专题3 转化与化归思想-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版）

第 二 部 分 　 整 合 提 升 专题三　转化与化归思想 一、理论指导 在解决数学问题时,常常把遇到的生疏 的、复杂的、未解决的数学问题转化为熟悉的、 简单的、已解决的数学问题,使问题得以解决． 解决数学问题的过程就是不断地把未知转化 为已知的过程,这就是数学的转化思想． 二、典型例题 【例１】　(上海中考题)李老师开车从甲地到 相距２４０千米的乙地,如果油箱剩余油量 y(升)与行驶里程x(千米)之间是一次函数 关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱 剩余油量是　　　　升． 【分析】　 本题主要考查一次函数图象及其 应用． 【解】　 由给予的图象,设一次函数解析式为 y＝kx＋３５,将(１６０,２５)代入,得k＝－ １ １６ , 再将x＝２４０代入y＝－ １ １６x＋３５ ,得此时 y＝２０．故答案为２０． 【评注】　 利用待定系数法确定一次函数的 解析式． 【例２】　如图,分别以正方形 ABCD 的边 AB,AD 为直径画半圆,若正方形的边长为 a,求阴影部分的面积． 【分析】　从表面上看,图中的阴影部分是复 杂的、分散的图形,要设法通过变换将其转化 为简单的、集中的图形． 【解】　连接 DB,AC,可知阴影部分的面积 等于△BCD 的面积． ∴S阴影 ＝S△BCD＝ １ ２a ２． 【例３】　如图,已知圆柱的高为８０cm,底面 半径为１０cm,轴截面上有两点P,Q,PA＝ ４０cm,B１Q＝３０cm,则圆柱侧面上P,Q 两 点的最短距离是多少? 【分析】　将圆柱侧面沿母线AA１ 展开,得到 如下图所示的矩形,从而将曲面上的问题转 化成平面上的问题,B,B１ 分别为中点,则 P,Q 两点间的最短距离即为线段PQ 的长． 【解】　 过 点 Q 作 QS ⊥AA１ 于 S,在 Rt△PQS中, PS＝AA１－AP－A１S＝AA１－AP－ B１Q＝８０－４０－３０＝１０(cm), QS＝BA＝ １ ２ 􀅰２πR＝πR＝１０π(cm), ∴PQ ＝ PS２＋QS２ ＝ １０２＋(１０π)２ ＝１０ π２＋１(cm)． 故P,Q 两点间最短距离为１０ π２＋１cm． ９６ 第 二 部 分 　 整 合 提 升 三、专项训练 １．直线y＝３x－１和直线y＝x－k 的 交点在第四象限,则k 的取值范围是　　　 　　　　． ２．不等式４x－a≤０的正整数解是１,２, 则a 的取值范围是　　　　． ３．如果不等式(a－１)x＞a－１的解为 x＜１,则a 的取值范围是 (　　) A．a＜０ B．a＜１ C．a＞１ D．a≤１ ４．将五个边长都为２cm 的正方形按如 图所示摆放,点A,B,C,D 分别是四个正方 形的中心,则图中四块阴影面积的和为 (　　) A．２cm２ B．４cm２ C．６cm２ D．８cm２ ５．(绍兴中考题)如图,汽车在东西向的 公路l上行驶,途中A,B,C,D 四个十字路 口都有红绿灯,AB 之间的距离为８００m,BC 为１０００m,CD 为１４００m,且l上各路口的 红绿灯设置为:同时亮红灯或同时亮绿灯,每 次亮红(绿)灯的时间相同,红灯亮的时间与 绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时,甲汽车 从A 路口以每小时３０千米的速度沿l向东 行驶,同时乙汽车从D 路口以相同的速度沿 l向西行驶,这两辆汽车通过四个路口时都 没有遇到红灯,则每次绿灯亮的时间可能设 置为 (　　) A．５０秒 B．４５秒 C．４０秒 D．３５秒 ６．第一节数学课后,老师布置了一道课 后练习:如图①,已知在 Rt△ABC 中,AB＝ BC,∠ABC＝９０°,BO⊥AC 于点O．点P,D 分别在AO 和BC 上,PB＝PD,DE⊥AC 于 点E． 求证:△BPO≌△PDE． (１)理清思路,完成解答 本题证明的思路可以用下列框图表示: 根据上述思路,请你完整地书写本题的 证明过程; (２)特殊位置,证明结论 图②(备用图),若BP 平分∠ABO,其 余条件不变．求证:AP＝CD; (３)知识迁移,探索新知 图③,若点P 是一个动点,当点P 运动 到OC 的中点P′时,满足题中条件的点D 也 随之在直线BC 上运动到点D′,请直接写出 CD′与AP′的数量关系．(不必写解答过程) ０７ 解得 k＝８０ b＝０{ ,所以y乙 ＝８０x(２．５≤x≤５)． (３)相遇前:１００x＋８０x＋４０＝４００,解得x＝２; 相遇后:８０x＋２００＋８０(x－２．５)＝４４０,解得x＝２．７５． 综上可知,x＝２或x＝２．７５． ７．解:(１)乙　０．６ (２)１　３　(１,１００)　(３,４５０) (３)设AB 所在直线关系式为y＝kx＋b,依题意,得 k＋b＝１００ ３k＋b＝４５０{ ,解得 k＝１７５ b＝－７５{ ,所以 y＝１７５x－７５．当y＝８００时,x＝５．所以甲、乙两队同时到达终点． 专题三　转化与化归思想 １． １ ３＜k＜１　２．８≤a＜１２　３．B　４．B　５．D ６．(１)证明:∵PB＝PD,∴∠PBD＝∠２, ∵AB＝BC,∠ABC＝９０°,∴∠C＝４５°． ∵BO⊥AC 于点O,∴∠１＝４５°,∴∠１＝∠C＝４５°． ∵∠３＝∠PBD－∠１,∠４＝∠２－∠C,∴∠３＝∠４． 又∵BO⊥AC,DE⊥AC,∴∠BOP＝∠PED＝９０°． ∵PB＝DP,∴△BPO≌△PDE． (２)证明:由(１)可得∠３＝∠４,∵BP 平分∠ABO, ∴∠ABP＝∠３,∴∠ABP＝∠４． 又∵∠A＝∠C,PB＝DP, ∴△ABP≌△CPD,∴AP＝CD． (３)CD′与AP′的数量关系是:CD′＝ ２ ３AP′． 专题四　方程与函数思想 １．C　２．D　３．B　４．B　５．２３或３２ ６．解:(１)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,由题意,得 １＋x＋x(１＋x)＝６４, 解之,得x１＝７,x２＝－９(不合题意,舍去)． 答:每轮传染中平均一个人传染了７个人． (２)７×６４＝４４８(人)． 答:第三轮将又有４４８人被传染． 专题五　数学建模思想 １．解:(１)设 种 植 草 皮 的 面 积 为 x 亩,则 种 植 树 木 的 面 积 为 (３０－x)亩,则 x≥１０ ３０－x≥１０ x≥ ３ ２ (３０－x) ì î í ï ï ï ï ,解得１８≤x≤２０．答:种植草皮的最小面积是１８亩． 􀅰４１􀅰