2.1等式与不等式的性质练案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

姓名: 数学学习必做于细，也必成于实 等式与不等式的性质 新高一预习练案（七） 组 编： 审 核： 使用日期： 练习目标： （1） 熟悉运用不等式性质进行变形、比较 （2） 掌握作差法、作商法证明不等式 （3） 学会去列不等式 一、单选题（共6题，每题5分） 1．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（） A． B． C． D． 2．（2023高三·全国·专题练习）已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（） A．M<N B．M>N C．M≤N D．M≥N 3．（12-13高一下·重庆·期中）已知，，则（） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·江西吉安·期末）某城市有一个面积为的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），现在在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使矩形草坪为黄金矩形？则下列选项正确的是（） A．步行道的宽度 B．步行道的宽度 C．步行道的宽度 D．草坪不可能为黄金矩形 5．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则下列命题正确的是（） A． B． C． D． 二、多选题（共2题，每题6分） 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列关于不等关系的说法正确的是（） A．某隧道入口竖立着 “限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度（米）满足 B．用不等式表示“与的差是非负数”为 C．不等式的含义是指不小于2 D．若或之中有一个成立，则成立 8．（22-23高三下·河北衡水·阶段练习）设为正实数，则下列命题正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 三、填空题（共4题，每题5分） 9．（21-22高二下·广西钦州·期末）已知，则的值 0（选填“>，<，≥，≤”）． 10．（24-25高一上·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）． ①②③   ④ 12．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，有以下个命题： ①以为边长的三角形一定存在； ②以为边长的三角形一定存在； ③以为边长的三角形一定存在； ④以为边长的三角形一定存在，其中正确的命题有 （填写所有正确命题的序号）. 四、解答题 13．（23-24高一·上海·课堂例题）设x是实数，比较与的值的大小. 14．（22-23高一上·全国·课后作业）用综合法证明:如果，那么 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）若a，，以下四个条件①；②a，b为正数；③a，b为负数；④，选取其中的几个条件，能推出成立？ 16．（21-22高一·全国·课后作业）（1）已知，求证：； （2）已知，且，比较与的大小． 参考答案 1．B 【分析】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 2．B 【分析】作出M，N的差，变形并判断符号作答. 【详解】， 所以. 故选：B. 3．C 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以由不等式的性质得，． 故选：C 4．D 【分析】分别设草坪的长、宽，利用求解. 【详解】设草坪的长、宽分别为，（），步行道的宽度为， ， 则，草坪不可能为黄金矩形. 故选：D. 5．A 【分析】举出反例即可判断A；根据不等式的性质即可判断BD；利用作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，， 由，得，所以，故C正确； 对于D，由，得，又，所以，故D正确． 故选：A． 6．A 【分析】由，结合不等式性质，即可判断A；结合不等式性质利用反例当时，可得选项B错误；利用作差法比大小来判断C、D的正误，即得结果. 【详解】选项A，因为，则，所以，故A正确； 选项B，当时，由，则，故B错误； 选项C，若，则，所以，故C错误； 选项D，若，则，故，故D错误. 故选：A. 7．ACD 【分析】根据不等式的性质逐一分析即可. 【详解】“限高4.5米”说明高度不超过4.5米，所以，故A正确； “与的差是非负数”，用不等式表示应为，故B错误； 不等式表示或，即不小于2，故C正确； 不等式表示或， 所以若或中有一个成立，则成立，故D正确． 故选：ACD． 8．AC 【分析】根据已知条件及不等式的性质逐一判断选项即可. 【详解】对于A，由及为正实数， 可知，，则， 由，可得，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：AC 9．≤ 【分析】先平方，整理可得，结合的符号可得答案. 【详解】因为，所以， 所以. 当时，等号成立 故答案为： 10． 【分析】根据题意列式即可. 【详解】由题意得，即. 故答案为：. 11． ①④ ②④ 【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解. 【详解】①得， ④得， 故能使成立的是①④； ，则， 由②故，由④， 故，故能使成立的是②④． 故答案为：①④，②④. 12．①③④ 【分析】设，再利用构成三角形的条件及不等式的性质，逐一对各个选项分析判断，即可求出结果. 【详解】不妨设， 对于选项①，因为，所以， 又，所以选项①正确， 对于选项②，若，满足条件，但，不构成三角形，所以选项②错误； 对于选项③，由假设易知，由，所以选项③正确， 对于选项④，因为， ， ，所以选项④正确， 故答案为：①③④. 13． 【分析】通过作差比较证得两者的大小关系. 【详解】，， 因为，所以， 即. 14．证明见解析 【分析】根据综合法的要求执因索果，逐步推导证明即可. 【详解】证明: ，即 显然 ，即. 15．①② 【分析】由不等式的性质结合分析法即可求解. 【详解】若要成立，只需成立，若①成立， 则要使成立，只需，故还需选②，故选①②可满足题意； 若①不成立，即，要使成立，则还需，但没有一个序号能说明； 综上所述，能推出成立当且仅当组合①②. 16．（1）证明见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）作差后变形化简证明即可； （2）利用作差法，分类讨论证明即可. 【详解】（1) ， 因为，所以， ， 所以， 故 . (2) ． 由于，所以当时，，即；当时， ，即． 数学学习，你只管全力以赴，剩下的交给时间 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$