专题4 方程与函数思想-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版）

第 二 部 分 　 整 合 提 升 专题四　方程与函数思想 一、理论指导 方程思想是指在解决问题时,通过等量 关系将已知与未知联系起来,建立方程或方 程组,然后运用方程的知识使问题得以解决 的方法．函数描述了自然界中量与量之间的 依存关系．函数思想的实质是剔除问题的非 本质特征,用联系和变化的观点研究问题,将 问题中的量转化为函数关系去解决． 二、典型例题 【例１】　如图是在同一坐标系内作出的一次 函数y１,y２ 的图象l１,l２,设y１＝k１x＋b１, y２＝k２x＋b２,则方程组 y１＝k１x＋b１ y２＝k２x＋b２{ 的解是 (　　) A． x＝－２ y＝２{ B． x＝－２ y＝３{ C． x＝－３ y＝３{ D． x＝－３ y＝４{ 【分析】　由函数图象上点的坐标,利用待定 系数法确定函数解析式,然后联立两函数关 系式,再解方程组求解． 【解】　在l１ 上找两点(１,２)和(４,１),求出过 这两点的l１ 的一次函数为y＝－ １ ３x＋ ７ ３ ; 在l２ 上找两点(－１,０)和(０,－３),求出过这 两点的l２ 的一次函数为y＝－３x－３． 解方 程 组 y＝－ １ ３x＋ ７ ３ y＝－３x－３ ì î í ï ï ï ï ,得 x＝－２ y＝３{ , 故应选B． 【评注】　用一次函数图象求二元一次方程组 的解的步骤是:①将二元一次方程组中的两 个方程转化为一次函数表达式;②在同一坐 标系中,作出这两个一次函数的图象;③两图 象(两 直 线)的 交 点 坐 标 即 为 所 求 方 程 组 的解． 【例２】　(娄底中考题)为了创建全国卫生城 市,某社区要清理一个卫生死角内的垃圾,租 用甲、乙两车运送,两车各运１２趟可完成,需 支付运费４８００元．已知甲、乙两车单独运完 此垃圾,乙车所运趟数是甲车的２倍,且乙车 每趟运费比甲车少２００元． (１)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需 运多少趟; (２)若 单 独 租 用 一 台 车,租 用 哪 台 车 合算? 【分析】　本题综合考查了有关工程问题的分 式方程的应用、一元一次方程的应用、方案决 策问题,解决此问题的关键是弄清题意,找出 题目中的等量关系,列出方程求出所需的量, 再进行计算比较． 【解】　(１)设甲车单独运完此堆垃圾需运x 趟,则乙车单独运完此堆垃圾需２x 趟,依题 意得:１２ x＋ １２ ２x＝１ 解得:x＝１８ 经检验x＝１８是原方程的解 ∴２x＝３６ 答:甲车单独运完此堆垃圾需１８趟,乙 １７ 第 二 部 分 　 整 合 提 升 车需３６趟． (２)设甲车每趟需运费a 元,则乙车每 趟需运费(a－２００)元,依题意得: １２a＋１２(a－２００)＝４８００ 解得:a＝３００ ∴a－２００＝１００ ∴单独 租 用 甲 车 的 费 用 ＝３００×１８＝ ５４００(元) 单独租用乙车的费用＝１００×３６＝３６００ (元) ５４００＞３６００ ∴单独租用乙车合算． 【评注】　在列方程解决实际问题时,我们一 是要注意审题,找到题目中的相等关系;二是 设未知数,注意选择和题目中各个量关系都 密切的量,注意根据问题情况灵活选择设法． 如直接设、间接设、设多元等;三是求分式方 程的解,验根应从两个方面出发:一方面是方 程的本身,另一方面是实际问题,根既要使方 程的本身有意义,又要符合实际意义;四是合 算的问题就是方案选择问题,也就是比较谁 少的问题,一定要把方案选择转化为求哪几 个量,再进行计算比较． 【例３】　我们知道,在数轴上,x＝１表示一 个点,而在平面直角坐标系中,x＝１表示一 条直线;我们还知道,以二元一次方程２x－y ＋１＝０的所有解为坐标的点组成的图形就 是一次函数y＝２x＋１的图象,它也是一条 直线,如图１． 图１ 　　 图２ 图３ 　　 图４ 观察图１可以得出:直线x＝１与直线 y＝２x＋１的交点P 的坐标(１,３)就是方程 组 x＝１ ２x－y＋１＝０{ 的解,所以这个方程组的解 为 x＝１ y＝３{ ． 在直角坐标系中,x≤１表示一个平面区 域,即直线x＝１以及它左侧的部分,如图２; y≤２x＋１也表示一个平面区域,即直线y＝ ２x＋１以及它下方的部分,如图３． 根据以上内容,回答下列问题: (１)在直角坐标系(图４)中,用作图象的 方法求出方程组 x＝－２ y＝－２x＋２{ 的解; (２)用阴影表示 x≥－２ y≤－２x＋２ y≥０ ì î í ï ï ï ï 所围成的 区域． 【分析】　本题是一道集阅读理解与解答于一 体的综合型创新考题,要注意在阅读的过程 中理解用函数图象解方程组及不等式组的 方法． 第(１)小题画直线x＝－２和y＝－２x ＋２,根据这两条直线的交点可确定方程组 的解． 第(２)小题在直角坐标系中,x≥－２表 示直线x＝－２以及它右侧的部分;y≤－２x ＋２表示直线y＝－２x＋２以及它下方的部 ２７ 第 二 部 分 　 整 合 提 升 分;y≥０表示直线y＝０以及它上方的部分． 这三部分的公共部分就是所围成的区域． 【解】　(１)如图,在直角坐标系内分别作直线 x＝－２和直线y＝－２x＋２,观察图象可知 这两条直线的交点为P(－２,６),所以方程组 x＝－２ y＝－２x＋２{ 的解为 x＝－２, y＝６．{ (２)如 图 所 示 的 阴 影 部 分 即 为 x≥－２ y≤－２x＋２ y≥０ ì î í ï ï ï ï 所围成的区域． 三、专项训练 １．已知一个多边形的内角和为５４０°,则 这个多边形为 (　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 ２．如图,把直线y＝－２x 向上平移到直 线AB,直线AB 经过点(m,n),且２m＋n＝ ６,则直线AB 的表达式是 (　　) A．y＝－２x－３ B．y＝－２x－６ C．y＝－２x＋３ D．y＝－２x＋６ ３．如图,一次函数的图象过点 A,且与 正比例函数y＝－x 的图象交于点B,则该 一次函数的表达式为 (　　) A．y＝－x＋２ B．y＝x＋２ C．y＝x－２ D．y＝－x－２ ４．一次函数y１＝kx＋b与y２＝x＋a 的 图象如图所示,则下面结论:①k＜０;②a＞ ０;③当x＜３时,y１＜y２．正确的个数是 (　　) A．０ B．１ C．２ D．３ ５．一个两位数,十位数字与个位数字之 和是５,把这个数的十位数字与个位数字对 调后,所得的新两位数与原两位数的乘积是 ７３６,求原来的两位数． ６．有一人患了流感,经过两轮传染后共 有６４人患了流感． (１)求每轮传染中平均一个人传染了几 个人; (２)如果不及时控制,第三轮将又有多少 人被传染? ３７ 解得 k＝８０ b＝０{ ,所以y乙 ＝８０x(２．５≤x≤５)． (３)相遇前:１００x＋８０x＋４０＝４００,解得x＝２; 相遇后:８０x＋２００＋８０(x－２．５)＝４４０,解得x＝２．７５． 综上可知,x＝２或x＝２．７５． ７．解:(１)乙　０．６ (２)１　３　(１,１００)　(３,４５０) (３)设AB 所在直线关系式为y＝kx＋b,依题意,得 k＋b＝１００ ３k＋b＝４５０{ ,解得 k＝１７５ b＝－７５{ ,所以 y＝１７５x－７５．当y＝８００时,x＝５．所以甲、乙两队同时到达终点． 专题三　转化与化归思想 １． １ ３＜k＜１　２．８≤a＜１２　３．B　４．B　５．D ６．(１)证明:∵PB＝PD,∴∠PBD＝∠２, ∵AB＝BC,∠ABC＝９０°,∴∠C＝４５°． ∵BO⊥AC 于点O,∴∠１＝４５°,∴∠１＝∠C＝４５°． ∵∠３＝∠PBD－∠１,∠４＝∠２－∠C,∴∠３＝∠４． 又∵BO⊥AC,DE⊥AC,∴∠BOP＝∠PED＝９０°． ∵PB＝DP,∴△BPO≌△PDE． (２)证明:由(１)可得∠３＝∠４,∵BP 平分∠ABO, ∴∠ABP＝∠３,∴∠ABP＝∠４． 又∵∠A＝∠C,PB＝DP, ∴△ABP≌△CPD,∴AP＝CD． (３)CD′与AP′的数量关系是:CD′＝ ２ ３AP′． 专题四　方程与函数思想 １．C　２．D　３．B　４．B　５．２３或３２ ６．解:(１)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,由题意,得 １＋x＋x(１＋x)＝６４, 解之,得x１＝７,x２＝－９(不合题意,舍去)． 答:每轮传染中平均一个人传染了７个人． (２)７×６４＝４４８(人)． 答:第三轮将又有４４８人被传染． 专题五　数学建模思想 １．解:(１)设 种 植 草 皮 的 面 积 为 x 亩,则 种 植 树 木 的 面 积 为 (３０－x)亩,则 x≥１０ ３０－x≥１０ x≥ ３ ２ (３０－x) ì î í ï ï ï ï ,解得１８≤x≤２０．答:种植草皮的最小面积是１８亩． 􀅰４１􀅰