专题1 分类讨论思想-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版）

第 二 部 分 　 整 合 提 升 第二部分　整合提升 专题一　分类讨论思想 一、理论指导 在数学中,我们常常需要根据研究对象 性质的差异,分各种不同情况予以考虑,这种 分类思考的方法是一种重要的数学思想方 法,同时也是一种解题策略．掌握分类的方 法,领会其实质,对于加深基础知识的理解, 提高分析问题、解决问题的能力是十分重要 的．正确的分类必须是全面的,既不能重复, 也不能遗漏．分类的原则:(１)分类中的每一 部分是相互 独 立 的;(２)一 次 分 类 按 一 个 标准． 二、典型例题 【例１】　下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后,请回答后面的问题: 学习等腰三角形有关内容后,张老师请 同学们交流讨论这样一个问题:“已知等腰 △ABC 的 ∠A 等 于 ３０°,请 你 求 出 其 余 两角．” 同学们经片刻的思考与交流后,小明同 学举手说:“其余两角是３０°和１２０°．”王华同 学说:“其余两角是７５°和７５°．”还有一些同学 也提出了不同的看法􀆺􀆺 (１)假 如 你 也 在 课 堂 中,试 写 出 你 的 看法; (２)如果∠A 等于n°,请你用n 的代数 式表示其余两角的度数,并请说明理由． 【分析】　在等腰三角形中,已知一个角的度 数,但并没有说明这个角是顶角还是底角,要 根据具体的度数来判别这个角是顶角还是 底角． 【解】　(１)因为∠A＝３０°,但这里的∠A 没 有说明 是 顶 角 还 是 底 角,所 以 应 分 为 两 种 情况: 若∠A 为顶角时,则另外两个角为７５° 和７５°; 若∠A 为底角时,则另外两个角为３０° 和１２０°． (２)这里的∠A＝n°时,也有两种情况: Ⅰ:当０°＜n°＜９０°时, 若 ∠A 为 顶 角 时,则 另 外 两 个 角 为 ( １８０－n ２ ) °和 ( １８０－n ２ ) °; 若∠A 为底角时,则另外两个角为n°和 (１８０－２n)°． Ⅱ:当９０°≤n°＜１８０°时,由三角形内角 和可知:此时∠A 只能为顶角,另两个角都 为 ( １８０－n ２ ) °． 【评注】　(１)等腰三角形的顶角可以是锐角、 直角、钝角,但底角只能是锐角; (２)对于等腰三角形,若已知它的一个内 角是钝角、直角或６０°时,另两个内角的度数 只有一种可能,但若已知一个等腰三角形的 一个内角是不等于６０°的锐角时,另两个内角 的度数有两种可能． 【例２】　过等腰三角形ABC 某一顶点处作 一条直线,将原三角形分为两个等腰三角形, 试求△ABC 各内角的度数． 【分析】　题中既未指明三角形的形状是直角 三角形,还是锐角三角形或钝角三角形,又未 指出是从顶角顶点还是从底角顶点作直线, 因此需分类讨论． ２６ 第 二 部 分 　 整 合 提 升 【解】　(１)如图①,为直角三角形,易解各内 角度数为４５°,４５°,９０°． ① 　　　 ② ③ 　　　　 ④ (２)如图②,为钝角三角形时,易解得各 内角度数为３６°,３６°,１０８°． (３)如图③④,为锐角三角形时,③中各 内角度数为３６°,７２°,７２°．④中各内角度数为 １８０° ７ ,５４０° ７ ,５４０° ７ ． 共四种情形． 【例３】　一次函数y＝kx＋b的自变量x 的 取值范围是－３≤x≤６,相对的函数值的取 值范围是－７≤y≤２,求这个函数的解析式． 【分析】　此题要考虑函数y 随着x 的增大 而增大和增大而减小,故应分k＞０和k＜０ 两种情况讨论． 【解】　当k＞０时,函数值y 随着x 的增大 而增大,则当x＝－３时,y＝－７;当x＝６ 时,y＝２,∴ －７＝－３k＋b ２＝６k＋b{ ,解得 k＝１ b＝－４{ ． 当k＜０时,则当x＝－３时,y＝２;当x ＝６时,y＝－７． ∴ ２＝－３k＋b －７＝６k＋b{ ,解得 k＝－１ b＝－１{ ． ∴这 个 函 数 的 解 析 式 为y＝x－４ 或 y＝－x－１．　 【例４】　在数学活动课上,小明做了一个梯 形纸板,测得一底为１０cm,高为１２cm．两腰 长分别为１５cm 和２０cm,求该梯形纸板另 一底的长． 【分析】　由于本题没有给出梯形的图形,因 此梯形的形状是不确定的,故需分情况讨论． 【解】　设梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD ＝１０cm,AB＝１５cm,CD＝２０cm,高AE＝ １２cm． 画出梯形ABCD 有如下三种情况: ① 　　　 ② ③ 如图①,②,③,分别过点A,D 作AE⊥ BC 于 点 E,DF ⊥BC 于 点 F,则 EF ＝ １０cm,AE＝DF＝１２cm． 在Rt△ABE 中,BE＝ AB２－AE２ ＝ １５２－１２２ ＝９(cm)．同理CF＝ ２０２－１２２ ＝１６(cm)． 在图 ① 中,BC ＝BE ＋EF ＋FC ＝ ３５(cm),在图②中,BC＝EF－BE＋FC＝ １７(cm),在图③中,BC＝BE＋EF－CF＝ ３(cm)．　 综上所述,这个梯形纸板另一底边的长 为３５cm 或１７cm 或３cm． 【例５】　在等腰三角形ABC 中,AB＝５cm, BC＝６cm,则△ABC 的面积为　　　　． 【解】　(１)当５cm 为腰,６cm 为底时,则AB ＝AC＝５cm,如图１．过A 点作AD⊥BC 于 D,所 以 CD ＝３,在 Rt△ACD 中,AD２ ＝ AC２－CD２,所以 AD２＝５２－３２,AD＝４,因 此S△ABC＝ １ ２×６×４＝１２ (cm２)． ３６ 第 二 部 分 　 整 合 提 升 (２)当６cm 为腰,５cm 为底时,则BC＝ AC＝６cm,如图２．过C 点作CD⊥AB 于D, 所以AD＝ ５ ２ ,在 Rt△ACD 中,CD２＝AC２－ AD２,所以CD２＝６２－ ( ５ ２) ２,CD＝ １１９ ２ ,因此 S△ABC＝ １ ２×５× １１９ ２ ＝ ５ ４ １１９ (cm２)． 所以△ABC的面积为１２cm２ 或 ５ ４ １１９cm ２． 故答案为１２cm２ 或 ５ ４ １１９cm ２． 三、专项训练 １．已知x２＋２(m－３)x＋４９是完全平 方式,则m 的值为 (　　) A．１０或－４ B．１０ C．－４ D．３ ２．△ABC 的一个内角大小为 ４０°,且 ∠A＝∠B,那么∠C 的外角的大小是 (　　) A．１４０° B．８０°或１００° C．１００°或１４０° D．８０°或１４０° ３．若一个等腰三角形的三条边长均为 整数且周长为１０,其底边长可以为 (　　) A．２,３,４ B．２,４,６,８ C．２,４ D．４ ４．一组数据－１,０,x,３,５的极差是７, 那么x 可能的值的个数有 (　　) A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ５．若m 为实数,则点P(m－２,m＋２) 不可能在 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ６．已知|a|＝５,b２ ＝３,且ab＞０,则 a＋b的值为 (　　) A．８ B．－２ C．８或－８ D．２或－２ ７．(襄阳中考题)某社区活动中心为鼓 励居民加强体育锻炼,准备购买１０副某种品 牌的羽毛球拍,每副球拍配x(x≥２)个羽毛 球,供社区居民免费借用．该社区附近A,B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球 出售,且每副球拍的标价均为３０元,每个羽 毛球的标价均为３元,目前两家超市同时在 做促销活动: A 超市:所有商品均打九折(按标价的 ９０％)销售; B 超市:买一副羽毛球拍送２个羽毛球． 设在A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的 费用为yA (元),在B 超市购买羽毛球拍和 羽毛球的费用为yB(元)．请解答下列问题: (１)分别写出yA 和yB 与x 之间的关 系式; (２)若该活动中心只在一家超市购买,你 认为在哪家超市购买更划算? (３)若每副球拍配１５个羽毛球,请你帮 助该活动中心设计出最省钱的购买方案． ４６ １４．证明:∵在平行四边形ABCD 中,AD∥BC,AD＝BC,∴∠ACB＝∠CAD．又∵BE ∥DF,∴∠BEC＝∠DFA,∴△BEC≌△DFA,∴AF＝CE． １５．解:设每台冰箱应降价x 元,则(２４００－２０００－x)８＋４× x ５０ æ è ç ö ø ÷ ＝４８００,解得x１＝１００, x２＝２００．要使百姓得到实惠,取x＝２００,即每台冰箱应降价２００元． １６．解:(１)设A 点的坐标为(m,２),代入y１＝x,得m＝２, 所以点A 的坐标为(２,２)． ∴k＝２×２＝４． ∴反比例函数的解析式为y２＝ ４ x． (２)当y１＝y２ 时,x＝ ４ x , 解得x＝±２． ∴点B 的坐标为(－２,－２)． 或者由反比例函数、正比例函数图象的对称性得点B 的坐标为(－２,－２)． 由图象可知,当y１＞y２ 时,自变量x 的取值范围是:－２＜x＜０或x＞２． 第二部分　整合提升 专题一　分类讨论思想 １．A　２．D　３．C　４．B　５．D　６．C ７．解:(１)yA＝２７x＋２７０,yB＝３０x＋２４０． (２)当yA＝yB 时,２７x＋２７０＝３０x＋２４０,解得x＝１０; 当yA＞yB 时,２７x＋２７０＞３０x＋２４０,解得x＜１０; 当yA＜yB 时,２７x＋２７０＜３０x＋２４０,解得x＞１０． ∴当２≤x＜１０时,到B 超市购买划算;当x＝１０时,两家超市都一样;当x＞１０时,到A 超市购买划算． (３)∵x＝１５＞１０, ∴①选择在A 超市购买,yA＝２７×１５＋２７０＝６７５(元); ②可先在B 超市购买１０副羽毛球拍,送２０个羽毛球,然后在A 超市购买剩下的羽毛球 (１０×１５－２０＝１３０个),则共需费用:１０×３０＋１３０×３×０．９＝６５１(元),∵６５１＜６７５,∴最省钱 的购买方案是:先在B 超市购买１０副羽毛球拍,然后在A 超市购买１３０个羽毛球． 专题二　数形结合思想 １． ２ ３　２．B　３．C　４．D　５．A ６．解:(１)方法１:设乙车休息了th,根据题意,得 ２００＋ ４００ ５ 􀅰(t＋２)＝４００,解得t＝０．５．即乙车休息了０．５h． 方法２:(４００－２００)÷ ４００ ５ －２＝０．５ (h),即乙车休息了０．５h． (２)设y乙与x的函数解析式为y乙 ＝kx＋b,把(２．５,２００),(５,４００)代入,得 ２．５k＋b＝２００ ５k＋b＝４００{ , 􀅰３１􀅰