的步骤． 通过表格中的数据可以求出二次函数的表达式，再将代入函数解析式，求得的值． 【详解】解：将代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 当时，， 故答案为：． 9．将二次函数的图像先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，正确掌握平移规律是解题的关键． 直接利用二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将二次函数的图像先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像对应的函数表达式是， 故答案为：． 10．已知关于x的一元二次方程的两根为，则抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据一元二次方程的解求出抛物线与x轴的两个交点的横坐标，根据抛物线与x轴的交点横坐标与一元二次方程的根之间的关系即可求出二次函数的对称轴． 【详解】解：关于x的一元二次方程的两根为， 二次函数与x轴的两个交点的横坐标为分别为1和3． 抛物线的对称轴为直线． 故答案为∶ ． 11．经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得点的横坐标，计算即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过，两点， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线与轴有交点， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 12．若一个点的横坐标和纵坐标相等，则称该点为不动点．已知抛物线上有且只有一个不动点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，请探究下列问题： （1）的值是 ； （2）的取值范围是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与x轴交点问题等知识． （1）由不动点的概念和根的判别式求出和的值，即可求出的值； （2）再由抛物线的解析式求出顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，根据函数值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：令，即， 由题意可得，图象上有且只有一个不动点， ∴，则， 又方程根为， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：，， ∴函数， 该二次函数图象如图所示，顶点坐标为， 与轴交点为， 根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点， 在左侧，随的增大而增大； 在右侧，随的增大而减小；且当时， 函数的最大值为，最小值为， ∴． 故答案为：． 13．已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)当时，；当或时，． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数和x轴交点问题，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系． （1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定的符号； （2）根据图象和的函数值确定与0的关系； （3）根据抛物线在x轴上方时；抛物线在x轴下方时求解即可． 【详解】（1）∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴； （2）证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为， ∴当时，； （3）根据图象可知， 当时，；当或时，． 14．已知抛物线（为常数）． (1)若点在该抛物线上，求的值； (2)若该抛物线的顶点坐标是，求关于的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，熟练掌握顶点坐标公式是解此题的关键． （1）将点的坐标代入抛物线表达式求解即可； （2）根据顶点坐标公式可得m、n关于b 的关系式，进一步即可得出结果． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：； （2）解：由抛物线顶点坐标公式得：， ， 故． 15．已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中． (1)请求出以上两个函数的解析式； (2)求点B的坐标； 【答案】(1)一次函数表达式为，二次函数的解析式为 (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点B的坐标． （1）代入点A的坐标可求出直线与抛物线的解析式； （2）两个函数解析式联立即可求解B点坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像相过点， ∴，解得， ∴一次函数表达式为， ∵过点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由一次函数与二次函数联立可得， 解得，， ． 16．表格中是二次函数的函数值y与自变量x的对应值． x … 0 3 5 6 … y … 27 7 0 7 16 … （1）写出该抛物线的对称轴 ． （2）填空：a 0，b 0．（填“”或“=”或“”） （3）已知该抛物线与x轴的一个交点坐标是，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是 ． （4）若点是该抛物线上一点，请写出这个点在其图象上的对称点坐标 ． 【答案】（1）直线； （2）；； （3）； （4） 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，函数图象具有对称性，图象上的点关于对称轴对称，离对称轴距离相等的点纵坐标相等． （1），根据对称轴的性质即可得出对称轴； （2）根据表格自变量与函数值的变化情况即可判断抛物线开口方向，结合（1）可知b的正负； （3）根据抛物线具有对称性，与x轴的一个交点也关于对称轴对称即可得到与x轴的另一个交点坐标； （4）根据抛物线上的点具有对称性，关于抛物线对称轴对称的点，纵坐标相同，关于对称性即可求解． 【详解】解：（1）根据对称轴性质：距对称轴距离相等的两个点纵坐标相同，选取与两点，可得． 故答案为：直线． （2）根据表格可知，随着自变量的增大函数值先减小后增大， ∴抛物线开口向上， ∴； 又∵根据（1）得， 对称轴， ． 故答案为：，． （3）∵抛物线具有对称性， ∴抛物线上的点关于对称轴对称， 又∵与x轴的一个交点关于直线对称， 设与x轴的另一个交点坐标为， ∴由对称轴，得， ∴与x轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． （4）∵抛物线上的点具有对称性，设点关于对称轴对称的点为， ∴， 得， ∴ 点关于对称轴对称的点坐标为． 故答案为：． 17．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式； （1）采用待定系数法进行求解即可； （2）令，求出点A的坐标为及，根据当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴ 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，， 解得，， ∴点A的坐标为，， 当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点， ∴． 18．已知抛物线（为常数）． (1)若该函数的图象经过 ①求该二次函数的表达式； ②将该二次函数的图象向右平移个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线上，求的值； (2)若点，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合． （1）①利用待定系数法即可求解； ②新抛物线顶点坐标为，将上述点的坐标代入一次函数表达式得：，即可求解； （2）根据对称性求出b和n的关系，将P和Q的坐标代入，求出t，a的表达式，在根据求解n的取值范围即可． 【详解】（1）解：① 把代入 ． ； ② 将该二次函数的图象向右平移个单位． 顶点 新二次函数的图象的顶点恰好落在直线上， ． （2）解：经过 对称轴直线， 当时，， 则抛物线过点， 由对称性得，抛物线过点， （I）情况1：对称轴在轴左侧，且点在对称轴左侧， 可得， 解得， 不存在． 情况2：对称轴在轴左侧，且点在对称轴右侧， 可得， 解得． （II）对称轴在轴右侧，点只能在对称轴左侧， 此时，与矛盾． 不存在． 综上． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数的性质1 （4知识点+11大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：11大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式． 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 知识点2：二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 【补充】 1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同； 2）由a的符号与对称轴x=的位置共同确定b的符号； 【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负. 【即时训练】 4．（2025·浙江·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江金华·一模）已知抛物线（为常数，）经过点，开口向下，对称轴为直线．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的图像如图所示，下列式子：①，②，③，④，⑤，其中正确的有 ．（填编号）． 知识点3：二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 补充： ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. 【即时训练】 7．（2025·浙江·二模）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是 ． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位，得到的抛物线解析式是 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移m个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 知识点4：二次函数图象的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 【即时训练】 10．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如果点，是抛物线上两个不同的点，那么m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）在函数的图象上有两点、，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 12．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ． x … 0 1 2 3 … y … … 【题型1 二次函数的一般式】 1．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式． 3．已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 4．已知抛物线经过点、，求抛物线的解析式． 5．已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 【题型2 二次函数的顶点式】 6．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为 ． 7．顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为（    ） A． B． C． D． 8．选你喜欢的、、的值，使二次函数 的图象同时满足下列条件: ①它的图象不经过第三象限； ②图象经过点； ③当时，函数值随自变量的增大而增大，这样的二次函数的表达式可以是 ． 9．已知二次函数的图象过坐标原点，其顶点坐标是，求这个二次函数的解析式． 10．已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求此二次函数的解析式． 【题型3 二次函数的两点式】 11．已知二次函数的图象与经过，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)指出它的对称轴和最值． 12．根据下列条件，分别确定抛物线对应的二次函数的表达式． (1)抛物线的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是； (2)抛物线过，两点，与轴的交点为． 13．已知抛物线与x轴交于、，且过点，求抛物线的解析式；并指出其开口方向，对称轴及顶点坐标． 14．如图，已知抛物线 经过两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)观察图象：当时，直接写出y的取值范围_______． 15．已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 【题型4 二次函数图象与各系数符号】 16．二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 17．已知二次函数的图象在轴的下方，则，，满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 18．已知二次函数的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 19．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则； 其中正确的结论有 ． 20．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有两个根，，则．正确的结论是 （写序号）． 【题型5 根据二次函数的图象判断式子符号】 21．二次函数的图象经过点，，与轴的交点在轴的下方．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．二次函数的最小值为 22．如图，抛物线过点，对称轴为直线，有以下结论正确的为（   ） A． B． C． D．方程两根分别为，4 23．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （只填序号）．    25．如图，已知顶点的抛物线经过点，下列结论：①；②若点，在抛物线上，则；③；④关于x的一元二次方程的根为和，其中正确的有 （填写序号）． 【题型6 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 26．二次函数 图像上部分点的坐标对应值列表如下： x … 0 1 … y … … 则该函数图像的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 27．将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线相交于，，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 28．已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么 ． 29．已知二次函数经过两个不同点，，则 ． 30．已知二次函数． (1)求该二次函数图象与轴的交点坐标，并直接写出：函数的对称轴为直线_________． (2)若，当时，的最大值是4，求当时，的最小值； 【题型7 根据二次函数的对称性求函数值】 31．已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 2 3 2 … 其中m的值是（   ） A．3 B． C．2 D． 32．设二次函数（是常数），部分对应值如下表：当时，（　　） ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． A．5 B． C． D．0 33．已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 34．在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是 ． 35．已知抛物线的对称轴是轴． (1)求的值； (2)求出抛物线的解析式并说明抛物线的增减性． 【题型8 二次函数的单调性】 36．在二次函数的图象上，y随x的增大而增大，则x的取值范围：（   ） A． B． C． D． 37．已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（　　） A．2 B．4 C．6 D．9 38．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是 ． 39．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 ． 40．操作与探究： (1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值时，自变量x的取值范围是___________； ②当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是___________； ③当时，函数值，直接写出n的取值范围___________． 【题型9 利用二次函数对称性求最短路径】 41．如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 42．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    43．如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    44．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ． 45．如图是抛物线的一部分，该部分与轴、轴分别交于点 (1)求的值； (2)若点是该抛物线的对称轴上的点，则的最小值为___________，此时点的坐标为___________． 【题型10 二次函数图象的平移】 46．将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（   ） A． B． C． D． 47．将抛物线向下平移3个单位长度后，经过点，则 ． 48．将抛物线向下平移m个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是 ． 49．已知二次函数的图象以为顶点，且过点 (1)求该函数图象抛物线的解析式； (2)将函数图象向右平移几个单位，该函数图象恰好经过原点． 50．已知次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式，并求出顶点坐标； (2)若将该二次函数图象先向右平移m个单位、再向下平移m个单位，平移后的抛物线仍然经过点P，求m的值． 【题型11 二次函数的最值】 51．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（   ） A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值6 D．有最小值6 52．二次函数 在范围内有最大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 53．二次函数的最大值为 ． 54．当时，函数的最大值是8，则 ． 55．已知二次函数（是常数） (1)若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； (2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 【拓展训练一 二次函数的平移问题】 56．如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（    ） A．18 B．20 C．36 D．24 57．已知二次函数，将其图象向右平移个单位，得到新的二次函数的图象，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．则实数的取值可以是（   ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5 58．已知二次函数的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则m的值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．28 59．在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且），是轴上一点，将点向右平移4个单位长度得到点． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，将该抛物线向上平移个单位长度后与线段没有交点，则的取值范围是 ． 60．已知二次函数解析式为． (1)若该二次函数的图象经过点，且开口向下，求该二次函数的解析式； (2)若将该二次函数的图象向上平移两个单位，平移后的函数图象与轴仅有一个交点，试确定平移前的二次函数图象的顶点坐标； (3)该二次函数图象上有两点，，若对于，，都有，求的取值范围； 【拓展训练二 二次函数求最值】 61．已知抛物线经过点，点，将抛物线在A，B之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值记为w，且当时，y的最小值也为w，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 62．已知二次函数（为常数），当时，函数有最大值，则的值为（   ） A． B．1或 C．或 D．1或 63．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 64．设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 ． 65．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，是“三倍点”． (1)判断下列函数中存在三倍点的是______（填入序号）． ①；②；③；④． (2)已知二次函数（c为常数）．若该函数经过点， ①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当时，求出该函数的最小值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 【拓展训练三 二次函数的翻折问题】 66．如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 67．将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 68．将抛物线的图像位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图像，若直线与此图像有四个交点；求的取值范围． 69．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线与新图象有3个交点时，m的值是 ． 70．如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交轴于点． (1)①求抛物线的解析式； ②求二次函数的最小值． (2)①直接写出图象的解析式； ②求当图象所对应的函数随增大而增大时的取值范围． (3)若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出的值． 【拓展训练四 二次函数的存在性问题】 71．在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． (1)当时，求的值； (2)点是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围． 72．设二次函数． (1)若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标； (2)判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围． 73．已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． (1)若，求抛物线顶点坐标； (2)若存在实数，使得，且，求的取值范围； (3)当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 74．二次函数的图象经过点． (1)求的值． (2)当时，该函数的最大值减去最小值的差为，当时，该函数的最大值减去最小值的差为． ①若，求的取值范围； ②是否存在？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 75．若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），则把该函数称为“倍函数”，该点称为“倍点”，例如：“2倍函数”，其“2倍点”坐标为． (1)①判断：函数____“2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的“2倍点”的坐标为____． (2)若抛物线上有两个“3倍点”，求的取值范围； (3)若函数的图像上存在唯一的一个“倍点”，且当时，的最小值为，求的值． 1．在直角坐标系中，将函数的图象向上平移5个单位，所得新函数的图象与轴两个交点之间的距离是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．8 2．已知二次函数的图象上有两点，若，当函数值取得最大值时，对应的值为（    ） A． B． C． D． 3．用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格： … 0 1 2 … … … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数当时，？（   ） A． B． C． D．0 4．二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C． D．7 5．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 6．已知抛物线（是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为（   ） A． B． C． D． 7．从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号） 8．二次函数中的和满足下表，则的值为 ． x … 0 1 2 3 … y … m … 9．将二次函数的图像先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像对应的函数表达式是 ． 10．已知关于x的一元二次方程的两根为，则抛物线的对称轴为直线 ． 11．经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ． 12．若一个点的横坐标和纵坐标相等，则称该点为不动点．已知抛物线上有且只有一个不动点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，请探究下列问题： （1）的值是 ； （2）的取值范围是 ． 与轴交点为， 根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点， 在左侧，随的增大而增大； 在右侧，随的增大而减小；且当时， 函数的最大值为，最小值为， 13．已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 14．已知抛物线（为常数）． (1)若点在该抛物线上，求的值； (2)若该抛物线的顶点坐标是，求关于的函数解析式． 15．已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中． (1)请求出以上两个函数的解析式； (2)求点B的坐标； 16．表格中是二次函数的函数值y与自变量x的对应值． x … 0 3 5 6 … y … 27 7 0 7 16 … （1）写出该抛物线的对称轴 ． （2）填空：a 0，b 0．（填“”或“=”或“”） （3）已知该抛物线与x轴的一个交点坐标是，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是 ． （4）若点是该抛物线上一点，请写出这个点在其图象上的对称点坐标 ． 17．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 18．已知抛物线（为常数）． (1)若该函数的图象经过 ①求该二次函数的表达式； ②将该二次函数的图象向右平移个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线上，求的值； (2)若点，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$