5 第6章 反比例函数-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版）

第 一 部 分 　 夯 实 基 础 第６章　反比例函数 １．反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是 一个不等于零的常数,那么就说这两个变量 成反比例．即xy＝k,或表示为y＝ k x ,其中k 是不等于零的常数． 一般地,形如y＝ k x (k为常数,k≠０)的 函数称为反比例函数,其中x 是自变量,y 是 x 的函数,自变量x 的取值范围是不等于０ 的一切实数． ２．确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定 系数法,由于反比例函数y＝ k x 中,只有一个 待定系数k,因此只需要知道一对x,y 的对 应值或图象上的一个点的坐标,即可求出k 的值,从而确定其解析式． 用待定系数法求反比例函数关系式的一 般步骤是: (１)设所求的反比例函数为:y＝ k x (k≠ ０); (２)把已知条件(自变量与函数的对应 值)代入关系式,得到关于待定系数的方程; (３)解方程求出待定系数k的值; (４)把求得的k 值代回所设的函数关系 式y＝ k x 中． ３．反比例函数的图象和性质 反比例函数的图象是双曲线,它有两个 分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第 二、四象限;反比例函数的图象关于原点对 称,永远不会与x 轴、y 轴相交,只是无限靠 近两坐标轴． (１)当k＞０时,双曲线的两个分支分别 位于第一、三象限,在每个象限内,y 值随x 值的增大而减小; (２)当k＜０时,双曲线的两个分支分别 位于第二、四象限,在每个象限内,y 值随x 值的增大而增大． ４．反比例函数y＝ k x (k≠０)中的比例系 数k的几何意义 过双曲线y＝ k x (k≠０)上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线,所得矩形的面积为|k|． 过双曲线y＝ k x (k≠０)上任意一点作一 坐标轴的垂线,连接该点和原点,所得三角形 的面积为 |k| ２ ． 【例１】　(阜新中考题)反比例函数y＝ m＋１ x 在每个象限内的函数值y 随x 的增大而增 大,则m 的取值范围是 (　　) A．m＜０ B．m＞０ C．m＞－１ D．m＜－１ ４５ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 【考点解剖】　本题考查了反比例函数的增减 性,解题的关键是理解反比例函数的性质． 【解题思路】　反比例函数y 随x 的增大而 增大的图象分别在第二、四象限,这时的比例 系数k＜０,据此可以求出m 的取值范围． 【解答过程】　解:因为反比例函数y＝ m＋１ x 在每个象限内的函数值y 随x 的增大而增 大,所以比例系数 m＋１＜０,m＜－１．故选 择D． 【易错点睛】　此类问题容易出错的地方是与 正比例函数y 随x 的增大而增大混淆． 【方法规律】　当k＞０时,图象分别在第一、 三象限内,在每一象限内,y 随x 的增大而减 小;当k＜０时,图象分别在第二、四象限内, 在每一象限内,y 随x 的增大而增大． 【例２】　(黔东南州中考题)如图,正比例函 数y＝x 与反比例函数y＝ １ x 的图象相交于 A,B 两点,BC⊥x 轴于点C,则△ABC 的面 积为 (　　) A．１ B．２ C． ３ ２ D． ５ ２ 【解题思路】　由于点A,B 是反比例函数和 一次函数图象的交点,则其关于原点对称,可 得S△OBC＝S△OAC,再根据反比例函数比例系 数k的几何意义即可求出． 【解答过程】　解:∵正比例函数y＝x 与反 比例函数y＝ １ x 的图象相交于A,B 两点,∴ 点A 与 点 B 关 于 原 点 对 称,∴S△AOC ＝ S△BOC,∵BC⊥x 轴,∴ △ABC 的 面 积 ＝ ２S△BOC＝２× １ ２×|－１|×|－１|＝１ ,故选 择 A． 【易错点睛】　此类问题容易出错的地方是漏 掉反比例函数的几何意义中S＝ １ ２ k 中 的 １ ２． 【方法规律】　设P(x０,y０)是双曲线y＝ k x (k≠０)上任意一点,则: (１)过P 点作x 轴的垂线,垂足为A,则 S△OAP ＝ １ ２ 􀅰OA 􀅰AP ＝ １ ２ x０ 􀅰y０ ＝ １ ２|k| (如图１); 图１ 　 图２ 　 图３ (２)过P 点作x 轴、y 轴的垂线,垂足分 别 为 A,B,则 S矩形OAPB ＝ OA 􀅰 AP ＝ x０􀅰y０ ＝ k (如图２); (３)设P(x０,y０)关于原点的对称点是P′ (－x０,－y０),过P 作x 轴的垂线与过P′作y 轴的垂线交于A 点．则S△PAP′＝ １ ２ 􀅰P′A􀅰 AP＝ １ ２|２x０ 􀅰２y０|＝２|k|(如图３)． 一、填空题 １．试写出图象位于第二象限与第四象 限的一个反比例函数解析式: 　． ２．一个反比例函数图象过点P ( １ ６ ,１) 和 ５５ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 Q( － １ ６ ,m ) ,那么m＝　　　　． ３．已知y＝ k x 的图象在第二、四象限,则 直线y＝kx－１一定不过第　　　　象限． ４．小华要看一部３００页的小说所需的天 数y 与平均每天看的页数x 成　　　　比 例函数,表达式为　　　　． ５．如图,直线y＝k１x 与双曲线y＝ k２ x 相交于点P,Q．若点P 的坐标为(１,２),则 点Q 的坐标为　　　　． 二、选择题 ６．在下列函数中,反比例函数是 (　　) A．y＝x－１ B．y＝ ８ x２ C．y＝ １ ２x D． y x＝２ ７．已知y 与x 成反比例函数关系,且 x＝２时,y＝３,则该函数的表达式是 (　　) A．y＝６x B．y＝ １ ６x C．y＝ ６ x D．y＝ ６ x－１ ８．反比例函数y＝ １ x 的对称轴有　　　　 条． (　　) A．０ B．１ C．２ D．无数 ９．如果反比例函数y＝ k x 的图象经过点 (－３,－４),那么函数的图象应在 (　　) A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 １０．函数y＝ k x 的图象经过点(４,６),则 下列各点中不在y＝ k x 图象上的是 (　　) A．(３,８) B．(３,－３)　　 C．(－８,－３) D．(－４,－６) １１．如图所示,A 为反比例函数y＝ k x 图 象上一点,AB 垂直于x 轴,垂足为B 点,若 S△AOB＝３,则k的值为 (　　) A．６ B．３ C． ３ ２ D．不能确定 １２．反比例函数y＝ m x 的图象如图所示, 则点(m,m－１)在 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 １３．如图,某个反比例函数的图象经过 点(－１,１),则它的解析式为 (　　) A．y＝ １ x (x＞０) B．y＝－ １ x (x＞０) C．y＝ １ x (x＜０) D．y＝－ １ x (x＜０) １４．已知反比例函数y＝ k x (k＜０)的图 象上有两点A(x１,y１),B(x２,y２),且x１＜ ６５ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 x２,则y１－y２ 的值是 (　　) A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定 １５．某物体对地面的压力为定值,物体 对地面的压强p(Pa)与受力面积S(m２)之 间的函数关系为p＝ １６０ S ,如图所示,那么当 S＞１６m２ 时,p 的变化为 (　　) A．P＞１０ B．定值 C．逐渐变小 D．无法判断 三、解答题 １６．一定质量的二氧化碳,当它的体积 V＝５m３时,它的密度ρ＝１．９８kg/m３．求: (１)ρ与V 的函数关系式; (２)当V＝９m３ 时,二氧化碳的密度ρ 是多少? １．若反比例函数y＝ k x 的图象经过点 (－２,３),则这个反比例函数的表达式为　　 　　　　　． ２．写出一个图象在第一、三象限的反比 例函数的解析式:　　　　　　　　　． ３．已知反比例函数的图象经过点(３,２) 和(m,－２),则m 的值是　　　　． ４．反比例函数y＝ k x 的图象的两个分支 关于　　　　对称． ５．已知y 与x 成反比例,并且当x＝２ 时,y＝－１,则当y＝３时,x的值是　　　　． ６．如果反比例函数y＝ k－３ x 的图象位 于第二、四象限内,那么满足条件的正整数k 的值是　　　　　． ７．下列表达式中,表示y 是x 的反比例 函数的是 (　　) ①xy＝－ １ ３　②y＝３－６x　③y＝ －２ x 　④y＝ ３ x (x 是常数,x≠０) A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①③ ８．(随州中考题)关于反比例函数y＝ ２ x 的图象,下列说法正确的是 (　　) A．图象必经过点(１,１) B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x 轴成轴对称 D．当x＜０时,y 的值随x 的增大而 减小 ９．已知y＝(m＋１)xm－２是反比例函数, 则函数图象在 (　　) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 １０．如图,P 是反比例函数图象在第二 象限上的一点,且矩形PEOF 的面积为８,则 反比例函数的表达式是 (　　) ７５ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 A．y＝－ ４ x B．y＝ ４ x C．y＝ ８ x D．y＝－ ８ x １１．在一个可以改变体积的密闭容器内 装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体 积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ(单 位:kg/m３)是体积V(单位:m３)的反比例函 数,它的图象如图所示,当V＝１０m３时,气体 的密度是 (　　) A．５kg/m３ B．２kg/m３ C．１００kg/m３ D．１kg/m３ １２．(常州中考题)已知反比例函数的图 象经过P(－１,２),则这个函数的图象位于 (　　) A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 １３．已知反比例函数y＝ １－２m x 的图象 上有两点A(x１,y１),B(x２,y２),当x１＜０＜ x２时,有y１＜y２,则m 的取值范围是 (　　) A．m＞０ B．m＞ １ ２ C．m＜０ D．m＜ １ ２ １４．直线y＝－ １ ２x－１ 与反比例函数y ＝ k x (x＜０)的图象交于点A,与x 轴相交于 点B,过点B 作x 轴的垂线交双曲线于点C, 若AB＝AC,则k的值为　 (　　) A．－２ B．－４ C．－６ D．－８ １５．已知函数y＝y１－y２,y１与x 成反 比例,y２与x－２成正比例,且当x＝１时, y ＝－１;当x＝３时,y＝５．求当x＝５时, y 的值． １６．气球内充满了一定质量的气体,当 温度不变时,气球内气体的压强p(千帕)是 气球的体积V(米３)的反比例函数,其图象如 图所示．(千帕是一种压强单位) (１)写出这个函数的解析式; (２)当气球的体积为０．８立方米时,气球 内的气压是多少千帕? ８５ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 (３)当气球内的气压大于１４４千帕时,气 球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小 于多少立方米? １．(巴彦淖尔中考题) 如图,正比例函数的图象 与反比例函数的图象交于 点A(３,１),点 M(m,n)是 反比例函数图象上的一动点,其中０＜m＜ ３,过点 M 作直线MB∥x 轴,交y 轴于点 B;过点A 作直线AC∥y 轴交x 轴于点C, 交直 线 MB 于 点 D．连 接 OM,当 四 边 形 OADM 的 面 积 为 ９ 时,线 段 DM 的 长 为 　　　　． ２．(呼和浩特中考题)已知函数y＝ １ x 的图象在第一象限的一支曲线上有一点A (a,c),点B(b,c＋１)在该函数图象的另外 一支上,则关于一元二次方程ax２＋bx＋c＝ ０的两根x１,x２ 判断正确的是 (　　) A．x１＋x２＞１,x１􀅰x２＞０ B．x１＋x２＜０,x１􀅰x２＞０ C．０＜x１＋x２＜１,x１􀅰x２＞０　 D．x１＋x２ 与x１􀅰x２的符号都不确定 ３．(聊城中考题)如图,一次函数y１＝k１x ＋b的图象和反比例函数y２＝ k２ x 的图象交于 A(１,２),B(－２,－１)两点,若y１＜y２,则x 的取值范围是 (　　) A．x＜１ B．x＜－２ C．－２＜x＜０或x＞１ D．x＜－２或０＜x＜１ ４．(巴中中考题)如图,在平面直角坐标 系xOy 中,已知四边形DOBC 是矩形,且D (０,４),B(６,０),若反比例函数y＝ k１ x (x＞０) 的图象经过线段OC 的中点A,交DC 于点 E,交 BC 于点F,设直线 EF 的解析式为 y＝k２x＋b． (１)求反比例函数和直线EF 的解析式; (２)求△OEF 的面积; (３)请结合图象直接写出不等式k２x＋b － k１ x＞０ 的解集． ９５ [中考热身] １．４　２．C　３．A ４．(１)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠ADB＝∠CBD． ∵OB＝OD,∠DOE＝∠BOF, ∴△DOE≌△BOF． (２)解:当∠DOE＝９０°时,四边形BFDE 为菱形． ∵△DOE≌△BOF, ∴OE＝OF． ∵OB＝OD, ∴四边形BFDE 为平行四边形． ∵∠DOE＝９０°, ∴EF⊥BD, ∴▱BFDE 为菱形． ５．(１)证明:在正方形ABCD 中,∵BC＝DC,∠B＝∠CDF,又∵BE＝DF, ∴△CBE≌△CDF(SAS),∴CE＝CF． (２)解:GE＝BE＋GD 成立． 理由是:由(１)得:△CBE≌△CDF,∴∠BCE＝∠DCF, ∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD,即∠BCD＝∠ECF＝９０°． 又∵∠GCE＝４５°,∴∠GCF＝∠GCE＝４５°． ∵CE＝CF,∠GCE＝∠GCF,GC＝GC,∴△ECG≌△FCG(SAS), ∴GE＝GF,∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD． 第６章　反比例函数 [基础过关] 一、１．y＝－ ２ x (答案不唯一)　２．－１　３．一　４．反　y＝ ３００ x 　５． (－１,－２) 二、６．C　７．C　８．C　９．A　１０．B　１１．A　１２．C　１３．D　１４．D　１５．C 三、１６．(１)ρ＝ ９．９ V 　 (２)ρ＝１．１kg/m３ [综合提升] １．y＝－ ６ x　２． 答案不唯一,如:y＝ ２ x ,y＝ ６ x　３．－３　４． 原点　５．－ ２ ３　６．１ ,２　７．D 　８．D　９．A　１０．D　１１．D　１２．D　１３．D　１４．B １５．解:根据正比例函数和反比例函数的定义,先设出解析式,然后根据给出的两组值求 出参数,最后求当x＝５时,y 的值． 设y１＝ k１ x ,y２＝k２(x－２),则y＝ k１ x－k２ (x－２)． 根据题意,有 k１＋k２＝－１ k１ ３－k２＝５ ì î í ïï ï ,解得 k１＝３ k２＝－４{ ,∴y＝ ３ x＋４x－８． 􀅰１１􀅰 当x＝５时,y＝ ３ ５＋２０－８＝１２ ３ ５． １６．解:(１)由题意,得pV＝１．５×６４＝９６,∴p＝ ９６ V ; (２)当V＝０．８立方米时,p＝ ９６ ０．８＝１２０ (千帕); (３)∵当气球内的气压大于１４４千帕时,气球将爆炸,∴p≤１４４,∴ ９６ V ≤１４４ ,V≥ ９６ １４４ ＝ ２ ３ (立方米)． [中考热身] １． ９ ４　２．C　３．D ４．解:(１)∵ D(０,４),B(６,０),∴C(６,４)． ∵点A 为线段OC 的中点,∴A(３,２)． 把A(３,２)代入y＝ k１ x ,得k１＝６,∴y＝ ６ x． ∴E ( ３２,４) ,F(６,１)． 把E ( ３２,４) ,F(６,１)代入直线EF 的解析式y＝k２x＋b, 得 ３ ２k２＋b＝４ ６k２＋b＝１ ì î í ïï ï ,解得 k２＝－ ２ ３ b＝５ ì î í ïï ï , ∴y＝－ ２ ３x＋５． (２)∵点E,F 都在反比例函数图象上, ∴S△OED＝S△OBF＝ １ ２×|６|＝３． ∵E ( ３２,４) ,F(６,１),C(６,４), ∴CF＝３,EC＝ ９ ２． ∴S△OEF＝S矩形OBCD－S△ODE－S△OBF－S△CEF＝６×４－３－３－ １ ２× ９ ２×３＝ ４５ ４． (３) ３ ２＜x＜６ 六、八年级下册过关检测 一、１．２　２．－１＜y＜０　３． ３ ８　４．２０１１　５．２ １３ 或６２ 二、６．A　７．C　８．A　９．B　１０．C　１１．A 三、１２．(１)２３　(２)２－ ２ ２　１３． (１)x１＝０,x２＝４　(２)x１＝ ３ ２ ,x２＝－ １ ２ 􀅰２１􀅰