第05讲 充分条件、必要条件、充要条件（4知识点+10大题型+思维导图+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第05讲 充分条件、必要条件、充要条件 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：10大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：充分条件与必要条件的定义 一般地，当命题“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的充分条件，是的必要条件。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 【拓展】 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论，充分性成立； 结论条件，必要性成立 知识点2：充要条件的定义 若有，又有，就记作，则是的充分必要条件，简称充要条件，同时也是的充分必要条件。 【拓展】 为了方便起见，如果p是q的充要条件，就记作pq，称为“p与 q等价”，或“p等价于q” 不难发现，“”和“”都具有传递性，即 如果pq，qs，那么ps； 如果pq，qs，那么ps 知识点3：充分条件、必要条件的四种类型 若，，则是的充要条件 若，，则是的充分不必要条件 若，，则是的必要不充分条件 若，，则是的既不充分也不必要条件 知识点4：集合角度中的条件判断（小充分大必要） 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的充分不必要条件 若，即，，是的必要不充分条件 若，即，，是的充要条件 【题型1 充分条件的判断】 例1．下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似. (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4) (5)若，则. (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 【变式1-2】下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ （1）p：，q：； （2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形； （3）p：同位角相等，q：两条直线平行； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分. 【变式1-3】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则； （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 【题型2 必要条件的判断】 例2．下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？ （1）p：两条直线平行，q：同位角相等； （2）p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形； （3）p：，q：； （4）p：，q：. 【变式2-1】判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 【变式2-2】下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？ （1）p：x＝2，q：|x|＝2； （2）p：x∈R，q：x∈Z； （3）p：四边形是矩形，q：四边形是正方形； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分． 【变式2-3】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若，则； （5）若，则； （6）若为无理数，则x，y为无理数. 【题型3 求充分条件】 例3．“”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 【变式3-3】“”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【题型4 求必要条件】 例4．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）（多选）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式4-2】的一个必要条件是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知，则“”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【题型5 已知充分条件与必要条件求参数】 例5．已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【变式5-1】24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【变式5-2】若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【题型6 充要条件】 例6．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【变式6-1】（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【题型7 命题的等价证明】 例7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证：的充要条件是. 【变式7-1】（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【变式7-2】求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【变式7-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 【题型8 四种类型条件的判断】 例8．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设，则“”是“”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-2】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-3】已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型9 古诗词及古文中的条件判断 例9．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-1】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【变式9-2】王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【变式9-3】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型10 集合角度中的条件判断及参数范围求解】 例10．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 【变式10-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【变式10-2】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式10-3】（24-25高一上·甘肃·期末）已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业） “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·全国·课后作业）使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 二、多选题 6．（24-25高一上·河北衡水·期中）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 8．（24-25高一上·江苏盐城·期末）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·吉林·期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为（   ） A． B． C．0 D．1 三、填空题 11．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数的值为 . 12．（25-26高一上·全国·课后作业）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 13．（24-25高一上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最小值是 ． 15．（2025高一上·全国·专题练习）已知，则p是q的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 四、解答题 16．（24-25高一上·全国·课后作业）在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)，； (2)是无理数；是无理数； (3)若，，，； (4)，． 17．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知集合，全集． (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由； (2)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 19．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 20．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 充分条件、必要条件、充要条件 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：10大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：充分条件与必要条件的定义 一般地，当命题“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的充分条件，是的必要条件。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 【拓展】 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论，充分性成立； 结论条件，必要性成立 知识点2：充要条件的定义 若有，又有，就记作，则是的充分必要条件，简称充要条件，同时也是的充分必要条件。 【拓展】 为了方便起见，如果p是q的充要条件，就记作pq，称为“p与 q等价”，或“p等价于q” 不难发现，“”和“”都具有传递性，即 如果pq，qs，那么ps； 如果pq，qs，那么ps 知识点3：充分条件、必要条件的四种类型 若，，则是的充要条件 若，，则是的充分不必要条件 若，，则是的必要不充分条件 若，，则是的既不充分也不必要条件 知识点4：集合角度中的条件判断（小充分大必要） 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的充分不必要条件 若，即，，是的必要不充分条件 若，即，，是的充要条件 【题型1 充分条件的判断】 例1．下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似. (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4) (5)若，则. (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. 【答案】(1)是 (2)是 (3)是 (4)不是 (5)是 (6)不是 【分析】利用充分条件的定义即可求解. 【详解】（1）这是平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理， ，所以p是q的充分条件. （4）由于，但是，，所以p不是q的充分条件. （5）由等式的性质知， ，所以p是q的充分条件. （6）为无理数但是有理数，，所以p不是q的充分条件. 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分条件； (2)p是q的充分条件； (3)p不是q的充分条件． 【分析】（1）（2）（3）利用充分条件的定义，逐一判断各个命题. 【详解】（1）在中，，所以p是q的充分条件． （2）由于，所以p是q的充分条件． （3）方法一  由，所以p不是q的充分条件． 方法二  设集合，，则真包含于，所以p不是q的充分条件． 【变式1-2】下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ （1）p：，q：； （2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形； （3）p：同位角相等，q：两条直线平行； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分. 【答案】（1）p是q的充分条件；（2）p不是q的充分条件；（3）p是q的充分条件；（4）p是q的充分条件. 【分析】（1）（3）（4）直接利用充分条件的定义判断；（2）可以通过举反例判断. 【详解】解（1）因为，所以p是q的充分条件. （2）对角线相等的四边形可以是等腰梯形，所以，p不是q的充分条件. （3）因为，所以p是q的充分条件 （4）因为，所以p是q的充分条件. 【变式1-3】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则； （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 【答案】（1）p是q的充分条件；（2）p不是q的充分条件；（3）p是q的充分条件 【解析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到p是否是q的充分条件，得到答案. 【详解】（1）线段垂直平分线的性质，，p是q的充分条件； （2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，，p不是q的充分条件； （3）相似三角形的性质，，p是q的充分条件. 【点睛】本题考查判断是否为充分条件，属于简单题. 【题型2 必要条件的判断】 例2．下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？ （1）p：两条直线平行，q：同位角相等； （2）p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形； （3）p：，q：； （4）p：，q：. 【答案】（1）（2）（4） 【分析】根据必要条件的定义对选项一一判断即可． 【详解】（1）同位角相等则两条直线平行成立，故p是q的必要条件； （2）四边形是矩形则四边形的对角线互相平分成立，故p是q的必要条件； （3）不能推出，故p不是q的必要条件； （4）则成立，故p是q的必要条件． 【变式2-1】判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 【分析】根据必要条件得定义即可判断（1）（2）（3）． 【详解】（1）由，则成立，所以p是q的必要条件． （2）由，则不成立，所以p不是q的必要条件． （3）由是无理数是无理数，则成立，所以p是q的必要条件． 【变式2-2】下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？ （1）p：x＝2，q：|x|＝2； （2）p：x∈R，q：x∈Z； （3）p：四边形是矩形，q：四边形是正方形； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分． 【答案】（1）p不是q的必要条件；（2）p是q的必要条件；（3）p是q的必要条件；（4）必要条件. 【分析】利用必要条件的定义即得. 【详解】（1）由|x|＝2得x=2或x=-2，所以q推不出p，所以p不是q的必要条件． （2）因为q⇒p，所以p是q的必要条件． （3）因为q⇒p，所以p是q的必要条件． （4）因为q⇒p，所以p是q的必要条件. 【变式2-3】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若，则； （5）若，则； （6）若为无理数，则x，y为无理数. 【答案】（1）q是p的必要条件；（2）q是p的必要条件；（3）q不是p的必要条件；（4）q是p的必要条件；（5）q不是p的必要条件；（6）q不是p的必要条件 【分析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到q是否是p的必要条件，得到答案. 【详解】（1）这是平行四边形的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件. （2）这是三角形相似的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件. （3）如图，四边形的对角线互相垂直，但它不是菱形，，所以，q不是p的必要条件. （4）根据，两边平方，得到，，所以，q是p的必要条件. （5）由于，但，，所以，q不是p的必要条件. （6）由于为无理数，但1，不全是无理数，，所以，q不是p的必要条件.    【点睛】本题考查判断是否为必要条件，属于简单题. 【题型3 求充分条件】 例3．“”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分条件的定义判断即可 【详解】解：“”的一个充分条件就是集合的一个子集即可， 所以 B选项满足题意. 故选：B 【变式3-1】（多选）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充分条件的定义及集合间的关系判定即可. 【详解】根据充分条件的定义可知，，即A、B正确； 而不能推出，更不能推出，故C、D错误. 故选：AB. 【变式3-2】一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 【答案】且 【分析】根据题意，由一次函数的意义，即可得到结果. 【详解】由一次函数可知，，图像过一，三象限，过二，四象限， 且，一次函数图像交于轴正半轴，，一次函数图像交于轴负半轴，，一次函数图像过原点，所以一次函数的图像不过第一象限的充分条件是，取且即可. 故答案为：且 【变式3-3】“”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断选项中的满足的大小关系式，由此可判断充分性是否成立. 【详解】对于A，当时，满足，无法得到，充分性不成立，A错误； 对于B，当时，，或，充分性不成立，B错误； 对于C，当时，，可得到，C正确； 对于D，当时，，或，充分性不成立，D错误. 故选：C. 【题型4 求必要条件】 例4．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）（多选）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意知“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件，即“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件. 故选：B. 【变式4-2】的一个必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过一一判断即可. 【详解】由题意， ∵， ∴，A正确 对B项，，故B错误； 对C项，不能小于2，故C错误， 对D项，不能等于1，故D错误， 故选：A. 【变式4-3】已知，则“”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由于可得，故“”是“”的必要条件， 由不能得到，，，比如， 故选：D 【题型5 已知充分条件与必要条件求参数】 例5．已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，建立不等式即可求解的取值范围； 【详解】因为“”是 “”的充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式5-1】24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围. 【详解】因为p是q的必要条件， 所以， 所以， 则实数m的取值范围是， 故答案为： 【变式5-2】若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将充分条件转化为集合间的关系，根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意可得， 所以且，解得， 故选：C 【变式5-3】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题干条件可知Q是P的子集，可分为当为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得答案. 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 【题型6 充要条件】 例6．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得，进而可求的值. 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为恒成立即可求解. 【详解】恒成立，，所以，解得． 故选：B 【变式6-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 【题型7 命题的等价证明】 例7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可. 【详解】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 【变式7-1】（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 【变式7-2】求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 【变式7-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 【答案】证明见解析. 【分析】利用充分性和必要性的定义证明即可. 【详解】证明：充分性： 若，，，， 则等式自然恒成立． 必要性： 由于等式恒成立，分别令、1、、，并代入上式， 得 由此，可得，，，． 故，，，是等式恒成立的充要条件. 【题型8 四种类型条件的判断】 例8．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由可得， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【变式8-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设，则“”是“”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得，由，得．当时，不一定有；当时，一定有．故“”是“”的必要不充分条件． 【变式8-2】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】证明由可推出，再举例说明由不能推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】由于，所以和均不为， 所以可以推断； 取，可得，但 故由不能推出. 所以“”是“的充分不必要条件. 故选：B. 【变式8-3】已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过举反例的方法结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】若，显然所以“”不是“”的充分条件； 若，显然，所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【题型9 古诗词及古文中的条件判断 例9．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件； 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选：C． 【变式9-1】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可 【详解】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在， 因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山， 所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分不必要条件， 故选：D 【变式9-2】王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意知，“有志”不一定“能至”， 但“能至”一定“有志”， 所以“有志”是“能至”的必要不充分条件. 故选：D. 【变式9-3】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断 【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场； 即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件 故选：A 【题型10 集合角度中的条件判断及参数范围求解】 例10．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). (4). 【分析】（1）根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，解不等式即可； （2）根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，解不等式即可； （3）先计算集合，再根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，即可求解； （4）先计算集合，再根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，即可求解. 【详解】（1）若“”是“”成立的必要条件，则是的子集，故，解得. 所以的取值范围是. （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，故， 解得.所以的取值范围是. （3）若“”是“”成立的充分条件，则是的子集， 易知，所以.所以的取值范围是. （4）若“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以.所以的取值范围是. 【变式10-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 【变式10-2】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【详解】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 【变式10-3】（24-25高一上·甘肃·期末）已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据集合间的运算可得； （2）根据题意⫋，根据和分类可得. 【详解】（1）当时，. 因为或， 所以或. （2）因为或，所以. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以⫋. 当时，符合题意，此时有，解得. 当时，要使⫋，只需解得. 综上可得， 即实数的取值范围是 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业） “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，但不一定相等.若，则，故“”是“”的必要不充分条件. 2．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【详解】若，则， 所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意， 则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，若p是q的充分条件，则，故． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【详解】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 二、多选题 6．（24-25高一上·河北衡水·期中）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据必要不充分条件的定义可得推出关系，由此可构造不等式求得结果. 【详解】由必要不充分条件定义可知：或，或， 或，或， 实数的值可以是，和. 故选：ABD. 7．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【答案】AB 【分析】根据为的必要条件，求出，判断各选项即可. 【详解】由为的必要条件，可得， . 故选：AB. 8．（24-25高一上·江苏盐城·期末）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD 【分析】由题可得是的真子集，进而即得. 【详解】， 由“”是“”的充分不必要条件，可得：是的真子集， 所以， 故选：BCD 9．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】因为集合，集合， 所以等价于即， 对比选项，、均为的充分不必要条件. 故选：AD. 10．（24-25高一上·吉林·期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】由充分条件和必要条件的定义判定即可. 【详解】由得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以，选项A、B、C中数值符合. 故选：ABC. 三、填空题 11．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】根据充分条件的知识列方程，从而求得的值. 【详解】依题意，“”是“”的充分条件， 所以， 所以，解得或. 故答案为：或 12．（25-26高一上·全国·课后作业）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由必要不充分条件的定义可知或，或，所以或，即或． 13．（24-25高一上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 【答案】 【分析】设或，，由题意可得是的真子集，即可得实数的取值范围，可得的最大值. 【详解】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，则， 即实数的最大值是. 故答案为：. 14．（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最小值是 ． 【答案】2 【详解】由，得．因为“”是“”的必要不充分条件，所以，所以，即实数的最小值为2． 15．（2025高一上·全国·专题练习）已知，则p是q的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【详解】 因为，所以，解得，所以，又，因为，故p是q的必要不充分条件． 四、解答题 16．（24-25高一上·全国·课后作业）在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)，； (2)是无理数；是无理数； (3)若，，，； (4)，． 【答案】(1)充分不必要条件 (2)充要条件 (3)充要条件 (4)充要条件 【分析】（1）举反例可得答案； （2）根据充要条件的定义判断可得答案； （3）根据充要条件的定义判断可得答案； （4）根据充要条件的定义判断可得答案． 【详解】（1）因为，而，时，， 但是，所以是的充分不必要条件； （2）因为是无理数是无理数，并且是无理数是无理数， 所以是的充要条件； （3）因为，并且，所以是的充要条件； （4）因为，并且，所以是的充要条件． 17．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知集合，全集． (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，再根据补集和交集的概念求出答案； （2）为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）当时，，或， 又， 故或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解集为， 若，则或， 解得， 综上，实数的取值范围是 18．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由； (2)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得集合是集合的真子集，进而可得，求解即可； （2）集合是集合的真子集，分和两种情况求解即可. 【详解】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 又，， 所以，解得， 所以的取值范围为. （2）因为是成立的必要不充分条件条件，所以集合是集合的真子集， 若时，，解得， 若时，可得，解得， 综上所述：的取值范围为. 19．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 20．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$