5 第5章 特珠平行四边形-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版）

[中考热身] １．１５．６　２．D　３．C ４．解:(１)极差＝７３－３０＝４３,众数:５０ (２)５÷７≈０．７１ (３)从(１)(２)和条形图可看出从周一到周五的空气质量好,周六和周日的空气质量差．(答 案不唯一,合理即可) 第４章　平行四边形 [基础过关] 一、１．６８　２．３　３．答案不唯一,如AD＝BC 或AB∥DC　４． ４ ３　５．３ 二、６．D　７．B　８．A　９．C 三、１０．证明:(１)在△ABE 与△AFE 中, ∠B＝∠AFE,∠AEB＝∠AEF,AE＝AE, ∴△ABE≌△AFE(AAS); (２)平行四边形ABCD 中,∵AD∥BC,∴∠ADF＝∠DEC． ∵AB∥CD,∴∠C＝１８０°－∠B． 又∠AFD＝１８０°－∠AFE,∠B＝∠AFE,∴∠AFD＝∠C． 在△ADF 与△DEC 中,由三角形内角和定理,得: ∠FAD＝１８０°－∠ADF－∠AFD,∠CDE＝１８０°－∠DEC－∠C, ∴∠FAD＝∠CDE． [综合提升] １．C　２．B　３．C　４．A ５．证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB＝CD,∠A＝∠C． 又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF, ∴BE＝DF． [中考热身] １．２８　２．C　３．C　４．C　５．D　 ６．证明:(１)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB ＝CD,AB ∥CD,∴ ∠ABD ＝ ∠CDB,∵∠１＝∠２,∴∠AEB＝∠CFD．∴△ABE≌△CDF,∴BE＝DF． (２)由(１)得,△ABE≌△CDF,∴AE＝CF,∵∠１＝∠２,EF＝FE,∴△AFE≌△CEF, ∴∠AFE＝∠CEF,∴AF∥CE． 第５章　特殊平行四边形 [基础过关] 一、１．１２０　１８　２．５　３．１０　４．１６３　５． １ ４n－１ 二、６．C　７．A　８．C　９．B 三、１０．证明:(１)∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B＝∠D＝９０°,BC＝DA,AB＝CD,又E,F 􀅰９􀅰 分别是边AB,CD 的中点,∴BE＝ １ ２AB ,DF＝ １ ２CD．∴BE＝DF ,∴△BEC≌△DFA(SAS); (２)∵四边形ABCD 是矩形,∴AE∥CF,AB＝CD,又E,F 分别是边AB,CD 的中点, ∴AE＝ １ ２AB ,CF＝ １ ２CD．∴AE＝CF．∴ 四边形AECF 是平行四边形． １１．证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AD＝BA,∠BAD＝９０°．∵DE⊥AG,∴∠DEG ＝∠AED＝９０°,∴∠ADE＋∠DAE＝９０°．又∵∠BAF＋∠DAE＝∠BAD＝９０°,∴∠ADE ＝ ∠BAF．∵BF ∥DE,∴ ∠AFB ＝ ∠DEG ＝ ∠DEA ＝９０°．在 △ABF 与 △DAE 中, ∠AFB＝∠DEA ∠BAF＝∠ADE BA＝AD ì î í ïï ïï ,∴△ABF≌△DAE．∴BF＝AE．∵AF＝AE＋EF,∴AF＝BF＋EF． １２．(１)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴CD＝CB． ∵AC 是正方形的对角线,∴∠DCA＝∠BCA． 又CE＝CE,∴△BEC≌△DEC． (２)解:∵∠DEB＝１４０°, 由△BEC≌△DEC 可得∠DEC＝∠BEC＝７０°, ∴∠AEF＝∠BEC＝７０°． 又∵AC 是正方形的对角线,∠DAB＝９０°,∴∠DAC＝∠BAC＝４５°． 在△AEF 中,∠AFE＝１８０°－７０°－４５°＝６５°． １３．证明:(１)根据作图步骤①和②可知PQ 是AC 的垂直平分线． ∵PQ 是AC 的垂直平分线, ∴CD＝AD,ED⊥AC． ∵CF∥AB, ∴ ∠DCF＝∠DAE． ∵ ∠DCF＝∠DAE,CD＝AD,∠CDF＝∠ADE, ∴ △AED≌△CFD． (２)∵ △AED≌△CFD, ∴FD＝ED,AD＝CD． ∴四边形AECF 为平行四边形． 又∵PQ 是AC 的垂直平分线, ∴ 四边形AECF 是菱形． [综合提升] １．答案不唯一,如AC＝BD　２．C　３．A　４．C ５．证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴OD＝OB,∠COD＝９０°． ∵DH⊥AB 于H,∴∠DHB＝９０°,∴OH＝OD＝OB,∴∠OHB＝∠OBH． 又∵AB∥CD,∴∠OBH＝∠ODC,∴∠OHB＝∠ODC． 在Rt△COD 中,∠ODC＋∠OCD＝９０°, 在Rt△DHB 中,∠DHO＋∠OHB＝９０°, ∴∠DHO＝∠DCO． ６．证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA＝OC．又∵AF＝CE,∴AF－OA＝CE－ OC,即OF＝OE．同理OG＝OH．∴四边形EGFH 是平行四边形．∴GF∥HE． 􀅰０１􀅰 [中考热身] １．４　２．C　３．A ４．(１)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠ADB＝∠CBD． ∵OB＝OD,∠DOE＝∠BOF, ∴△DOE≌△BOF． (２)解:当∠DOE＝９０°时,四边形BFDE 为菱形． ∵△DOE≌△BOF, ∴OE＝OF． ∵OB＝OD, ∴四边形BFDE 为平行四边形． ∵∠DOE＝９０°, ∴EF⊥BD, ∴▱BFDE 为菱形． ５．(１)证明:在正方形ABCD 中,∵BC＝DC,∠B＝∠CDF,又∵BE＝DF, ∴△CBE≌△CDF(SAS),∴CE＝CF． (２)解:GE＝BE＋GD 成立． 理由是:由(１)得:△CBE≌△CDF,∴∠BCE＝∠DCF, ∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD,即∠BCD＝∠ECF＝９０°． 又∵∠GCE＝４５°,∴∠GCF＝∠GCE＝４５°． ∵CE＝CF,∠GCE＝∠GCF,GC＝GC,∴△ECG≌△FCG(SAS), ∴GE＝GF,∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD． 第６章　反比例函数 [基础过关] 一、１．y＝－ ２ x (答案不唯一)　２．－１　３．一　４．反　y＝ ３００ x 　５． (－１,－２) 二、６．C　７．C　８．C　９．A　１０．B　１１．A　１２．C　１３．D　１４．D　１５．C 三、１６．(１)ρ＝ ９．９ V 　 (２)ρ＝１．１kg/m３ [综合提升] １．y＝－ ６ x　２． 答案不唯一,如:y＝ ２ x ,y＝ ６ x　３．－３　４． 原点　５．－ ２ ３　６．１ ,２　７．D 　８．D　９．A　１０．D　１１．D　１２．D　１３．D　１４．B １５．解:根据正比例函数和反比例函数的定义,先设出解析式,然后根据给出的两组值求 出参数,最后求当x＝５时,y 的值． 设y１＝ k１ x ,y２＝k２(x－２),则y＝ k１ x－k２ (x－２)． 根据题意,有 k１＋k２＝－１ k１ ３－k２＝５ ì î í ïï ï ,解得 k１＝３ k２＝－４{ ,∴y＝ ３ x＋４x－８． 􀅰１１􀅰 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 第５章　特殊平行四边形 １．矩形 (１)定义:有一个角是直角的平行四边形 叫做矩形． (２)性质:定理 １．矩形的四个角都是 直角． 定理２．矩形的对角线相等． (３)判定:定理１．有三个角是直角的四 边形是矩形． 定理 ２．对角线相等的平行四边形是 矩形． ２．菱形 (１)定义:一组邻边相等的平行四边形叫 做菱形． (２)性质:定理１．菱形的四条边都相等． 定理２．菱形的对角线互相垂直,并且每 条对角线平分一组对角． (３)判定:定理１．四条边相等的四边形 是菱形． 定理２．对角线互相垂直的平行四边形 是菱形． ３．正方形 (１)定义:一组邻边相等,并且有一个角 是直角的平行四边形叫做正方形． (２)性质:正方形的四个角都是直角,四 条边都相等． 正方形的对角线相等,并且互相垂直平 分,每条对角线平分一组对角． (３)判定:有一个角是直角的菱形是正 方形． 有一组邻边相等的矩形是正方形． 【例１】　(牡丹江中考题)如图,矩形ABCD 中,O 为AC 的中点,过点O 的直线分别与 AB,CD 交于点E,F,连接BF 交AC 于点 M,连接DE,BO．若∠COB＝６０°,FO＝FC, 则 下 列 结 论:①FB ⊥OC,OM ＝CM;② △EOB≌△CMB;③四边形EBFD 是菱形; ④MB∶OE＝３∶２．其中正确结论的个数是 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 【解题思路】　根据矩形的性质易得 OB＝ OC＝OA,结合∠COB＝６０°,得出△OBC 是 等边 三 角 形,∴ ∠BAO ＝３０°,∠FCO ＝ ∠BAO＝３０°,∵FC＝FO,易 得 ∠FOC＝ ∠FCO ＝３０°,∴ ∠FOB ＝９０°,然 后 利 用 “HL”可得△FOB≌△FCB,得出∠FBO＝ ∠FBC,即BM 是等边三角形OBC 的角平 分线,结 合 等 边 三 角 形 的 性 质 可 得 FB⊥ OC,OM＝CM;∵O 是AC 的中点,结合矩 形的性质可得△AOE 和△COF 全等,∴AE ＝CF,∴BE＝DF,再结合矩形的性质可得 四边形EBFD 是平行四边形,结合△OBC 是等边三角形,容易证明△EOB≌△FOB, 得出邻边BF＝BE,从而得出四边形EBFD 是菱形;设OE＝x,则OF＝x,∵∠FOM＝ ∠OBF＝３０°,∴BF＝２x,MF＝ １ ２x ,∴BM ８４ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 ＝２x－ １ ２x＝ ３ ２x ,从而求出 MB∶OE 的值． 【解答过程】　解:∵四边形 ABCD 是矩形, 且 O 是 AC 的 中 点,∴OB ＝OC ＝OA, ∵∠COB＝６０°,∴ △OBC 是 等 边 三 角 形, ∴∠BAO ＝３０°,∠FCO ＝ ∠BAO ＝３０°, ∵FC ＝FO,∴ ∠FOC ＝ ∠FCO ＝３０°, ∴∠FOB＝９０°,在 Rt△FOB 和 Rt△FCB 中, FB＝FB FO＝FC{ , ∴△FOB≌△FCB, ∴ ∠FBO＝ ∠FBC,即 BM 是 等 边 三 角 形 OBC 的角平分线,∴FB⊥OC,OM＝CM;∵ O 是 AC 的 中 点,CF ∥AE,∴ ∠FCO ＝ ∠EAO, 在 △AOE 和 △COF 中, ∠FCO＝∠EAO OC＝OA ∠FOC＝∠EOA ì î í ï ï ï ï ,∴ △AOE ≌ △COF,∴ AE＝CF,∴BE＝DF,又EB∥FD,∴四边 形 EBFD 是 平 行 四 边 形,∵ ∠FBO ＝ ∠EBO,BO ＝BO,∠FOB ＝ ∠EOB,∴ △EOB≌ △FOB,∴BF ＝BE,∴ 四 边 形 EBFD 是 菱 形;设 OE＝x,则 OF＝x,∵ ∠FOM＝∠OBF＝３０°,∴BF＝２x,MF＝ １ ２x ,∴BM＝２x－ １ ２x＝ ３ ２x ,∴MB∶OE＝ ３ ２x∶x＝３∶２．∴①③④ 正确,故选择C． 【易错点睛】　此类问题容易出错的地方是没 有正确运用“在直角三角形中３０°角所对的直 角边等于斜边的一半”,或者对三角形全等的 条件的书写不正确． 【归纳拓展】　根据三角形全等的条件来选择 判定三 角 形 全 等 的 方 法,常 用 的 证 明 思 路 如下: 已知条件 寻找的条件 选择的 判定方法 两角 夹边或一角对边 ASA 或 AAS 一角及其对边 任一角 AAS 一角及其邻边 角的另一边或边 的另一邻角或边 的对角 SAS 或 ASA 或AAS 两边 夹角或另一边或 直角 SAS 或 SSS 或HL 【方法规律】　①证明线段相等一般通过三角 形全等来证明．②矩形对角线的夹角为６０°是 常见的考点,此时常常转化为等边三角形．③ 利用等边三角形三线合一定理证明垂直平分 线．④菱形是特殊的平行四边形,因而在判定 一个四边形是菱形时,先判定这个四边形是 平行四边形,然后再在平行四边形的基础上 增加条件(边或角)判定是菱形,菱形的判定 注意选择不同的方法:对角线互相垂直的平 行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形． 【例２】　(遂宁中考题)已知,如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O,E 是CD 中点,连接OE,过点C 作CF∥BD 交 线段OE 的延长线于点F,连接DF． 求证:(１)△ODE≌△FCE; (２)四边形ODFC 是菱形． 【解题思路】　(１)根据两直线平行,内错角相 等可得∠EDO＝∠ECF,∠EOD＝∠EFC, 根据线段中点的定义可得CE＝DE,然后利 用“角角边”证明△ODE 和△FCE 全等;(２) 根据全等三角形对应边相等可得OD＝FC, 再根据一组对边平行且相等的四边形是平行 ９４ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 四边形判断出四边形ODFC 是平行四边形, 根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC ＝OD,然后根据邻边相等的平行四边形是 菱形证明即可． 【解答过程】　证明:(１)∵CF∥BD, ∴∠EDO＝∠ECF,∠EOD＝∠EFC． 又∵E 是CD 中点, ∴CE＝DE, ∴△EDO≌△ECF． (２)∵△EDO≌△ECF, ∴OD＝FC． 又∵OD∥FC, ∴四边形ODFC 是平行四边形． 又∵四边形ABCD 是矩形, ∴OC＝OD, ∴四边形ODFC 是菱形． 【易错点睛】　此类问题容易出错的地方是矩 形的性质和有关知识运用不熟练,导致思路 受阻,从而找不到解题的途径和方法． 【方法规律】　(１)证明两个三角形全等一般 有四种方法:SAS,ASA,AAS,SSS,要结合 图形,寻找条件,灵活选择判定方法;(２)判定 菱形的方法有:一组邻边相等的平行四边形 是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱 形,四条边相等的四边形是菱形． 一、填空题 １．如图,矩形 ABCD 的对角线交于点 O,AE⊥BD,垂足为 E,∠１＝ ∠２,OE ＝ ３cm,则∠BOC＝　　　　度,△DOC 的周 长为　　　　cm． ２．在矩形ABCD 中,对角线AC,BD 相 交于点O,若∠AOB＝６０°,AC＝１０,则 AB ＝　　　　． ３．如图,正方形纸片ABCD 的BC 边上 有一点E,AE＝１０cm．若把纸片沿AE 的中 垂线折叠,使点E 与点A 重合,则纸片的折 痕长为　　　cm． ４．如图,已知平行四边形ABCD 的对角 线AC,BD 交于点O,△AOB 为等边三角 形,AB＝４cm,则这个平行四边形的面积为 　　　　cm２． ５．如图,依次连接第一个矩形各边的中 点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中 点得到第二个矩形,按照此方法继续下去．已 知第一个矩形的面积为１,则第n 个矩形的 面积为　　　　． 二、选择题 ６．如果一个平行四边形要成为一个正 方形,需要增加的条件是 (　　) A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线相等 ７．(枣庄中考题)如图,菱形ABCD 的边 长为４,过点A,C 作对角线AC 的垂线,分别 交CB 和AD 的延长线于点E,F,AE＝３,则 四边形AECF 的周长为 (　　) ０５ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 A．２２　 B．１８ C．１４　 D．１１ ８．如图,在菱形 ABCD 中,∠B＝６０°, AB＝４,则以AC 为边长的正方形ACEF 的 周长为 (　　) A．１４ B．１５ C．１６ D．１７ ９．如图,边长为６的大正方形中有两个 小正方形,若两个小正方形的面积分别为 S１,S２,则S１＋S２ 的值为 (　　) A．１６ B．１７ C．１８ D．１９ 三、解答题 １０．如图,在矩形ABCD 中,E,F 分别 是边AB,CD 的中点,连接AF,CE．求证: (１)△BEC≌△DFA; (２)四边形AECF 是平行四边形． １１．如图,四边形ABCD 是正方形,点G 是BC 上的任意一点,DE⊥AG 于点E,BF ∥DE,交AG 于点F．求证:AF＝BF＋EF． １２．如图,在正方形ABCD 中,E 为对角 线AC 上一点,连接EB,ED． (１)求证:△BEC≌△DEC; (２)延长BE 交AD 于点F,若∠DEB＝ １４０°,求∠AFE 的度数． １３．如 图,已 知 △ABC,按 如 下 步 骤 作图: ①分别以A,C 为圆心,大于 １ ２AC 的长 为半径画弧,两弧交于P,Q 两点; ②作直线PQ,分别交AB,AC 于点E, D,连接CE; ③过C 作CF∥AB 交PQ 于点F,连接 １５ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 AF．求证: (１)△AED≌△CFD; (２)四边形AECF 是菱形． １．在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 互相平分,交点为O,在不添加任何辅助 线的前提下,要使四边形ABCD 成为矩形, 还需添加一个条件,这个条件可以是　　　 　　　　． ２．如图,要使▱ABCD 成为矩形,需添 加的条件是　 (　　) A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝９０° D．∠１＝∠２ ３．如图,在四边形ABCD 中,E,F,G, H 分别是AB,BD,CD,AC 的中点,要使四 边形EFGH 是菱形,则四边形ABCD 只需 要满足一个条件是 (　　) A．AD＝BC B．AC＝BD C．AB＝CD D．AD＝CD ４．如图,点E 在正方形ABCD 内,满足 ∠AEB＝９０°,AE＝６,BE＝８,则阴影部分 的面积是 (　　) A．４８ B．６０ C．７６ D．８０ ５．如图,四边形ABCD 是菱形,对角线 AC,BD 相交于点O,DH ⊥AB 于 H,连 接OH． 求证:∠DHO＝∠DCO． ６．如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点O,E,F 在AC 上,G,H 在 BD 上,AF＝CE,BH＝DG． 求证:GF∥HE． ２５ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 １．(漳州中考题)如图,在菱形ABCD 中, ∠A＝６０°,E,F 分别是AB,AD 的中点,若 EF＝２,则菱形ABCD 的边长是　　　　． ２．(黄石中考题)如图,一个矩形纸片, 剪去部分后得到一个三角形,则图中∠１＋ ∠２的度数是 (　　) A．３０° B．６０° C．９０° D．１２０° ３．(邵 阳 中 考 题)如 图,点 E 是 矩 形 ABCD 的边AD 延长线上的一点,且AD＝ DE,连接BE 交CD 于点O,连接AO,下列 结论不正确的是 (　　) A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC ４．(嘉兴中考题)已知:如图,在▱ABCD 中,O 为对角线BD 的中点,过点O 的直线 EF 分 别 交 AD,BC 于 E,F 两 点,连 接 BE,DF． (１)求证:△DOE≌△BOF; (２)当 ∠DOE 等于多少度时,四边形 BFDE 为菱形? 请说明理由． ５．(梅州中考题)如图,在正方形ABCD 中,E 是AB 上一点,F 是AD 延长线上一 点,且DF＝BE． (１)求证:CE＝CF; (２)若点G 在AD 上,且∠GCE＝４５°, 则GE＝BE＋GD 成立吗? 为什么? ３５