专题2 数形结合思想-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版）

第 二 部 分 　 整 合 提 升 专题二　数形结合思想 一、理论指导 数学家华罗庚说得好:“数缺形时少直 观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离 分家万事休．”可见数形结合思想是数学中重 要的思想方法之一,它包含“以形取数”和“以 数辅形”两个方面． 数是形的抽象概括,形是数的直观体现． 在数学中,数和形是两个最重要的研究对象, 它们之间有着十分密切的联系．在一定条件 下,数和形之间相互转化、相互渗透．根据具 体情形,把图形的性质问题转化为数量关系 问题,或者把数量关系问题转化为图形性质 问题,使复杂的问题简单化、抽象的问题具体 化,化难为易,获得简单易行的解决方案． 二、典型例题 【例１】　(湘西中考题)小芳的爷爷每天坚持 体育锻炼,某天他慢步行走到离家较远的公 园,打了一会儿太极拳,然后沿原路跑步到家 里,下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离 y(米)与时间x(分钟)之间的关系的大致图 象是 (　　) A 　　　　 B C 　　　　 D 【分析】　本题考查了函数图象的表示方法, 正确理解题意是解题的关键． 【解】　小芳爷爷离家外出进行体育锻炼,开 始慢步行走,说明离家的距离逐步变大;但行 至公园时,打了一会儿太极拳,这时离家的 距离是不变的,故可排除选项 A,D;返回时, 沿原路跑步到家里,离家的距离逐渐变小,直 至为０,说明返回比开始出来的速度要快,故 可排除选项B．所以本题选C． 【评注】　 以实际问题为背景找相应的函数 图象,先要弄清题意所反映的问题可分为几 段,以及在这个过程中变化的量及不变的量, 再确定大致图象． 【例２】　设n 为正整数,S＝ １ ２＋ １ ４＋ １ ８＋ 􀆺 ＋ １ ２n ,那么S 与１的大小关系是 (　　) A．S＞１ B．S＝１ C．S＜１ D．由n 决定,S 与１大小关系不定 【分析】　本题用初中数学直接求解较难,但 如果与图形结合起来,直观易懂． 【解】　解法一:如图(１),在边长为１的正方形 内,依次用线段把它一分为二．n 次等分后,图 中各矩形的面积依次为 １ ２ ,１ ４ ,１ ８ ,􀆺,１ ２n． 显然,最后两个矩形面积均为１ ２n ,这时前 面n 个矩形的面积之和为S＝ １ ２＋ １ ４＋ １ ８＋ 􀆺＋ １ ２n＝１－ １ ２n＜１ ,故选 C．类似地用图(２), (３)也可得出结论． (１) 　　　 (２) ５６ 第 二 部 分 　 整 合 提 升 (３) 解法二:利用数轴,我们可以把数轴上的 一个长度单位１按照上面的方法进行n 次等 分,n次等分后,对应的各点表示的数从右到 左依次为 １ ２ ,１ ４ ,１ ８ ,􀆺,１ ２n ,显然S＝ １ ２＋ １ ４＋ １ ８＋ 􀆺＋ １ ２n＝１－ １ ２n＜１ ,故选C． 【例３】　(福州中考题)A,B 两点在一次函 数图象上的位置如图所示,两点的坐标分别 为A(x＋a,y＋b),B(x,y),下列结论正确 的是 (　　) A．a＞０　 B．a＜０ C．b＝０　 D．ab＜０ 【分析】　本题考查了一次函数图象的性质, 函数图象问题一直是中考考查的重要内容． 【解】　 由图象可知x＋a＜x,y＋b＜y,所 以a＜０,b＜０,因此本题选B． 【评注】　一次函数解析式中k,b 对一次函 数图象的影响: ①当k＞０时,y 随x 的增大而增大,当 k＜０时,y 随x 的增大而减小; ②k决定着一次函数图象的倾斜程度, k 越大,其图象与x 轴的夹角就越大; ③b 决定着直线与y 轴的交点,当b 大 于０时,交点在y 轴正半轴;当b小于０时, 交点在y 轴负半轴; ④直线y＝kx＋b 可以看作由直线y＝ kx 平移 b 个长度单位得到(当b＞０时,向 上平移;当b＜０时,向下平移); ⑤直线y＝k１x＋b１,y＝k２x＋b２ 的几 种位置关系:平行:k１＝k２,b１≠b２;重合:k１ ＝k２,b１＝b２;关于y 轴对称:k１＋k２＝０,b１ ＝b２;关于x 轴对称:k１＋k２＝０,b１＋b２＝０; 垂直:k１k２＝－１． 【例４】　(温州中考题)如图,在平面直角坐 标系中△ABC 的两个顶点A,B 的坐标分别 为(－２,０),(－１,０),BC⊥x 轴．将△ABC 以y 轴为对称轴对称变换,得到△A′B′C′(A 和A′,B 和B′,C 和C′分别是对应顶点)．直 线y＝x＋b经过点A,C′,则点C′的坐标是 　　　　． 【分析】　本题综合考查平面直角坐标系、一 次函数、轴对称变换等知识,解题的关键是灵 活利用轴对称变换的坐标特点及一次函数图 象上点的坐标与解析式之间的关系解题． 【解】　因为点 A(－２,０)在直线y＝x＋b 上,则b＝２,直线的解析式为y＝x＋２;由 B 和B′关于y 轴对称,则 B′的坐标为(１, ０),当x＝１时,y＝１＋２＝３,则点C′的坐标 为(１,３)．故答案为(１,３)． 【评注】　平面直角坐标系中,关于x 轴的对 称点的坐标特征是:横坐标不变,纵坐标互为 相反数;关于y 轴的对称点的坐标特征是: 纵坐标不变,横坐标互为相反数．函数图象上 点的坐标适合函数解析式． 【例５】　甲、乙两名同学进行登山比赛,图中 表示甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山 脚出发到达山顶过程中,各自行进的路程随 时间变化的图象,根据图象中的有关数据回 ６６ 第 二 部 分 　 整 合 提 升 答下列问题: (１)分别求出表示甲、乙两同学登山过程 中路程s(km)与时间t(h)的函数关系式(不 要求写出自变量t的取值范围); (２)当甲到达山顶时,乙行进到山路上的 某点A 处,求A 点距山顶的距离; (３)在(２)的条件下,设乙同学从A 处继 续登山,甲同学到达山顶后休息１h,沿原路 下山,在B 点处与乙相遇,此时点B 与山顶 距离为１．５km,相遇后甲、乙各自按原来的 路线下山和上山,求乙到达山顶时,甲离山脚 的距离是多少千米． 【分析】　根据图象理解横轴、纵轴表示的相 应的量,将本题转化为函数问题,利用函数的 解析式解题． 【解】　(１)设甲、乙两同学登山过程中,路程 s(km)与时间t(h)的函数关系式分别为s甲 ＝k１t,s乙 ＝k２t． 由题意,得６＝２k１,６＝３k２,所以k１＝３, k２＝２． 所以关系式分别为s甲 ＝３t,s乙 ＝２t． (２)甲到达山顶时,由图象可知,当s甲 ＝ １２,代入s甲 ＝３t,得t＝４． 所以s乙 ＝２×４＝８(km),所以１２－８＝ ４(km)．　 答:当甲到达山顶时,乙距山顶的距离为 ４km． (３)由图象知:甲到达山顶并休息１h后 点D 的坐标为(５,１２),由题意,得点B 的纵 坐标 为 １２－ ３ ２＝ ２１ ２ ,代 入s乙 ＝２t,解 得: t＝ ２１ ４．　 所以点B ２１４ ,２１ ２ æ è ç ö ø ÷． 设过B,D 两点的直线关系式为s＝kt ＋b,由题意,得 ２１ ２＝ ２１ ４k＋b １２＝５k＋b ì î í ï ï ï ï ,解得 k＝－６ b＝４２{ ． 所以直线BD 的关系式为s＝－６t＋４２． 当乙到达山顶时,s乙 ＝１２,得t＝６,把 t＝６代入s＝－６t＋４２,得s＝６． 答:乙到达山顶时,甲离山脚的距离为 ６km． 三、专项训练 １．(甘孜州中考题)如图,我国古代数学 家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三 角形和一个小正方形密铺成的大正方形．若 小正方形与大正方形的面积之比为１∶１３, 则直角三角形较短的直角边a 与较长的直 角边b的比值为　　　　． ２．(黔南州中考题)正比例函数y＝kx (k≠０)的图象在第二、四象限,则一次函数 y＝x＋k的图象大致是 (　　) A 　　　 B C 　　　 D ７６ 第 二 部 分 　 整 合 提 升 ３．在北京召开的国际数学家大会,会标 取材于我国古代数学家赵爽的«勾股圆方 图»,它是由四个全等的直角三角形与中间的 小正方形拼成的一个大正方形(如下图所 示)．如果大正方形的面积是１３,小正方形的 面积为１,直角三角形较短直角边为a,较长 直角边为b,那么(a＋b)２ 的值为 (　　) A．１３ B．１９ C．２５ D．１６９ ４．已知两点A(３,２)与B(１,－１),点P 在y轴上且使PA＋PB 最短,则P 的坐标是 (　　) A．０,－ １ ２ æ è ç ö ø ÷ B．(０,０) C．０, １１ ６ æ è ç ö ø ÷ D．０,－ １ ４ æ è ç ö ø ÷ ５．如图,宽为５０cm 的矩形图案由１０个 全等的小长方形拼成,其中一个小长方形的 面积为 (　　) A．４００cm２ B．５００cm２ C．６００cm２ D．４０００cm２ ６．(吉林中考题)甲、乙两辆汽车分别从 A,B 两地同时出发,沿同一条公路相向而 行,乙车出发２h后休息,与甲车相遇后,继 续行驶．设甲、乙两车与B 地的路程分别为 y甲 (km),y乙 (km),甲 车 行 驶 的 时 间 为 x(h),y甲 ,y乙 与x 之间的函数图象如图所 示,结合图象解答下列问题: (１)乙车休息了　　　　h; (２)求乙车与甲车相遇后y乙 与x 的函 数解析式,并写出自变量x 的取值范围; (３)当两车相距４０km 时,直接写出x 的值． ７．第三届南宁国际龙舟赛在南湖举行, 甲、乙 两 队 在 比 赛 时,路 程 y(m)与 时 间 x(min)的函数图象如图所示,根据函数图象 填空和解答问题: (１)最先到达终点的是　　　　队,该队 比另一队领先 　　　　min到达; (２)在比赛过程中,乙队在　　　　min 和　　　　min时两次加速,图中点A 的坐 标是　　　　,点B 的坐标是　　　　; (３)假设乙队在第一次加速后,始终保持 这个速度继续前进,那么甲、乙两队谁先到达 终点? 请说明理由． ８６ １４．证明:∵在平行四边形ABCD 中,AD∥BC,AD＝BC,∴∠ACB＝∠CAD．又∵BE ∥DF,∴∠BEC＝∠DFA,∴△BEC≌△DFA,∴AF＝CE． １５．解:设每台冰箱应降价x 元,则(２４００－２０００－x)８＋４× x ５０ æ è ç ö ø ÷ ＝４８００,解得x１＝１００, x２＝２００．要使百姓得到实惠,取x＝２００,即每台冰箱应降价２００元． １６．解:(１)设A 点的坐标为(m,２),代入y１＝x,得m＝２, 所以点A 的坐标为(２,２)． ∴k＝２×２＝４． ∴反比例函数的解析式为y２＝ ４ x． (２)当y１＝y２ 时,x＝ ４ x , 解得x＝±２． ∴点B 的坐标为(－２,－２)． 或者由反比例函数、正比例函数图象的对称性得点B 的坐标为(－２,－２)． 由图象可知,当y１＞y２ 时,自变量x 的取值范围是:－２＜x＜０或x＞２． 第二部分　整合提升 专题一　分类讨论思想 １．A　２．D　３．C　４．B　５．D　６．C ７．解:(１)yA＝２７x＋２７０,yB＝３０x＋２４０． (２)当yA＝yB 时,２７x＋２７０＝３０x＋２４０,解得x＝１０; 当yA＞yB 时,２７x＋２７０＞３０x＋２４０,解得x＜１０; 当yA＜yB 时,２７x＋２７０＜３０x＋２４０,解得x＞１０． ∴当２≤x＜１０时,到B 超市购买划算;当x＝１０时,两家超市都一样;当x＞１０时,到A 超市购买划算． (３)∵x＝１５＞１０, ∴①选择在A 超市购买,yA＝２７×１５＋２７０＝６７５(元); ②可先在B 超市购买１０副羽毛球拍,送２０个羽毛球,然后在A 超市购买剩下的羽毛球 (１０×１５－２０＝１３０个),则共需费用:１０×３０＋１３０×３×０．９＝６５１(元),∵６５１＜６７５,∴最省钱 的购买方案是:先在B 超市购买１０副羽毛球拍,然后在A 超市购买１３０个羽毛球． 专题二　数形结合思想 １． ２ ３　２．B　３．C　４．D　５．A ６．解:(１)方法１:设乙车休息了th,根据题意,得 ２００＋ ４００ ５ 􀅰(t＋２)＝４００,解得t＝０．５．即乙车休息了０．５h． 方法２:(４００－２００)÷ ４００ ５ －２＝０．５ (h),即乙车休息了０．５h． (２)设y乙与x的函数解析式为y乙 ＝kx＋b,把(２．５,２００),(５,４００)代入,得 ２．５k＋b＝２００ ５k＋b＝４００{ , 􀅰３１􀅰 解得 k＝８０ b＝０{ ,所以y乙 ＝８０x(２．５≤x≤５)． (３)相遇前:１００x＋８０x＋４０＝４００,解得x＝２; 相遇后:８０x＋２００＋８０(x－２．５)＝４４０,解得x＝２．７５． 综上可知,x＝２或x＝２．７５． ７．解:(１)乙　０．６ (２)１　３　(１,１００)　(３,４５０) (３)设AB 所在直线关系式为y＝kx＋b,依题意,得 k＋b＝１００ ３k＋b＝４５０{ ,解得 k＝１７５ b＝－７５{ ,所以 y＝１７５x－７５．当y＝８００时,x＝５．所以甲、乙两队同时到达终点． 专题三　转化与化归思想 １． １ ３＜k＜１　２．８≤a＜１２　３．B　４．B　５．D ６．(１)证明:∵PB＝PD,∴∠PBD＝∠２, ∵AB＝BC,∠ABC＝９０°,∴∠C＝４５°． ∵BO⊥AC 于点O,∴∠１＝４５°,∴∠１＝∠C＝４５°． ∵∠３＝∠PBD－∠１,∠４＝∠２－∠C,∴∠３＝∠４． 又∵BO⊥AC,DE⊥AC,∴∠BOP＝∠PED＝９０°． ∵PB＝DP,∴△BPO≌△PDE． (２)证明:由(１)可得∠３＝∠４,∵BP 平分∠ABO, ∴∠ABP＝∠３,∴∠ABP＝∠４． 又∵∠A＝∠C,PB＝DP, ∴△ABP≌△CPD,∴AP＝CD． (３)CD′与AP′的数量关系是:CD′＝ ２ ３AP′． 专题四　方程与函数思想 １．C　２．D　３．B　４．B　５．２３或３２ ６．解:(１)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,由题意,得 １＋x＋x(１＋x)＝６４, 解之,得x１＝７,x２＝－９(不合题意,舍去)． 答:每轮传染中平均一个人传染了７个人． (２)７×６４＝４４８(人)． 答:第三轮将又有４４８人被传染． 专题五　数学建模思想 １．解:(１)设 种 植 草 皮 的 面 积 为 x 亩,则 种 植 树 木 的 面 积 为 (３０－x)亩,则 x≥１０ ３０－x≥１０ x≥ ３ ２ (３０－x) ì î í ï ï ï ï ,解得１８≤x≤２０．答:种植草皮的最小面积是１８亩． 􀅰４１􀅰