3 第3章 一元一次不等式-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版）

第 一 部 分 　 夯 实 基 础 第３章　一元一次不等式 １．不等式 用符号“＜”(或“≤”)“＞”(或“≥”)“≠” 连接而成的数学式子,叫做不等式． ２．不等式的基本性质 (１)若a＜b,b＜c,则a＜c; (２)不等式的两边都加上(或减去)同一 个数,所得的不等式仍成立; (３)不等式的两边都乘(或除以)同一个 正数,所得的不等式仍成立;不等式的两边都 乘(或除以)同一个负数,必须把不等号的方 向改变,所得的不等式成立． ３．一元一次不等式 不等号的两边都是整式,而且只含有一 个未知数,未知数的最高次数是一次,这样的 不等式叫做一元一次不等式． ４．不等式的解(集) 能使不等式成立的未知数的值的全体叫 做不等式的解集,简称为不等式的解． ５．解一元一次不等式的步骤 (１)去分母;(２)去括号;(３)移项;(４)合 并同类项,得ax＞b或ax＜b(a≠０);(５)两 边同除以a 或乘１a æ è ç ö ø ÷． ６．一元一次不等式组 一般地,由几个含有同一未知数的一元 一次不等式所组成的一组不等式,叫做一元 一次不等式组． ７．不等式组的解 组成不等式组的各个不等式的解的公共 部分就是不等式组的解．当它们没有公共部 分时,我们称这个不等式组无解． ８．用不等式(组)解决实际问题 关键:找出不等量关系,列出不等式． 【例１】　(德州中考题)不等式组 １ ３x＋１＞０ ２－x≥０ ì î í ï ï ï ï 的 解集在数轴上可表示为 (　　) A 　 B C 　 D 【解题思路】　先分别求出两个不等式的解 集,然后在数轴上表示出来即可． 【解答过程】　 解: １ ３x＋１＞０① ２－x≥０② ì î í ï ï ï ï ,由 ① 得 x＞－３,由②得x≤２ ,把x＞－３,x≤２在 数轴上表示为如下: ,故选择 D． 【易错点睛】　此类问题容易出错的地方:一 是在表示解集时没有注意到“≥”“≤”要用实 心圆点表示;“＜”“＞”要用空心圆点表示,而 导致错选B．二是移项时没有变号． 【方法规律】　取不等式组的解集时要按照: 同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大 小小找不到的原则． 【例２】　(滨州中考题)a,b都是实数,且a＜ b,则下列不等式的变形正确的是 (　　) A．a＋x＞b＋x ４１ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 B．－a＋１＜－b＋１ C．３a＜３b D． a ２＞ b ２ 【解题思路】　根据不等式的三条基本性质, 把所给选项逐个分析． 【解答过程】　解:a＜b→a＋x＞b＋x,不等 式两边同时加上x,不等号的方向应该不变, 所以 A选项不正确;a＜b→－a＋１＜－b＋ １,不等式两边先乘一个(－１),然后加１,所 以不等号的方向要改变,故 B选项不正确; a＜b→３a＜３b,不等式两边同时乘３,所以不 等号的 方 向 不 变,故 选 项 C 正 确;a＜b→ a ２＞ b ２ ,不等式的两边同时除以一个正数２, 所以不等号的方向应该不变,故 D选项不正 确．故选择C． 【易错点睛】　此类问题容易出错的地方是不 等式的三条基本性质混淆,以为除以一个数 (不为０)不等号的方向就改变,错选D． 【归纳拓展】　如果a＞b,b＞c,那么a＞c; 如果a＞b,那么a＋c＞b＋c;如果a＞b,c＞ ０,那么ac＞bc, a c＞ b c ;如果a＞b,c＜０,那 么ac＜bc, a c＜ b c． 【例３】　(益阳中考题)某电器超市销售每台 进价分别为２００元、１７０元的A,B 两种型号 的电风扇,下表是近两周的销售情况: 销售时段 销售数量 A 种型号 B 种型号 销售收入 第一周 ３台 ５台 １８００元 第二周 ４台 １０台 ３１００元 　　(进价、售价均保持不变,利润＝销售收 入－进货成本) (１)求A,B 两种型号的电风扇的销售 单价; (２)若超市准备用不多于５４００元的金额 再采购这两种型号的电风扇共３０台,求A 种 型号的电风扇最多能采购多少台? (３)在(２)的条件下,超市销售完这３０台 电风扇能否实现利润为１４００元的目标? 若 能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明 理由． 【解题思路】　(１)由销售收入＝销售单价× 销售数量,结合表格可得方程组,问题(１)可 解;(２)设出A 种型号的电风扇最多能采购 的台数,用含有未知数的式子表示出该情形 下B 种型号可采购的台数,根据所给的采购 金额可得不等式,解出不等式,找出可采购的 最大值;(３)根据利润＝销售收入－进货成 本,计算出１４００元利润时,两种型号的电风 扇各需要卖出多少台,再判断是否与(２)中的 采购方式符合,最后得出结论． 【解答过程】　解:(１)设A,B 两种型号电风 扇的销售单价分别为x 元、y 元．由题意,得 ３x＋５y＝１８００ ４x＋１０y＝３１００{ ,解得 x＝２５０ y＝２１０{ ． 答:A,B 两种型号电风扇的销售单价分 别为２５０元、２１０元． (２)设采购 A 种型号电风扇a 台,则采 购B 种型号电风扇(３０－a)台．由题意,得 ２００a＋１７０(３０－a)≤５４００,解 得: a≤１０． 答:超市最多能采购A 种型号电风扇１０ 台时,采购金额不多于５４００元． (３)依 题 意 有:(２５０－２００)a＋(２１０－ １７０)(３０－a)＝１４００,解 得 a＝２０．此 时, a＞１０． 所以在(２)的条件下超市不能实现利润 ５１ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 为１４００元的目标． 【易错点睛】　此类问题容易出错的地方是不 能从表格中抽象出其中隐含的等量关系和实 际问题的数量关系,建立不了方程(组)或不 等式(组)． 【思维模式】　对于实际问题的解决,主要是 正确分析题意,找出满足条件的等量关系,然 后根据等量关系列出方程或方程组,解不等式 组的应用题,要注意题目中的表示不等关系的 词语,如“不大于”“不小于”“不超过”“不低于” 等．解决实际问题的时候还要注意实际意义． 一、填空题 １．不等式３＋２x≤－１的解集是　　　 　　　　． ２．关于x 的某个不等式组的解集在数 轴上可表示为: ,则原 不等式组的解集是　　　　　　　． ３．不等式组 x－１＞０ ２x＋３＞x{ 的解集是　　　 　　　　． ４．(巴彦淖尔中考题)当x　　　　时, 分式 ２x－１ x２＋１ 的值为负． ５．方程组 x＋y＝１ x－y＝２a{ 的解满足x＞０, y＜０,则a 的取值范围是　　　　． ６．现定义一种新的运算:a∗b＝a２－ ２b,例如 ３∗４＝３２ －２×４＝１,则 不 等 式 (－１)∗x≥０的解集为　　　　． ７．某班组织２０名同学去春游,同时租用 两种型号的车辆,一种车每辆有８个座位,另 一种车每辆有４个座位,要求租用的车辆不留 空座,也不能超载．有　　　　种租车方案． ８．把一些书分给几名同学,如果每人分 ４本,那么余９本;如果前面的每名同学分 ６本,那么最后一人就分得不超过２本,则这 些书有　　　　本． 二、选择题 ９．如果ab＜０,那么下列判断正确的是 (　　) A．a＜０,b＜０ B．a＞０,b＞０ C．a≥０,b≤０ D．a＜０,b＞０或a＞０,b＜０ １０．不等式组 ３x－１＞２ ４－２x≥０{ 的解集在数轴 上表示为 (　　) １１．在满足不等式７－２(x＋１)＞０的x 的取值中,x 可取的最大整数为 (　　) A．４ B．３ C．２ D．无法确定 １２．下列说法正确的是 (　　) A．x＝３是不等式２x＞５的一个解 B．x＝３是不等式２x＞５的解集 C．不等式２x＞５的解集是x＞３ D．不等式２x＞５的解集是x＜３ １３．不等式 １＋２x ５ ≥１ 的解集在数轴上 表示正确的是 (　　) ６１ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 １４．设“▲”“●”“■”分别表示三种不同 的物体,现用天平称两次,情况如图所示,那 么▲,●,■这三种物体按质量从大到小的顺 序排列应为 (　　) A．■,●,▲ B．▲,■,● C．■,▲,● D．●,▲,■ 三、解答题 １５．解不等式(组)． (１)２x－５＞４x (２) ３x＋１＞５(x－１) ４ ３x－６≥ ６－５x ３ ì î í ï ï ï ï １６．解不等式组 x－２＜０ x＋５≤３x＋７{ ,并写出 它的整数解． １．方程|４x－８|＋ x－y－m ＝０,当 y＞０时,m 的取值范围是 (　　) A．０＜m＜１ B．m≥２ C．m＜２ D．m≤２ ２．(滨州中考题)王芳同学到文具店买 中性笔和笔记本,中性笔每支０．８元,笔记本 每本１．２元,王芳带了１０元钱,则可供她选 择的购买方案的个数为(两样都买,余下的钱 少于０．８元) (　　) A．６ B．７ C．８ D．９ ３．关于x 的方程５x－２m＝－４－x 的 解在２和１０之间,则m 的取值范围是 (　　) A．m＞８ B．m＜３２ C．８＜m＜３２ D．m＜８或m＞３２ ４．(岳阳中考题)不等式组 x＞１ x＞２{ 的解 集是　 (　　) A．x＞２ B．x＞１ C．１＜x＜２ D．无解 ５．某饮料厂以３００千克的A 种果汁和 ２４０千克的B 种果汁为原料,配制生产甲、乙 两种新型饮料,已知每千克甲种饮料含０．６ 千克A 种果汁,含０．３千克B 种果汁;每千 克乙种饮料含０．２千克A 种果汁,含０．４千 克B 种果汁．饮料厂计划生产甲、乙两种新 型饮料共６５０千克,设该厂生产甲种饮料 x(千克)． (１)列出满足题意的关于x 的不等式 组,并求出x 的取值范围; (２)已知该饮料厂的甲种饮料销售价是 ７１ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 每千克３元,乙种饮料销售价是每千克４元, 那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千 克,才能使得这批饮料销售总金额最大? １．(安顺中考题)若不等式组 ５－３x≥０ x－m≥０{ 有 实数解,则实数m 的取值范围是 (　　) A．m≤ ５ ３ B．m＜ ５ ３ C．m＞ ５ ３ D．m≥ ５ ３ ２．(钦州中考题)不等式组 ３x≥９ x＜５{ 的整 数解共有 (　　) A．１个 B．２个 C．３个　 D．４个 ３．(来宾中考题)不等式组 x＋３＞０ ４－x≥０{ 的 解集在数轴上表示正确的是 (　　) A． B． C． D． ４．(潍 坊 中 考 题 )若 不 等 式 组 x＋a≥０ １－２x＞x－２{ 无解,则实数a 的取值范围是 (　　) A．a≥－１　 B．a＜－１ C．a≤１ D．a≤－１ ５．(福州中考题)现有A,B 两种商品, 买２件A 商品和１件B 商品用了９０元,买 ３件A 商品和２件B 商品用了１６０元． (１)求:A,B 两种商品每件各是多少元? (２)如果小亮准备购买A,B 两种商品 共１０件,总费用不超过 ３５０ 元,且不低于 ３００元,问:有几种购买方案,哪种方案费用 最低? ６．(攀枝花中考题)为了打造区域中心 城市,实现攀枝花跨越式发展,我市花城新区 建设正按投资计划有序推进．花城新区建设 某工程部,因道路建设需要开挖土石方,计划 每小时挖掘土石方５４０m３,现决定向某大型 机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机 来完成这项工作．租赁公司提供的挖掘机有 关信息如下表所示: 租金(单位: 元/台􀅰时) 挖掘土石方量 (单位:m３/台􀅰时) 甲型挖掘机 １００ ６０ 乙型挖掘机 １２０ ８０ 　　(１)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共 ８台,恰好完成每小时的挖掘量,则甲、乙两 种型号的挖掘机各需多少台? (２)如果每小时支付的租金不超过８５０ 元,又恰好完成每小时的挖掘量,那么共有哪 几种不同的租用方案? ８１ ３．(１)证明:∵△ABC 为等腰直角三角形,∴∠BAE＋∠EAC＝９０°．∵BD⊥AE,CE⊥ AE,∴∠ADB＝∠CEA＝９０°,∠BAE＋∠DBA＝９０°,∴∠EAC＝∠DBA．∵AB＝CA, ∴△ABD≌△CAE,∴BD＝AE,AD＝EC,∴BD＝AE＝AD＋DE＝EC＋DE;(２)BD＝ DE－EC;(３)BD＝DE－CE． [中考热身] １．D　２．C　３．C ４．证明:∵AD∥BC,∴∠DBC＝∠ADB．又∵BD 平分∠ABC,∴∠ABD＝∠DBC． ∴∠ABD＝∠ADB,∴AB＝AD． 第３章　一元一次不等式 [基础过关] 一、１．x≤－２　２．－２＜x≤３　３．x＞１　４．＜ １ ２　５．a＞ １ ２　６．x≤ １ ２　７．２　８．３７ 二、９．D　１０．A　１１．C　１２．A　１３．C　１４．C 三、１５．(１)x＜－ ５ ２　 (２) ８ ３≤x＜３　１６．－１≤x＜２ ,原不等式组的整数解为－１,０,１． [综合提升] １．C　２．B　３．C　４．A ５．解:(１) ０．６x＋０．２(６５０－x)≤３００ ０．３x＋０．４(６５０－x)≤２４０{ ,解得２００≤x≤４２５．　(２)设这批饮料销售总金额为 y 元,根据题意得,y＝３x＋４(６５０－x),化简,得y＝－x＋２６００,∵k＝－１＜０,∴y 随x 的增 大而减小．∴当x＝２００时,这批饮料销售总金额最大,最大销售总金额为－２００＋２６００＝２４００ (元),此时甲、乙两种饮料分别生产２００千克、４５０千克． [中考热身] １．A　２．B　３．D　４．D ５．解:(１)设A 种商品每件x 元,B 种商品每件y 元,根据题意,得: ２x＋y＝９０ ３x＋２y＝１６０{ ,解得 x＝２０ y＝５０{ ． 答:A 种商品每件２０元,B 种商品每件５０元． (２)设小亮准备购买A 种商品m 件,则购买B 种商品(１０－m)件． 由题意得: ２０m＋５０(１０－m)≤３５０ ２０m＋５０(１０－m)≥３００{ ,解得５≤m≤６ ２ ３． 根据题意,m 的值应为整数,所以m＝５或m＝６． 方案一:当m＝５时,购买费用为２０×５＋５０×(１０－５)＝３５０(元); 方案二:当m＝６时,购买费用为２０×６＋５０×(１０－６)＝３２０(元)． ∵３５０＞３２０, ∴购买A 种商品６件,B 种商品４件的费用最低． 答:有两种购买方案,方案一:购买A 种商品５件,B 种商品５件;方案二:购买A 种商品 ６件,B 种商品４件．其中方案二费用最低． ６．解:(１)设租用甲型号的挖掘机x 台,乙型号的挖掘机y 台,根据题意,得 x＋y＝８ ６０x＋８０y＝５４０{ ,解得 x＝５ y＝３{ ． 􀅰３􀅰 答:甲、乙两种型号的挖掘机各需５台、３台． (２)设租用甲型号的挖掘机m 台,则租用乙型号的挖掘机 ５４０－６０m ８０ 台,根据题意,得 １００m＋１２０× ５４０－６０m ８０ ≤８５０ ,解得m≤４． 又m 为非负整数,∴m＝０或１或２或３或４,分别代入 ５４０－６０m ８０ ,可知,只有当m＝１ 时,５４０－６０m ８０ ＝６ 为整数,符合题意．∴符合条件的租用方案只有一种,即租用甲型号的挖掘机 １台,乙型号的挖掘机６台． 第４章　图形与坐标 [基础过关] 一、１．(７,９)　第６排第９号　２．那地点到“我”家的距离　３．－６　４．(３,０)　(４,３)　５．(１,１) 　６．二 二、７．C　８．D　９．B　１０．B　１１．C　１２．C 三、１３．图略　(４,５)　(４,－２)　(－４,２)　(－３,－２) [综合提升] １．D　２．C　３．C ４．(１)３　(２)D　(３)CE∥y 轴　(４)点F 到x 轴的距离为７个单位,到y 轴的距离为５ 个单位． [中考热身] １．A　２．B　３．B　４．A 第５章　一次函数 [基础过关] 一、１．温度　时间　时间　温度　２．m＝７．８V　３．－ ２x　减小　４．k＜２　５．２０ 二、６．D　７．B　８．A　９．A　１０．B 三、１１．解:(１)∵A 城运往C 仓库１００吨物资,则A 城运往D 仓库:２００－１００＝１００(吨)物资, ∴B 城运往D 仓库:２６０－１００＝１６０(吨)物资, 答:B 城运往D 仓库１６０吨物资． (２)∵A 城运往C 仓库x 吨物资,则A 城运往D 仓库(２００－x)吨物资; ∴B 城运往C 仓库(２４０－x)吨物资,运往D 仓库[２６０－(２００－x)]＝(x＋６０)吨物资, ∴总运费:２０x＋２５(２００－x)＋１５(２４０－x)＋２４(x＋６０)＝４x＋１００４０(０≤x≤２００); 􀅰４􀅰