3 第2章 特珠三角形-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版）

第 一 部 分 　 夯 实 基 础 第２章　特殊三角形 １．等腰三角形 有两边相等的三角形叫做等腰三角形． ２．等腰三角形的性质 (１)等腰三角形是轴对称图形,顶角平分 线所在的直线是它的对称轴． (２)等腰三角形的两个底角相等．即:在 同一个三角形中,等边对等角． (３)等腰三角形的顶角平分线、底边上的 中线和高线互相重合,简称等腰三角形三线 合一． ３．等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这 个三角形是等腰三角形．简称等角对等边． ４．等边三角形 (１)定义:三边都相等的三角形叫做等边 三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形,也 叫正三角形． (２)结论:等边三角形的内角都相等,且 等于６０°;反过来,三个内角都等于６０°的三 角形一定是等边三角形．等边三角形是轴对 称图形,等边三角形每条边上的中线、高线和 所对角的平分线都三线合一,它们所在的直 线都是等边三角形的对称轴． ５．直角三角形 (１)定义:有一个角是直角的三角形叫做 直角三角形． (２)性质:①直角三角形的两个锐角互 余．反过来,有两个角互余的三角形是直角三 角形． ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半． ６．等腰直角三角形 (１)定义:一般地,两条直角边相等的直 角三角形叫做等腰直角三角形． (２)结论:等腰直角三角形的两个底角相 等,都等于４５°． ７．勾股定理及其逆定理 (１)定理:直角三角形两条直角边的平方 和等于斜边的平方． (２)逆定理:如果三角形中两边的平方和 等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三 角形． ８．直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”． ９．角平分线的性质 角的内部,到角两边距离相等的点,在这 个角的平分线上． 【例１】　(黔西南州中考题)已知等腰三角形 ABC 中,腰AB＝８,底BC＝５,则这个三角 形的周长为 (　　) A．２１ B．２０ C．１９ D．１８ 【解题思路】　根据等腰三角形的性质可得, 等腰三角形的另一腰AC 长为８,由三角形 的周长等于三条边长的和,可求得三角形的 周长． 【解答过程】　解:根据等腰三角形的性质可 得,等腰三角形的另一腰AC 的长为８,所以 三角形的周长等于８＋８＋５＝２１,故选择 A． ０１ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 【易错点睛】　此类问题容易出错的地方是将 等腰三角形的腰和底混淆,从而求得另一腰 长为５,进而得到三角形的周长等于５＋５＋８ ＝１８,选D． 【方法规律】　根据已知条件先确定三角形的 第三条边的长,然后再求三条边长的和．此类 问题有时需要进行分类讨论． 【例２】　(东营中考题)如图,有两棵树,一棵 高１２米,另一棵高６米,两树相距８米．一只 鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小 鸟至少飞行　　　米． 【解题思路】　过小树的树顶作大树所在直线 的垂线,利用勾股定理求解． 【解答过程】　解:如图,过点B 作BC⊥AC 于C,依 题 意 有:AC ＝６,BC ＝８,AB ＝ AC２＋AB２ ＝１０． 【易错点睛】　不能正确作出辅助线,从而导 致解题失败． 【方法规律】　求线段长度类问题,通常可以 通过构 造 直 角 三 角 形,从 而 利 用 勾 股 定 理 求解． 【例３】　(兰州中考题)给出定义:若一个四 边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角 线的平方,则称该四边形为勾股四边形． (１)在你学过的特殊四边形中,写出两种 勾股四边形的名称; (２)如图,将△ABC 绕顶点B 按顺时针 方向旋转 ６０°得到 △DBE,连接 AD,DC, CE．已知∠DCB＝３０°． ①求证:△BCE 是等边三角形; ②求证:DC２ ＋BC２ ＝AC２,即四边形 ABCD 是勾股四边形． 【解题思路】　(１)只需写出所学过的有一个 角是直角的四边形即可; (２)① 由于 ∠CBE＝６０°,可通过证明 △BCE 中有两条边相等; ②先证∠DCE＝９０°,根据勾股定理得到 DC２＋CE２＝DE２,再由旋转得到全等三角 形,进而得到相等的线段,证得结论． 【解答过程】　(１)正方形、矩形、直角梯形中 任写两个． (２)①证明:∵△ABC≌△DBE, ∴BC＝BE, ∵∠CBE＝６０°, ∴△BCE 是等边三角形; ②证明:∵△ABC≌△DBE, ∴AC＝DE, ∵△BCE 是等边三角形, ∴BC＝CE,∠BCE＝６０°, ∵∠DCB＝３０°, ∴∠DCE＝９０°, ∴在 Rt△DCE 中,DC２＋CE２＝DE２, ∴DC２＋BC２＝AC２, 即四边形ABCD 是勾股四边形． 【易错点睛】　由于不能很好地理解勾股四边 形的概念,导致无法解题． 【方法规律】　阅读理解题考查学生的阅读理 １１ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 解能力,解决这类问题的关键是要认真仔细 地阅读给定的“新定义”,弄清新定义隐含了 什么我们曾学过的知识,通过知识的迁移来 解决题目中提出的问题﹒ 一、填空题 １．已知等腰三角形中顶角的度数是底 角的３倍,那么底角的度数是　　　　． ２．已知△ABC 为等边三角形,BD 为中 线,延长 BC 至E,使 CE ＝CD ＝１,连 接 DE,则DE＝　　　　． ３．如图,学校有一块长方形花圃,有极 少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走 出了一条小路,他们仅仅少走了　　　　步 路(假设２步为１m),却踩伤了花草． ４．在等腰△ABC 中,AB＝AC,∠A＝ ５０°,则∠B＝　　　　． ５．如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB＝９０°, AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E,交BC 的延长线于点F,若∠F＝３０°,DE＝１,则 BE 的长是　　　　． 二、选择题 ６．等腰三角形的一个内角为４０°,则它 的底角为 (　　) A．４０° B．７０° C．４０°或７０° D．１４０° ７．如图,在△ABC 中,∠ACB＝１００°, AC＝AE,BC＝BD,则∠DCE 的度数为 (　　) A．２０° B．２５° C．３０° D．４０° ８．如图所示,△ABC 中,∠BAC＝９０°, AD⊥BC 于D,若AB＝３,BC＝５,则DC 的 长度是 (　　) A． ８ ５ B． ４ ５ C． １６ ５ D． ２２ ５ ９．一个直角三角形的三条边长分别是 ３,４,c,则c的值为 (　　) A．５ B．７ C．５或 ７ D．不能确定 三、解答题 １０．如图,在△ABC 中,AB＝AC,点D 在BC 边上,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 为E,F,添加一个条件,使DE＝DF． ２１ 第 一 部 分 　 夯 实 基 础 １．已知等腰三角形的底边长为１０cm, 一边的中线把三角形的周长分为两部分,其 中一部分比另一部分长４cm,那么三角形的 腰长为　　　　． ２．等 腰 三 角 形 的 底 角 为 ３０°,腰 长 为 ４cm,则这个三角形的面积为　　　　． ３．如图①所示,在△ABC 中,∠BAC＝ ９０°,AB＝AC,AE 是过A 的一条直线,且 B,C 在AE 的异侧,BD⊥AE 于D,CE⊥ AE 于E． (１)说明:BD＝DE＋EC; (２)若直线AE 绕点A 旋转到图②位置 时(BD ＜CE),其 他 条 件 不 变,则 BD 与 DE,EC 的关系又怎样? 请写出结果,不必 写过程; (３)若直线AE 绕点A 旋转到图③位置 时(BD ＞CE),其 余 条 件 不 变,则 BD 与 DE,CE 的关系如何? 请直接写出结果． １．(盐城中考题)若等腰三角形的顶角 为４０°,则它的底角度数为 (　　) A．４０° B．５０° C．６０° D．７０° ２．(贺 州 中 考 题)如图,在 △ABC 中, ∠ABC＝４５°,AC＝８cm,F 是高AD 和BE 的交点,则BF 的长是 (　　) A．４cm B．６cm C．８cm D．９cm ３．(枣庄中考题)如图,AB∥CD,AE 交 CD 于C,∠A＝３４°,∠DEC＝９０°,则∠D 的 度数为 (　　) A．１７° B．３４° C．５６° D．１２４° ４．(淄博中考题)如图,AD∥BC,BD 平 分∠ABC．求证:AB＝AD． ３１ ∴∠B＋∠BAD＝９０°, ∴∠BAD＝９０°－∠B＝９０°－４０°＝５０°, ∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝５０°－３５°＝１５°． [综合提升] １．４　２．C　３．B ４．解:此时轮船没有偏离航线．理由:设轮船在C 处,如图所示,航行时C 与A,B 的距离 相等,即CA＝CB,OC＝OC．已知AO＝BO,由“SSS”可证明△AOC≌△BOC,所以∠AOC＝ ∠BOC,即没偏离航线． [中考热身] １．C　２．C ３．(１)证明:由题意,得AC＝CB,∠ACB＝９０°,AD⊥DE,BE⊥DE, ∴∠ADC＝∠CEB＝９０°, ∴∠ACD＋∠ECB＝９０°,∠ACD＋∠DAC＝９０°, ∴∠ECB＝∠DAC． 在△ADC 和△CEB 中, ∠ADC＝∠CEB ∠DAC＝∠ECB AC＝CB ì î í ïï ïï , ∴△ADC≌△CEB(AAS)． (２)解:由题意,得AD＝４a,BE＝３a, ∵△ADC≌△CEB, ∴CD＝BE＝３a, 在Rt△ACD 中,根据勾股定理,得AD２＋CD２＝AC２, ∴(４a)２＋(３a)２＝２５２, 解得a＝５． 答:砌墙砖块的厚度a 为５cm． ４．(１)证明:∵△ABC 是等边三角形,∴AB＝BC,∠A＝∠EBC,∵BE＝AF,∴△BCE ≌△ABF,∴CE＝BF;(２)解:由(１)得△BCE≌△ABF,∴∠PCB＝∠ABF,∴∠PCB＋ ∠PBC＝∠ABF＋∠PBC＝∠EBC＝６０°,∵∠CPB＋∠PCB＋∠PBC＝１８０°,∴∠BPC＝ １８０°－(∠PCB＋∠PBC)＝１８０°－６０°＝１２０°． 第２章　特殊三角形 [基础过关] 一、１．３６°　２．３　３．４　４．６５°　５．２ 二、６．C　７．D　８．C　９．C 三、１０．BD＝CD 或BE＝CF．说明△BDE≌△CDF． [综合提升] １．６cm 或１４cm　２．４３cm２ 􀅰２􀅰 ３．(１)证明:∵△ABC 为等腰直角三角形,∴∠BAE＋∠EAC＝９０°．∵BD⊥AE,CE⊥ AE,∴∠ADB＝∠CEA＝９０°,∠BAE＋∠DBA＝９０°,∴∠EAC＝∠DBA．∵AB＝CA, ∴△ABD≌△CAE,∴BD＝AE,AD＝EC,∴BD＝AE＝AD＋DE＝EC＋DE;(２)BD＝ DE－EC;(３)BD＝DE－CE． [中考热身] １．D　２．C　３．C ４．证明:∵AD∥BC,∴∠DBC＝∠ADB．又∵BD 平分∠ABC,∴∠ABD＝∠DBC． ∴∠ABD＝∠ADB,∴AB＝AD． 第３章　一元一次不等式 [基础过关] 一、１．x≤－２　２．－２＜x≤３　３．x＞１　４．＜ １ ２　５．a＞ １ ２　６．x≤ １ ２　７．２　８．３７ 二、９．D　１０．A　１１．C　１２．A　１３．C　１４．C 三、１５．(１)x＜－ ５ ２　 (２) ８ ３≤x＜３　１６．－１≤x＜２ ,原不等式组的整数解为－１,０,１． [综合提升] １．C　２．B　３．C　４．A ５．解:(１) ０．６x＋０．２(６５０－x)≤３００ ０．３x＋０．４(６５０－x)≤２４０{ ,解得２００≤x≤４２５．　(２)设这批饮料销售总金额为 y 元,根据题意得,y＝３x＋４(６５０－x),化简,得y＝－x＋２６００,∵k＝－１＜０,∴y 随x 的增 大而减小．∴当x＝２００时,这批饮料销售总金额最大,最大销售总金额为－２００＋２６００＝２４００ (元),此时甲、乙两种饮料分别生产２００千克、４５０千克． [中考热身] １．A　２．B　３．D　４．D ５．解:(１)设A 种商品每件x 元,B 种商品每件y 元,根据题意,得: ２x＋y＝９０ ３x＋２y＝１６０{ ,解得 x＝２０ y＝５０{ ． 答:A 种商品每件２０元,B 种商品每件５０元． (２)设小亮准备购买A 种商品m 件,则购买B 种商品(１０－m)件． 由题意得: ２０m＋５０(１０－m)≤３５０ ２０m＋５０(１０－m)≥３００{ ,解得５≤m≤６ ２ ３． 根据题意,m 的值应为整数,所以m＝５或m＝６． 方案一:当m＝５时,购买费用为２０×５＋５０×(１０－５)＝３５０(元); 方案二:当m＝６时,购买费用为２０×６＋５０×(１０－６)＝３２０(元)． ∵３５０＞３２０, ∴购买A 种商品６件,B 种商品４件的费用最低． 答:有两种购买方案,方案一:购买A 种商品５件,B 种商品５件;方案二:购买A 种商品 ６件,B 种商品４件．其中方案二费用最低． ６．解:(１)设租用甲型号的挖掘机x 台,乙型号的挖掘机y 台,根据题意,得 x＋y＝８ ６０x＋８０y＝５４０{ ,解得 x＝５ y＝３{ ． 􀅰３􀅰